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给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。

示例 1:

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。
示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58

思路

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
   dp[i]：分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]。
2. 确定递推公式
   从1遍历j，比较(i - j) * j和dp[i - j] * j 取最大的。递推公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
3. dp的初始化
   只初始化dp[2] = 1，从dp[i]的定义来说，拆分数字2，得到的最大乘积是1
4. 确定遍历顺序
   dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态，所以遍历i一定是从前向后遍历
   j的结束条件是 j < i - 1 ，让j = i - 1，的话，其实在 j = 1的时候，这一步就已经拆出来了，重复计算，所以 j < i - 1
   此外，拆分一个数n 使之乘积最大，那么一定是拆分成m个近似相同的子数相乘才是最大的。那么 j 遍历，只需要遍历到 n/2 就可以，后面就没有必要遍历了，一定不是最大值。

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        vector<int> dp(n + 1);
        dp[2] = 1;
        for(int i = 3; i <= n; i++){
            for(int j = 1; j <= i / 2; j++){
                dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
            }
        }
        return dp[n];
    }
};