例 8.5.2 利用弗洛伊德算法，对图 8.5.5 中左侧的带权有向图求最短路径，给出每一对顶点之间的最短路径及其路径长度在求解过程中的变化。

【解】

根据图 8.5.5 中的带权有向图，可得所对应的邻接矩阵 $g$ ，如图 8.5.5 右侧图所示。

根据弗洛伊德算法，所对应的 $4\times 4$ 的矩阵序列是：$A_{-1},A_0,A_1,A_2,A_3(n=4)$ 。

（1）$A_{-1}$ ，不经过任何中间结点，任何两个顶点之间的距离，即为邻接矩阵
$$\begin{array}{r}{A}_{-1}=g=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& \infty & 4\\ \infty & 0& 9& 2\\ 3& 5& 0& 8\\ \infty & \infty & 6& 0\end{array}\right]\end{array}$$
用矩阵 ${\text{path}}_{-1}$ 保存此时的最短路径，注意，此时意味着两个顶点之间是否有直接地、不经过中间顶点的路径。如果顶点 $i$ 和顶点 $j$ 之间有路径，则 ${path}_{-1}[i][j]=i$ ，否则 ${path}_{-1}[i][j]=-1$ 。

• 元素 $A_{-1}[0][0]$ （下标按照图 3 右侧的邻接矩阵方式表示），说明顶点 0 到顶点 0 没有路径，则 ${path}_{-1}[0][0]=-1$ 。
• 元素 $A_{-1}[0][1]=1$ ，说明顶点 0 到顶点 1 的路径权值是 1 ，有路径，则 ${path}_{-1}[0][1]=0$ 。
• 元素 $A_{-1}[0][2]=\infty$ ，说明顶点 0 到顶点 2 没有路径，则 ${path}_{-1}[0][2]=-1$ 。
• $\cdots$

用上述方法，即可得到矩阵 ${path}_{-1}$ 。具体实现的时候，可以按照行号观察 $A_{-1}$ ，在某一行中，其元素非 $0$ 或者非 $\infty$ ，则说明该行号到所对应列有路径，那么对应到 ${path}_{-1}$ 中的相应位置元素即为 $A_{-1}$ 中的该行的行号；否则为 $-1$ 。所以得到矩阵 ${path}_{-1}$ 如下：
$${path}_{-1}=\left[\begin{array}{cccc}-1& 0& -1& 0\\ -1& -1& 1& 1\\ 2& 2& -1& 2\\ -1& -1& 3& -1\end{array}\right]$$
（2） $A_0$ ，以顶点 0 为中间点，任何两个顶点之间的最短距离，即 $A_0[i,j]=\min (A_{-1}[i,j],A_{-1}[i,0])+A_{-1}[0,j])$ 。
$$\begin{array}{rl}& A_0[0,0]=0\\ & A_0[0,1]=\min (A_{-1}[0,1],A_{-1}[0,0]+A_{-1}[0,1])=1\\ & A_0[0,2]=\min (A_{-1}[0,2],A_{-1}[0,0]+A_{-1}[0,2])=\infty \\ & ⋮\\ & A_0[2,1]=\min (A_{-1}[2,1],A_{-1}[2,0]+A_{-1}[0,1])=4\\ & ⋮\end{array}$$
最终得到 $A_0$ 如下：
$$A_0=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& \infty & 4\\ \infty & 0& 9& 2\\ 3& 4& 0& 7\\ \infty & \infty & 6& 0\end{array}\right]$$
如果 $A_0[i,j]=A_1[i,j]$ ，则说明路径没有调整，即 ${path}_0[i,j]={path}_{-1}[i,j]$ 。

否则，路径已经调整，即：经过顶点 $k$ 的路径较短，则 $A_k[i][j]=A_{k-1}[i][k]+A_{k-1}[k][j]$ ，${\text{path}}_k[i][j]=a={\text{path}}_{k-1}[k][j]$ ，所以有：${path}_0[i,j]={path}_{-1}[0,j]$ 。

由以上规则，可得矩阵 $path$ ：
$${path}_0=\left[\begin{array}{cccc}-1& 0& -1& 0\\ -1& -1& 1& 1\\ 2& 0& -1& 0\\ -1& -1& 3& -1\end{array}\right]$$
（3）$A_1$ ，以顶点 1 为中间点，任何两点之间的最短距离，即 $A_1[i,j]=\min (A_0[i,j],A_0[i,1]+A_0[1,j])$ 。
$$\begin{array}{rl}& A_1[0,0]=0\\ & A_1[0,1]=\min (A_0[0,1],A_0[0,1]+A_0[1,1])=1\\ & A_1[0,2]=\min (A_0[0,2],A_0[0,1]+A_0[1,2])=10\\ & A_1[0,3]=\min (A_0[0,3],A_0[0,1]+A_0[1,3])=3\\ & A_1[1,0]=\min (A_0[1,0],A_0[1,1]+A_0[1,0])=\infty \\ & ⋮\end{array}$$
最终得到：
$$A_1=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 10& 3\\ \infty & 0& 9& 2\\ 3& 4& 0& 6\\ \infty & \infty & 6& 0\end{array}\right]$$
比较 $A_1$ 和 $A_0$ ，若相等，则 ${path}_1[i,j]={path}_0[i,j]$ ，否则 ${path}_1[i,j]={path}_0[1,j]$ ，由此得到：
$${path}_1=\left[\begin{array}{cccc}-1& 0& 1& 1\\ -1& -1& 1& 1\\ 2& 0& -1& 1\\ -1& -1& 3& -1\end{array}\right]$$
依照上述方法，继续计算 $A_2,A_3$ ，最终得到：
$$\begin{array}{rl}& A_3=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 9& 3\\ 11& 0& 8& 2\\ 3& 4& 0& 6\\ 9& 10& 6& 0\end{array}\right]\\ & {path}_3=\left[\begin{array}{cccc}-1& 0& 3& 1\\ 2& -1& 3& 1\\ 2& 0& -1& 1\\ 2& 0& 3& -1\end{array}\right]\end{array}$$
由 $A_3[i,j]$ 可以得出每一对顶点之间的最短距离，由 ${path}_3[i,j]$ 能找出对应着该对顶点之间的路径。

例如：$A_3[1,2]=8$ ，即顶点 1 到顶点 2 的最短路径长度是 8。对应的路径：${path}_3[1,2]=3$ ，即顶点 2 的前驱是顶点 3，即路径 $<3,2>$ 。由于是从顶点 1 出发，顶点 3 是中间点。而从 $1\to 3$ 的路径：${path}_3[1,3]=1$ ，即顶点 3 的前驱是 1。故从 $1\to 2$ 的路径是 $<1,3,2>$ ，这条路径最短，长度是 8。