摘要——本文提出了一个用于无蜂窝大规模多输入多输出（CF-mMIMO）集成传感与通信（ISAC）系统的综合框架，其中接入点（AP）被划分为通信接入点（CAP）和传感接入点（SAP），以同时支持下行（DL）通信和多基地传感。一个专用的传感发射器（ST）和多个SAP协同感知指定区域内的目标，而CAP则为多个通信用户（CU）提供服务。为了实现实用的三维（3D）目标定位，我们开发了一种新颖的波束扫描协议，并推导出了DL频谱效率（SE）、主瓣与平均旁瓣传感功率比（MASR）以及目标估计的克拉美-罗下界（CRLB）的闭式表达式。此外，我们构建了一个功率优化问题，以在满足CU的SE约束条件下提高传感性能，并利用分数规划（FP）技术高效地解决了该问题。数值结果表明，我们的方法可实现高达20 dB的传感性能增益，并显著降低了CRLB。

现有的大多数关于CF-mMIMO ISAC的研究都忽略了波束扫描阶段，而这对于实际系统部署至关重要。特别地，在公开文献中，还没有一项研究在一个统一的基于CF-mMIMO的ISAC框架内对波束扫描、下行通信和传感阶段进行联合建模。为了填补这一空白，本文提出了一种新颖的系统模型，该模型将这三个阶段集成到一个统一的CF-mMIMO ISAC架构中。我们的具体贡献如下：

• 我们提出了一个用于分析CF-mMIMO ISAC系统的框架，其中AP被分为CAP和SAP，以共同支持下行通信和传感。多个CAP为CU提供服务，而一个专用的ST（sensing transmitter）和多个SAP则使用多基地传感方法来感知一个已定义区域内的目标。
• 我们提出了一种波束扫描协议，用于在SAP处局部估计目标的3D位置，即方位角和俯仰角。通过利用“使用后即忘”的边界策略，我们推导出了CU的下行链路SE的闭式表达式。此外，我们还推导出了传感区域的MASR和目标角度估计的CRLB。
• 我们建立并解决了一个高效的优化问题，该问题在保证CU的最小SE的同时增强了传感性能。由此产生的非凸FP问题通过二次变换和逐次凸逼近来求解。仿真结果表明，所提出的优化框架显著增强了传感性能，实现了高达20 dB的MASR增益，并显著改善了CRLB性能。

A. Channel Model and Uplink Training

CAP $m$ (ST) 和 SAP $r$ 之间的信道矩阵表示为 ${\mathbf{G}}_{mr}=\sqrt{{\bar{\beta }}_{mr}}{\tilde{\mathbf{G}}}_{mr}\in {\mathbb{C}}^{N_{rx}\times N_{ctx}}$ (${\mathbf{G}}_r=\sqrt{{\bar{\beta }}_r}{\tilde{\mathbf{G}}}_r\in {\mathbb{C}}^{N_{rx}\times N_{stx}}$)，其中 ${\bar{\beta }}_{mr}$ (${\bar{\beta }}_r$) 是大尺度衰落系数，而 ${\tilde{\mathbf{G}}}_{mr}\in {\mathbb{C}}^{N_{rx}\times N_{ctx}}$ (${\tilde{\mathbf{G}}}_r\in {\mathbb{C}}^{N_{rx}\times N_{stx}}$) 是小尺度衰落矩阵，其元素为独立同分布 (i.i.d.) 的复高斯随机变量，且均服从 $\mathcal{C}\mathcal{N}(0,1)$ 分布。

