图的基本知识

图是有N个顶点和M条边组成的集合。
图可以分为有向图和无向图，如果给图的每一条边规定一个方向，那么就称改图为有向图，边称为有向边。
在有向图中，与每一个顶点相关联的边有出边和入边之分，与每一个有向边相关联的两个点也有起点和终点之分。
边没有方向的图称为有向图。

什么是深度优先遍历（DFS）

dfs思想

首先以一个未被访问过的节点作为起始节点u，沿节点u的边走到未被访问的第一个顶点v，然后将顶点v作为新的起始节点；如果当前顶点v没有未被访问的顶点时，则回到上一个顶点u，继续访问u还没有被访问的顶点，重复上述过程，直到所有的顶点都已被访问过为止。
DFS是沿着图的某一分支遍历直到末端，然后回溯，再沿着另一条进行同样的遍历。直到所有的顶点都被访问为止。

举例说明

图以及其邻接矩阵表示如下（book表示是否被访问过）：

dfs遍历具体步骤：

代码实现

/*
测试用例：
1 2 2
1 5 10
2 3 3
2 5 7
3 1 4
3 4 4
4 5 5
5 3 3
*/


#include <vector>
#include <iostream>

using namespace std;

class DFS_Traverse
{
private:
    int vertice = 0;//顶点数
    int edge = 0;//边数
    vector<vector<int>> e;
    vector<bool> book;//判断顶点j是否扩展过
    int sum = 0;//统计dfs访问的节点数之和
public:
    DFS_Traverse(int x, int y) :vertice(x), edge(y)
    {
        //图的初始化从下标1开始
        e.resize(vertice + 1);//初始化二维数组的行
        for (int i = 0; i <= vertice; i++)
        {
            e[i].resize(vertice + 1);//初始化二维数组的列
        }
        
        book.resize(vertice + 1);
    }
    //图的初始化
    void Init_tu()
    {
        for (int i = 0; i <= vertice; i++)
        {
            for (int j = 0; j <= vertice; j++)
            {
                if (i == 0 || j == 0)
                {
                    e[i][j] = 0;
                }
                if (i == j)
                {
                    e[i][j] = 0;
                }
                else
                {
                    e[i][j] = INT_MAX;
                }
            }
            book[i] = false;
        }
        book[1] = true;
    }
    //读入图的边，并且根据边的信息初始化数组dis，数组book
    void GetEdgeInfo()
    {
        cout << "输入边的信息（节点1，节点2，权重）：" << endl;
        int e1 = 0, e2 = 0, weigth = 0;
        for (int i = 1; i <= edge; i++)
        {
            cin >> e1 >> e2 >> weigth;
            e[e1][e2] = weigth;
            
        }
        
    }

    //打印
    void Print()
    {
        for (int i = 1; i <= vertice; i++)
        {
            for (int j = 1; j <= vertice; j++)
            {
                cout << e[i][j] << "    ";
            }
            cout << endl;
        }
        cout << endl;
    }

    //dfs核心思想
    void dfs_Alg(int current)//current当前所在的节点编号
    {        
        sum++;
        if (sum == vertice)//所有的节点均已被访问
        {
            cout << current << endl;
            return;
        }
        else
        {
            cout << current << " ->";
        }
        for (int k = 1; k <= vertice; k++)
        {
            if (e[current][k] != INT_MAX && current != k && book[k] == 0)
            {
                book[k] = 1;
                dfs_Alg(k);
            }
        }
    }
};

int main()
{
    DFS_Traverse dfs(5, 8);
    dfs.Init_tu();
    dfs.GetEdgeInfo();

    cout << "初始信息：" << endl;
    dfs.Print();
    dfs.dfs_Alg(1);
    
    return 0;
}

dfs求最短距离

从顶点u开始遍历，找到达节点v的所有路径，取最短距离。

实现（上文所示案例）

#include <vector>
#include <iostream>

using namespace std;

class DFS_Traverse
{
private:
    int vertice = 0;//顶点数
    int edge = 0;//边数
    vector<vector<int>> e;
    vector<bool> book;//判断顶点j是否扩展过
    int sum = 0;//统计dfs访问的节点数之和
    int min = INT_MAX;//最短路径距离
public:
    DFS_Traverse(int x, int y) :vertice(x), edge(y)
    {
        //图的初始化从下标1开始
        e.resize(vertice + 1);//初始化二维数组的行
        for (int i = 0; i <= vertice; i++)
        {
            e[i].resize(vertice + 1);//初始化二维数组的列
        }
        
        book.resize(vertice + 1);
    }
    //图的初始化
    void Init_tu()
    {
        for (int i = 0; i <= vertice; i++)
        {
            for (int j = 0; j <= vertice; j++)
            {
                if (i == 0 || j == 0)
                {
                    e[i][j] = 0;
                }
                if (i == j)
                {
                    e[i][j] = 0;
                }
                else
                {
                    e[i][j] = INT_MAX;
                }
            }
            book[i] = false;
        }
        book[1] = true;
    }
    //读入图的边，并且根据边的信息初始化数组dis，数组book
    void GetEdgeInfo()
    {
        cout << "输入边的信息（节点1，节点2，权重）：" << endl;
        int e1 = 0, e2 = 0, weigth = 0;
        for (int i = 1; i <= edge; i++)
        {
            cin >> e1 >> e2 >> weigth;
            e[e1][e2] = weigth;
            
        }
        
    }

    //打印
    void Print()
    {
        for (int i = 1; i <= vertice; i++)
        {
            for (int j = 1; j <= vertice; j++)
            {
                cout << e[i][j] << "    ";
            }
            cout << endl;
        }
        cout << endl;
    }

    //dfs-求最短路径核心思想
    void dfs_minpath_Alg(int current,int distance,int goal)//current是当前节点编号，distance为已经走过的距离
    {
        int j = 0;
        if (distance > min)//如果此次已经走过的距离大于min最短路径，则没有必要继续探索下去
        {
            return;
        }
        if (current == goal)//已经走到目标城市
        {
            if (distance < min)//更新最小值
            {
                min = distance;
            }
            return;
        }
        for (int k = 1; k <= vertice; k++)//将所有节点依次遍历
        {
            //判断当前城市current到城市k是否有路，并判断城市k是否在已经走过的路径中
            if (e[current][k] != INT_MAX && current != k && book[k] == 0)
            {
                book[k] = 1;
                dfs_minpath_Alg(k, distance + e[current][k], goal);//从城市k再出发，继续寻找目标城市
                book[k] = 0;//之前一步探索完毕之后，取消对城市k的标记
            }
        }
        return;
    }
    int Print_minPath()
    {
        return min;
    }
};

int main()
{
    DFS_Traverse dfs(5, 8);
    dfs.Init_tu();
    dfs.GetEdgeInfo();

    cout << "初始信息：" << endl;
    dfs.Print();
    //dfs.dfs_Alg(1);


    cout << "最短路径(顶点1到5顶点)：" << endl;
    dfs.dfs_minpath_Alg(1, 0, 5);
    cout << dfs.Print_minPath() << endl;
    return 0;
}