目录

##问题描述

 ##问题示例

##释

 ##贪心策略的确定

##代码示例

 ##正确性验证

---

##问题描述

输入一个数组 ℎ𝑡 ，其中的每个元素代表一个垂直隔板的高度。数组中的任意两个隔板，以及它们之间的空间可以组成一个容器。

容器的容量等于高度和宽度的乘积（面积），其中高度由较短的隔板决定，宽度是两个隔板的数组索引之差。

请在数组中选择两个隔板，使得组成的容器的容量最大，返回最大容量。

 ##问题示例

##释

容器是由任意两个隔板围城，因此本题的状态的两个隔板的索引，记为[i,j]。

根据题意我们可以知道，容量的大小等于高度乘以宽度，其中高度是由较短板决定的，宽度是由两个隔板之间的数组索引之差决定的。

                                𝑐𝑎𝑝[𝑖,𝑗]=min(ℎ𝑡[𝑖],ℎ𝑡[𝑗])×(𝑗−𝑖)

设数组长度为 𝑛 ，两个隔板的组合数量（状态总数）为 𝐶𝑛2=𝑛(𝑛−1)2 个。最直接地，我们可以穷举所有状态，从而求得最大容量，时间复杂度为 𝑂(𝑛^2) 。

 ##贪心策略的确定

现在任意选取一个状态[i,j]，其中满足索引 i < j 且高度ht[i] < ht[j],即i为短板，j为长板。

 

 但是我们现在需要思考一个问题，我们该怎么移动隔板，因为高度的确定是由短板决定的，当我们移动长板的时候abs（i-j）一定会变小，而短板的长度可能不变也可能变小，因此移动长板一定会使结果变小。

 

 反向思考，我们只有向内收缩短板 𝑖 ，才有可能使容量变大。因为虽然宽度一定变小，但高度可能会变大（移动后的短板 𝑖 可能会变长）。

 

 因此我们就得出了本题的贪心策略：初始化两指针，使其分列容器两端，每轮向内收缩短板对应的指针，直至两指针相遇。

1. 初始状态下，指针 𝑖 和 𝑗 分列数组两端。
2. 计算当前状态的容量 𝑐𝑎𝑝[𝑖,𝑗] ，并更新最大容量。
3. 比较板 𝑖 和 板 𝑗 的高度，并将短板向内移动一格。
4. 循环执行第 2. 步和第 3. 步，直至 𝑖 和 𝑗 相遇时结束

##贪心策略图例

##代码示例

#python代码示例
def max_capacity(ht):
    i = 0 
    j = len(ht) - 1
    
    res = 0
    
    while i < j :
        cap = min(ht[i],ht[j]) * (j - i)
        res = max(res,cap)
        if ht[i] < ht[j] :
            i += 1
        else :
            j += 1
    return res 

//c++代码示例
int  maxCapacity(vector<int> &ht)
{
	int i = 0 , j = ht.size() - 1,res = 0 ;
	while (i < j )
	{
		int cap = min(ht[i],ht[j]) * (j - i) ;
		res = max(res,cap) ;
		if (ht[i] < ht[j])
		{
			i++ ;
		}
		else
		{
			j++ ;
		}
	}
	return res ;
}

 ##正确性验证

之所以贪心比穷举更快，是因为每轮的贪心选择都会“跳过”一些状态。

比如在状态 𝑐𝑎𝑝[𝑖,𝑗] 下，𝑖 为短板、𝑗 为长板。若贪心地将短板 𝑖 向内移动一格，会导致图 15-12 所示的状态被“跳过”。这意味着之后无法验证这些状态的容量大小。

𝑐𝑎𝑝[𝑖,𝑖+1],𝑐𝑎𝑝[𝑖,𝑖+2],…,𝑐𝑎𝑝[𝑖,𝑗−2],𝑐𝑎𝑝[𝑖,𝑗−1]

图 15-12   移动短板导致被跳过的状态

观察发现，这些被跳过的状态实际上就是将长板 𝑗 向内移动的所有状态。前面我们已经证明内移长板一定会导致容量变小。也就是说，被跳过的状态都不可能是最优解，跳过它们不会导致错过最优解。

以上分析说明，移动短板的操作是“安全”的，贪心策略是有效的。