第 $m$ 个 CAP (ST) 和第 $k$ 个 CU 之间的信道向量表示为 ${\mathbf{g}}_{mk}\in {\mathbb{C}}^{N_{ctx}\times 1}$ (${\mathbf{g}}_k\in {\mathbb{C}}^{N_{stx}\times 1}$)，$\forall m\in \mathcal{M}$ 和 $k\in \mathcal{K}$。其模型为 ${\mathbf{g}}_{mk}=\sqrt{{\beta }_{mk}}{\tilde{\mathbf{g}}}_{mk}$ (${\mathbf{g}}_k=\sqrt{{\beta }_k}{\tilde{\mathbf{g}}}_k$)，其中 ${\beta }_{mk}$ (${\beta }_k$) 是大尺度衰落系数，而 ${\tilde{\mathbf{g}}}_{mk}\in {\mathbb{C}}^{N_{ctx}\times 1}$ (${\tilde{\mathbf{g}}}_k\in {\mathbb{C}}^{N_{stx}\times 1}$) 是小尺度衰落向量，其元素是独立同分布的，且均服从 $\mathcal{C}\mathcal{N}(0,1)$ 分布。在每个长度为 ${\tau }_c$ 的相干块中，所有 CU 被假定为向所有的 CAP 和 ST 发送长度为 $\tau$ 的两两正交的导频序列，这要求 $\tau \ge K$。在 CAP $m$，${\mathbf{g}}_{mk}$ 是通过使用接收到的导频信号和最小均方误差 (MMSE) 估计技术来估计的。根据 [11]，${\mathbf{g}}_{mk}$ 的 MMSE 估计 ${\hat{\mathbf{g}}}_{mk}$ 服从分布 ${\hat{\mathbf{g}}}_{mk}\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(0,{\gamma }_{mk}{\mathbf{I}}_{N_{ctx}})$，其中 ${\gamma }_{mk}\triangleq \frac{\tau {\rho }_t{\beta }_{mk}^2}{\tau {\rho }_t{\beta }_{mk}+1}$，而 ${\rho }_t$ 是每个导频符号的归一化信噪比 (SNR)。

为什么这里说，“这要求 $\tau \ge K$”

线性代数的一个基本原理：在一个 τ 维的向量空间中，你最多只能找到 τ 个相互正交的向量

B. Proposed Protocol for ISAC

我们现在为所考虑的系统提出一个实用的ISAC协议。在传感和通信阶段，ST扫描给定码本 $\mathcal{B}$ 中的波束，而SAP则收集从目标反射的回波信号。在波束扫描结束时，每个SAP利用接收到的回波信号，根据仰角和方位角离开角（AoD）来局部估计目标的3D位置。为了执行3D波束扫描，我们考虑一个包含$LQ$个波束的码本 B ≜ { w 11 s , … , w Q 1 s , w 12 s , … , w Q 2 s , … , w 1 L s , … , w Q L s } \mathcal{B} \triangleq \{\mathbf{w}_{11}^s, \dots, \mathbf{w}_{Q1}^s, \mathbf{w}_{12}^s, \dots, \mathbf{w}_{Q2}^s, \dots, \mathbf{w}_{1L}^s, \dots, \mathbf{w}_{QL}^s\} B≜{w11s​,…,wQ1s​,w12s​,…,wQ2s​,…,w1Ls​,…,wQLs​}，其中 ${\mathbf{w}}_{ql}^s=a_{stx}({\theta }_q,{\varphi }_l)$，且$1\le q\le Q$和$1\le l\le L$。更具体地说，目标区域（其中${\theta }^{\min }\le \theta \le {\theta }^{\max }$，${\varphi }^{\min }\le \varphi \le {\varphi }^{\max }$）被划分为若干个等间距的子区域，这些子区域由$({\theta }_q,{\varphi }_l)$表示，其中$1\le q\le Q$且$1\le l\le L$。

为此，我们将 $\bar{\tau }$ 划分为 $LQ$ 个相等的子区间，表示为${\bar{\tau }}_{ql}$，使得${\sum }_{q=1}^Q{\sum }_{l=1}^L{\bar{\tau }}_{ql}=\bar{\tau }$。在每个 ${\bar{\tau }}_{ql}$ 期间，ST使用码本 $\mathcal{B}$ 中的一个专用波束来扫描目标区域的特定部分。同时，所有CAP向CU进行相干传输，并且每个CAP处的通信预编码器在整个 $\bar{\tau }$ 期间保持固定。与此同时，所有SAP接收来自潜在目标的的回波信号，以及来自CAP的干扰。¹

¹传感（和定位）精度取决于波束扫描码本的大小。更多的波束（即更大的 $LQ$ ）会产生更窄、更具针对性的波束，从而提高精度并减少对通信用户（CU）的干扰。然而，码本的使用受到相干间隔 $\bar{\tau }$ 和传感发射器（ST）处波束切换复杂度的限制。

ST 在第 $ql$ 个子区间 ${\bar{\tau }}_{ql}$ 内传输离散时间传感信号 $s_{ql}(t)=\sqrt{{\eta }^s{\rho }_d}{w}_{ql}^{s\ast }{x}_{ql}(t)$，其中 $x_{ql}(t)$ 是单位功率的传感训练符号，${\eta }^s$ 是 ST 处的功率分配系数，而 ${\rho }_d$ 表示归一化下行链路信噪比。另一方面，在下行链路通信和传感阶段 $\bar{\tau }$ 期间，从 CAP $m$ 到 CU 的发射信号建模为 $x_m(t)={\sum }_{k\in \mathcal{K}}\sqrt{{\eta }_{mk}^c{\rho }_d}{w}_{mk}^c{c}_k(t)$，其中 ${\eta }_{mk}^c$ 是 CAP $m$ 用于 CU $k$ 的功率系数；$c_k(t)$, $\forall k\in \mathcal{K}$ 是用于 CU $k$ 的通信符号，其功率为 E { ∣ c k ( t ) ∣ 2 } = 1 \mathbb{E}\{|c_k(t)|^2\} = 1 E{∣ck​(t)∣2}=1；$w_{mk}^c\in {\mathbb{C}}^{N_{ctx}\times 1}$ 表示 CAP $m$ 用于 CU $k$ 的通信预编码向量。因此，在 ${\bar{\tau }}_{ql}$ 期间，在 CU $k$ 处接收到的信号可以表示为

$$\begin{array}{rl}{y}_{k,ql}(t)& =\sum _{m\in {\mathcal{M}}_t}\sqrt{{\eta }_{mk}^{\mathrm{c}}{\rho }_d}{\mathbf{g}}_{m,k}^{†}{\mathbf{w}}_{mk}^{\mathrm{c}}{c}_k(t)\\ & +\sum _{m\in {\mathcal{M}}_t}\sum _{k^{\prime }\in \mathcal{K}\backslash k}\sqrt{{\eta }_{m{k}^{\prime }}^{\mathrm{c}}{\rho }_d}{\mathbf{g}}_{m,k}^{†}{\mathbf{w}}_{m{k}^{\prime }}^{\mathrm{c}}{c}_{k^{\prime }}(t)\\ & +\sqrt{{\eta }^{\mathrm{s}}{\rho }_d}{\mathbf{g}}_k^{†}{\mathbf{w}}_{ql}^{{\mathbf{s}}^{\ast }}{x}_{ql}(t)+n_{k,ql}(t),\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$

其中 $n_{k,ql}(t)\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(0,{\sigma }_n^2)$ 是 CU $k$ 处的加性噪声。在(3)中，第一项代表期望信号，第二项是来自其他 CU 的干扰，第三项对应于传感带来的干扰。

考虑到 ST 处的波束码本，目标可能与波束 ${\mathbf{w}}_{ql}^s$ 近似对齐或完全未对齐。令 ${\bar{\theta }}_q$ (${\bar{\theta }}_m$) 和 ${\bar{\varphi }}_l$ (${\bar{\varphi }}_m$) 为相对于 ST (CAP $m$) 的真实仰角和方位角 AoD，令 ${\bar{\psi }}_{r,q}$, ${\bar{v}}_{r,q}$ 表示其相对于 SAP $r$ 的精确仰角和方位角 AoA。如果目标大约在 ${\mathbf{w}}_{ql}^s$ 的方向上，则在第 $r$ 个 SAP 处于 ${\bar{\tau }}_{ql}$ 期间接收到的信号可以写为²

²如果目标完全未对准，则
$${\mathbf{y}}_{r,ql}(t)=\sum _{m\in {\mathcal{M}}_t}(G_{mr}+{\alpha }_{mr}\sqrt{{\beta }_{mr}^s}){\mathbf{a}}_{rx}({\bar{\Phi }}_{r,q},{\bar{\nu }}_{r,q}){\mathbf{a}}_{stx}^T({\bar{\theta }}_m,{\bar{\varphi }}_m){\mathbf{x}}_m(t)+{\mathbf{n}}_{r,ql}(t)$$
即，SAP $r$ 只接收来自通信信号的回波。

$$\begin{array}{rl}{\overline{\mathbf{y}}}_{r,ql}& (t)=\left({\mathbf{G}}_r+{\alpha }_r\sqrt{{\beta }_r^{\mathrm{s}}}{\mathbf{a}}_{\mathrm{rx}}\left({\bar{\phi }}_{r,q},{\bar{\nu }}_{r,q}\right){\mathbf{a}}_{\mathrm{stx}}^T\left({\bar{\theta }}_q,{\bar{\varphi }}_l\right)\right){\mathbf{s}}_{ql}(t)\\ & +\sum _{m\in {\mathcal{M}}_t}({\mathbf{G}}_{mr}+{\alpha }_{mr}\sqrt{{\beta }_{mr}^{\mathrm{s}}}\\ & \times {\mathbf{a}}_{\mathrm{rx}}\left({\bar{\phi }}_{r,q},{\bar{\nu }}_{r,q}\right){\mathbf{a}}_{\mathrm{stx}}^T\left({\bar{\theta }}_m,{\bar{\varphi }}_m\right)){\mathbf{x}}_m(t)+{\mathbf{n}}_{r,ql}(t),\end{array}(4)$$

其中 ${\alpha }_r$ (${\alpha }_{mr}$) $\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(0,1)$ 是从 ST (CAP $m$) 到 SAP $r$ 的反射路径所对应的目标的归一化双基地雷达散射截面（RCS），而 ${\beta }_r^{sr}$ (${\beta }_{mr}^{sr}$) 是包括从 ST (CAP $m$) 到 SAP $r$ 穿过目标的路径损耗在内的信道增益。

III. PERFORMANCE ANALYSIS AND OPTIMIZATION

A. SE Analysis for DL Communication

我们考虑部分迫零 (PZF) 预编码，它在干扰抑制和阵列增益之间取得了平衡 [12]。因此，通过使用 [12, Eq. (45)] 中的分组策略，每个 CAP $m$ 将 CU 分为两组： S m ⊂ { 1 , … , K } S_m \subset \{1, \dots, K\} Sm​⊂{1,…,K}，其中包含强 CU 的索引，以及 W m ⊂ { 1 , … , K } W_m \subset \{1, \dots, K\} Wm​⊂{1,…,K}，其中包含弱 CU 的索引。然后，CAP $m$ 对 $S_m$ 中的 CU 采用迫零 (ZF) 预编码，对 $W_m$ 中的 CU 采用最大比传输 (MRT) 预编码。在 CAP $m$ 处的局部 ZF 预编码由 $w_{mk}^{c,ZF}={\gamma }_{mk}{\hat{\mathbf{G}}}_{S_m}(({\hat{\mathbf{G}}}_{S_m}{)}^{†}{\hat{\mathbf{G}}}_{S_m}{)}^{-1}{\mathbf{e}}_k$ 给出，其中 ${\hat{\mathbf{G}}}_{S_m}=[{\hat{g}}_{mk}:k\in S_m]$ 是一个 $N_{ctx}\times |S_m|$ 维的聚合信道估计矩阵，该矩阵由 $S_m$ 中所有 CU 到 CAP $m$ 的信道组成，而 ${\mathbf{e}}_k$ 是 ${\mathbf{I}}_K$ 的第 $k$ 列。此外，由 CAP $m$ 为下行链路 CU $k\in W_m$ 局部构建的 MRT 预编码向量由 $w_{mk}^{c,MRT}={\hat{g}}_{mk}$ 给出。通过在 CAP $m$ 应用 PZF，(3) 中 CU $k$ 处的接收信号可以重写为

$$\begin{array}{rl}{y}_{k,ql}(t)& =\sqrt{{\rho }_d}(\sum _{m\in Z_k}\sqrt{{\eta }_{mk}^c}({\mathbf{g}}_{mk}{)}^{†}{\mathbf{w}}_{mk}^{c,ZF}+\sum _{m\in T_k}\sqrt{{\eta }_{mk}^c}({\mathbf{g}}_{mk}{)}^{†}{\mathbf{w}}_{mk}^{c,MRT})c_k(t)\\ & +\sqrt{{\rho }_d}\sum _{k^{\prime }\in \mathcal{K}\setminus k}(\sum _{m\in Z_k}\sqrt{{\eta }_{m{k}^{\prime }}^c}({\mathbf{g}}_{mk}{)}^{†}{\mathbf{w}}_{m{k}^{\prime }}^{c,ZF}+\sum _{m\in T_k}\sqrt{{\eta }_{m{k}^{\prime }}^c}({\mathbf{g}}_{mk}{)}^{†}{\mathbf{w}}_{m{k}^{\prime }}^{c,MRT})c_{k^{\prime }}(t)\\ & +\sqrt{{\eta }^s{\rho }_d}{\mathbf{g}}_{st}^k{\mathbf{w}}_{ql}^s{x}_{ql}(t)+n_{k,ql}(t),\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$

其中 $Z_k$ ($T_k$) 表示将第 $k$ 个 CU 分配到 $S_m$ ($W_m$) 中以进行 ZF (MRT) 预编码的 CAP 索引集合，定义为 Z k ≜ { m : k ∈ S m , m ∈ M t } Z_k \triangleq \{m: k \in S_m, m \in \mathcal{M}_t\} Zk​≜{m:k∈Sm​,m∈Mt​} ( T k ≜ { m : k ∈ W m , m ∈ M t } T_k \triangleq \{m: k \in W_m, m \in \mathcal{M}_t\} Tk​≜{m:k∈Wm​,m∈Mt​})，且有 $Z_k\cap T_k=\varnothing$ 和 $Z_k\cup T_k={\mathcal{M}}_t$。为了检测 $c_k(t)$，假设第 $k$ 个下行链路 CU 依赖于随机的信道状态信息。使用“使用后即忘”容量界技术 [11]，可实现下行链路频谱效率 (SE) (单位：bit/s/Hz) 的闭式表达式可获得如下。

命题1. 在第 $k$ 个 CU 处的可实现下行链路 SE 由 $S_k({\eta }^c,{\eta }^s)=\frac{\bar{\tau }}{{\tau }_c}{\log }_2(1+{\text{SINR}}_k)$ 给出，其中
$${\text{SINR}}_k=\frac{(\sqrt{{\rho }_d}{\sum }_{m\in \mathcal{M}}\sqrt{{\eta }_{mk}^c}{u}_{mk}{)}^2}{{\rho }_d{\sum }_{m\in {\mathcal{M}}_t}{\sum }_{k^{\prime }\in \mathcal{K}}{\eta }_{m{k}^{\prime }}^c{f}_{mk{k}^{\prime }}+{\rho }_d{N}_{stx}^2{\eta }^s{\beta }_k+1},\text{\hspace{1em}(6)}$$
其中 η c ≜ { η m k c , m ∈ M t , k ∈ K } \eta^c \triangleq \{\eta_{mk}^c, m \in \mathcal{M}_t, k \in \mathcal{K}\} ηc≜{ηmkc​,m∈Mt​,k∈K}；$u_{mk}\triangleq {\delta }_{mk}^{ZF}{\gamma }_{mk}+{\delta }_{mk}^{TK}{N}_{ctx}{\gamma }_{mk}$；$f_{mk{k}^{\prime }}\triangleq {\delta }_{mk}^{ZF}({\beta }_{mk}-{\gamma }_{mk})|S_m|+{\delta }_{mk}^{TK}{N}_{ctx}{\gamma }_{mk}{\beta }_{mk}$；二元分组分配变量 ${\delta }_{mk}^{ZF}=1$ (${\delta }_{mk}^{TK}=1$) 如果 $m\in Z_k$ ($m\in T_k$)，否则为0。

B. CRLB Computation for Sensing

根据(4)，从SAP $r$ 经由 ${\mathbf{G}}_r$ 和 ${\mathbf{G}}_{mr}$ 接收到的传感和通信信号可以被准确估计和消除，以减轻干扰 [3]。因此，在 ${\bar{\tau }}_{ql}$ 采样期间，干扰消除后，SAP $r$ 处的期望传感信号可以表示为

$${\mathbf{y}}_{r,ql}(t)={\alpha }_r\sqrt{{\beta }_r^{sr}{\rho }_d}{\mathbf{a}}_{rx}({\bar{\phi }}_{r,q},{\bar{\nu }}_{r,q})\times {\mathbf{a}}_{stx}^T({\bar{\theta }}_q,{\bar{\varphi }}_l)x_{ql}(t)+{\hat{\mathbf{n}}}_{r,ql}(t),\text{\hspace{1em}(7)}$$

其中
$${\hat{\mathbf{n}}}_{r,ql}(t)=\sum _{m\in {\mathcal{M}}_t}\sum _{k\in \mathcal{K}}\sqrt{{\beta }_{mr}^{sr}{\eta }_{mk}^c{\rho }_d}{\alpha }_{mr}\times {\mathbf{a}}_{rx}({\bar{\phi }}_{r,q},{\bar{\nu }}_{r,q}){\mathbf{a}}_{stx}^T({\bar{\theta }}_m,{\bar{\varphi }}_m){\mathbf{w}}_{mk}^c{c}_k(t)+{\mathbf{n}}_{r,ql}(t),$$
被认为是总体噪声。我们可以将 ${\hat{\mathbf{n}}}_{r,ql}(t)$ 近似为 $\mathcal{C}\mathcal{N}(0,\Lambda {\mathbf{I}}_{N_{rx}})$，其中 $\Lambda ={\sigma }_n^2+{\rho }_d{N}_{ctx}{\sum }_{m\in {\mathcal{M}}_t}{\sum }_{k\in \mathcal{K}}{\beta }_{mr}^{sr}{\alpha }_{mr}^2{\eta }_{mk}^c{\gamma }_{mk}{q}_{mk}$，这里我们使用了 E { w m k c ( w m k c ) † } = γ m k q m k I N \mathbb{E}\{\mathbf{w}_{mk}^c (\mathbf{w}_{mk}^c)^\dagger\} = \gamma_{mk} q_{mk} \mathbf{I}_N E{wmkc​(wmkc​)†}=γmk​qmk​IN​ 这一事实，且 $q_{mk}\triangleq \frac{{\delta }_{mk}^{ZF}}{N-|S_m|}+{\delta }_{mk}^{TK}N$。

在定位阶段，我们的目标是估计未知角度 ${\bar{\phi }}_{r,q}$，${\bar{\nu }}_{r,q}$，${\bar{\theta }}_q$ 和 ${\bar{\varphi }}_l$，因此，一个 $4\times 4$ 的费雪信息矩阵 (FIM) 由下式给出

$$\text{FIM}=\left[\begin{array}{cccc}{F}_{{\bar{\phi }}_{r,q}{\bar{\phi }}_{r,q}}& F_{{\bar{\phi }}_{r,q}{\bar{\nu }}_{r,q}}& F_{{\bar{\phi }}_{r,q}{\bar{\theta }}_q}& F_{{\bar{\phi }}_{r,q}{\bar{\varphi }}_l}\\ F_{{\bar{\nu }}_{r,q}{\bar{\phi }}_{r,q}}& F_{{\bar{\nu }}_{r,q}{\bar{\nu }}_{r,q}}& F_{{\bar{\nu }}_{r,q}{\bar{\theta }}_q}& F_{{\bar{\nu }}_{r,q}{\bar{\varphi }}_l}\\ F_{{\bar{\theta }}_q{\bar{\phi }}_{r,q}}& F_{{\bar{\theta }}_q{\bar{\nu }}_{r,q}}& F_{{\bar{\theta }}_q{\bar{\theta }}_q}& F_{{\bar{\theta }}_q{\bar{\varphi }}_l}\\ F_{{\bar{\varphi }}_l{\bar{\phi }}_{r,q}}& F_{{\bar{\varphi }}_l{\bar{\nu }}_{r,q}}& F_{{\bar{\varphi }}_l{\bar{\theta }}_q}& F_{{\bar{\varphi }}_l{\bar{\varphi }}_l}\end{array}\right],\text{\hspace{1em}(9)}$$

其元素通过 $F_{ij}=\frac{\partial {\mathbf{y}}_{r,ql}^s(t)}{\partial i}(\frac{\partial {\mathbf{y}}_{r,ql}^s(t)}{\partial j}{)}^{†}$ 计算，其中 ${\mathbf{y}}_{r,ql}^s(t)$ 表示(7)中的无噪声接收信号，且 { i , j } ∈ { φ ˉ r , q , ν ˉ r , q , θ ˉ q , ϕ ˉ l } \{i, j\} \in \{\bar{\varphi}_{r,q}, \bar{\nu}_{r,q}, \bar{\theta}_q, \bar{\phi}_l\} {i,j}∈{φˉ​r,q​,νˉr,q​,θˉq​,ϕˉ​l​}。由于空间限制，我们省略了 $F_{ij}$ 的闭式表达式。然后，可以通过取相应对角线元素的轨迹的倒数来推导出估计角度的克拉美-罗下界 (CRLB) [13]。

C. Performance Optimization

我们构建一个优化问题来增强传感性能，同时确保为 CU 提供一定的 SE。我们关注 ST 发射波束方向图和所有 CAP 的组合波束方向图。通过增强此比率，所有 APS 接收到的回波信号变得更有效，从而降低 CRLB。

在子相干区间 ${\bar{\tau }}_{ql}$ 期间，ST 将其波束朝向 $({\theta }_q,{\varphi }_l)$ 方向（即波束扫描的方向）进行控制。由于所有 CAP 同时在相同频带上传输，因此朝向波束扫描下区域的发射波束方向图由下式给出

$$P_{ql}({\theta }_q,{\varphi }_l;{\theta }_m,{\varphi }_m)=P_{ql}^s+P_{ql}^c,\text{\hspace{1em}(10)}$$

其中 $P_{ql}^{\mathbf{s}}\triangleq \mathbb{E}\left\{{\mathbf{a}}_{\mathrm{stx}}^{†}\left({\theta }_q,{\varphi }_l\right){\mathbf{s}}_{ql}(t){\mathbf{s}}_{ql}^{†}(t){\mathbf{a}}_{\mathrm{stx}}\left({\theta }_q,{\varphi }_l\right)\right\}$ 是期望的传感波束方向图，而 $P_{ql}^c\triangleq {\sum }_{m\in {\mathcal{M}}_t}\mathbb{E}\left\{{\mathbf{a}}_{\mathrm{ctx}}^{†}\left({\theta }_m,{\varphi }_m\right){\mathbf{x}}_m(t){\mathbf{x}}_m^{†}(t){\mathbf{a}}_{\mathrm{ctx}}\left({\theta }_m,{\varphi }_m\right)\right\}$ 代表在传感过程中引起失真的通信功率方向图，同时 $({\theta }_m,{\varphi }_m)$ 表示扫描区域相对于 CAP $m$ 的仰角和方位角 AoD。为了照亮方向为 $({\theta }_q,{\varphi }_l)$ 的目标，理想情况是使 $P_{ql}^s$ 尽可能大，而失真项 $P_{ql}^c$ 尽可能小。因此，我们定义 MASR $=P_{ql}^s/P_{ql}^c$，其可以计算为

$$\text{MASR}=\frac{{\eta }^s{N}_{stx}^2}{{\sum }_{m\in {\mathcal{M}}_t}{\mathbf{a}}_{stx}^T({\theta }_m,{\varphi }_m)({\sum }_{k\in \mathcal{K}}{\eta }_{mk}^c{\gamma }_{mk}{q}_{mk}){\mathbf{a}}_{stx}({\theta }_m,{\varphi }_m)}.\text{\hspace{1em}(11)}$$

通过检查 (6) 和 (11)，我们观察到 SE 和 MASR 都与 ST 和 CAP 的功率分配密切相关。传统方法最小化实际波束方向图与期望波束方向图之间的均方误差，但对后者没有先验知识。作为替代方案，最大化波束方向图旨在增强发射信号的功率分布，确保更强和更均匀的波束覆盖。因此，我们构建了以下波束方向图最大化问题：

$$\begin{array}{rl}(P1):\underset{{\eta }^c,{\eta }^s}{\max }& \text{MASR}({\mathbf{\eta }}^c,{\mathbf{\eta }}^s)\\ \text{s.t.}& {\text{SINR}}_k({\mathbf{\eta }}^c,{\mathbf{\eta }}^s)\ge {\bar{\xi }}_k,\forall k\in \mathcal{K},\\ & \sum _{k\in \mathcal{K}}{\eta }_{mk}^c{\gamma }_{mk}{q}_{mk}\le 1,\forall m\in {\mathcal{M}}_t,\\ & N_{stx}{\eta }^s\le 1,\end{array}\text{\hspace{1em}(12a)(12b)(12c)(12d)}$$

其中约束 (12b) 确保了每个 CU 的最低 SE 要求，表示为 ${\overline{\text{SE}}}_k$，其中 ${\bar{\xi }}_k\triangleq (2^{\frac{{\tau }_c}{\bar{\tau }}{\overline{\text{SE}}}_k}-1)$。同时，约束 (12c) 和 (12d) 分别强制了每个 CAP 和 ST 可用的最大功率预算。问题 (P1) 是一个单比率最大化的分数规划 (FP) 问题，且 (12b) 是非凸的。我们首先找到不等式 (12b) 左侧的一个凹下界。为此，我们注意到函数 $x^2/y$ 对于 $y>0$ 是凸的，因此有 $\frac{x^2}{y}\ge \frac{x_0}{y_0}(2x-\frac{x_0}{y_0}y)$，这是通过在 $x_0$ 和 $y_0$ 周围对 $x^2/y$ 进行线性化得到的。我们首先定义 ${\Omega }_k^{\text{PZF}}({\eta }^c,{\eta }^s)\triangleq {\rho }_d{\sum }_{m\in {\mathcal{M}}_t}{\sum }_{k^{\prime }\in \mathcal{K}}{\eta }_{m{k}^{\prime }}^c{f}_{mk{k}^{\prime }}+{\rho }_d{N}_{stx}^2{\eta }^s{\beta }_k+1$。然后，(12b) 可以被近似为

$${\nu }_k^{(n)}(2\sqrt{{\rho }_d}\sum _{m\in \mathcal{M}}{u}_{mk}\sqrt{{\eta }_{mk}^c}-{\nu }_k^{(n)}{\Omega }_k^{\text{PZF}}({\eta }^c,{\eta }^s))\ge {\bar{\xi }}_k,\text{\hspace{1em}(13)}$$

其中 ${\nu }_k^{(n)}=\frac{\sqrt{{\rho }_d}{\sum }_{m\in \mathcal{M}}{u}_{mk}\sqrt{{\eta }_{mk}^{c,(n)}}}{{\Omega }_k^{\text{PZF}}({\eta }^{c,(n)},{\eta }^{s,(n)}{)}^2}$，$\forall k\in \mathcal{K}$，并且我们