一、题目概述

给定一个由0,1,2,3··· 的二进制表示拼接而成的长度无限的 01 串。其前若干位形如011011100101110111··· 。
请求出这个串的前x位里有多少个1。

输入格式：
输入的第一行包含一个正整数 x。

输出格式：
输出一行包含一个整数表示答案。

输入输出样例：
输入7，输出5。给定的串的前 7 位为 0110111。

评测用例规模与约定：
对于 60%的评测用例，x≤1e6；
对于所有评测用例，1≤x≤1e18。

洛谷已放出该题，链接为：P12191 [蓝桥杯 2025 省研究生组] 01 串，截至发文蓝桥杯官方题库还未放出该题。

二、解题思路

2.1题目分析

对于60%的用例是10的6次方数量级，可以进行遍历，拿到60%的分数，但是对于最大10的18次方数量级，则需要寻找一定的规律进行解题。

此外要注意题目输入的x为总的二进制位数，而不是最大的整数。

2.2解题思路

解题思路如下：

1. 总结位数规律。首先以整数转换为二进制数后的位数为划分依据，求出x所在的区间。可以观察出2位二进制数的整数范围为2 ~ 3，数量为2的1次方个，3位二进制数的整数范围为4~7，数量为2的2次方个，因此可以求出x所在的位数区间。
2. 总结含1规律。2位二进制数包含的整数为2、3，含1数量为1、2；3位二进制数的整数为4、5、6、7，含1数量为1、2、2、3，依次类推可得出n位二进制数总的含1数量=n-1位二进制数总的含1数量*2+n-1位二进制数的个数。此处可以在excel或纸上进行验算。
3. 根据上述两条规律，可以编写代码解题，不过仍有一些细节需要考虑，详细见下方代码。

三、求解代码

3.1求解步骤

3.1.1求解x所在的二进制位数区间

使用数组a存储二进制位数为i时的位数和，设置a[1]=2, i≥2时，a[i]=i*(1LL<<(i-1))，LL为定义的long long类型别名，累加a[i]就可判断出x所处的二进制位数区间。代码如下：

LL n=1;
LL cnt=0;
a[1]=2;
cnt+=a[1];
for(LL i=2; i<=64; i++)
{
	a[i]=i*(1LL<<(i-1));
	cnt+=a[i];
	if(cnt>x)
	{
		n=i;
		cnt-=a[i];
		break;
	}
}

n为x所处的二进制位数，cnt为二进制位数=1~n-1的所有数的位数和。代码中i的上限为64，可以验证当x≤10的18次方时，i≤55。

3.1.2求解总位数为cnt的含1数

求解总位数为cnt的含1数即为求解二进制位数=1 ~ n-1的所有数的含1数。使用数组b存储二进制位数为i时的含1数，设置b[1]=1，b[2]=3，则当i≥3时，有b[i]=2*b[i-1]+(1LL<<(i-2))。先对数组b赋值，然后根据上一步求出的n求解1~n-1的二进制位数的含1数。代码如下：

b[1]=1;
b[2]=3;
for(LL i=3; i<=55; i++)
{
	b[i]=2*b[i-1]+(1LL<<(i-2));
}
ans+=b[1];
for(LL i=2; i<=n-1; i++)
{
	ans+=b[i];
}

代码中ans为最终输出值。

3.1.3求解cnt+1~x之间的含1数

x所处的区间的二进制位数=n，那么x一定是某个n位数的某一位，cnt+1~x之间存在若干个n位数。因此这一步骤分为两步，第一步是求出存在多少个n位数，这些n位数之间含有多少个1，第二步是求出x所在的n位数的大小，判断这个数截至x位含有多少个1。

第一步代码如下：

LL x1=x-cnt;
LL n1=x1/n;
if(n1>0)
{
	LL n2=log2(n1);
	ans+=b[n2+1];
	LL n3=n1-(1LL<<n2);
	LL tmp;
	while(n3)
	{
		ans+=n3;
		tmp=log2(n3);
		ans+=b[tmp+1];
		n3=n3-(1LL<<tmp);
	}
}

x1即为cnt+1~x之间的位数，x1/n即为存在多少个n位数。接下来的代码较为关键：

1. 按照之前总结的规律可知，n位数含1的数量都是从1开始，1、2、2、3、2、3、3、4，遇到2的幂则在前一组的基础上顺序加1，依次循环，因此求解过程可以递归逆序求解；
2. 设x1/n=7，则这7个数的含1数量依次为1、2、2、3、2、3、3，读者可以此为例，参照代码进行理解。

第二步的代码如下：

LL t=(1LL<<(n-1))+n1;
LL pn=n-1, qn=x1-n1*n;
while(pn&&qn)
{
	if(t&(1LL<<pn))
	{
		ans++;
	}
	pn--;
	qn--;
}

t即为x所在的n位数的大小，然后逐位判断是否含1即可。

3.2完整代码

完整代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;

LL a[64], b[64];
LL x;
LL ans;

int main()
{
	cin>>x;
	if(x<=2)
	{
		if(x==1) cout<<0<<'\n';
		else cout<<1<<'\n';
		return 0;
	}
	LL n=1;
	LL cnt=0;
	a[1]=2;
	cnt+=a[1];
	for(LL i=2; i<=64; i++)
	{
		a[i]=i*(1LL<<(i-1));
		cnt+=a[i];
		if(cnt>x)
		{
			n=i;
			cnt-=a[i];
			break;
		}
	}
	b[1]=1;
	b[2]=3;
	for(LL i=3; i<=55; i++)
	{
		b[i]=2*b[i-1]+(1LL<<(i-2));
	}
	ans+=b[1];
	for(LL i=2; i<=n-1; i++)
	{
		ans+=b[i];
	}
	LL x1=x-cnt;
	LL n1=x1/n;
	if(n1>0)
	{
		LL n2=log2(n1);
		ans+=b[n2+1];
		LL n3=n1-(1LL<<n2);
		LL tmp;
		while(n3)
		{
			ans+=n3;
			tmp=log2(n3);
			ans+=b[tmp+1];
			n3=n3-(1LL<<tmp);
		}
	}
	LL t=(1LL<<(n-1))+n1;
	LL pn=n-1, qn=x1-n1*n;
	while(pn&&qn)
	{
		if(t&(1LL<<pn))
		{
			ans++;
		}
		pn--;
		qn--;
	}
	cout<<ans<<'\n';
	return 0;
}

3.3代码验证

将代码提交至洛谷，洛谷测试用例全部通过。

四、小结

本文给出的代码较为粗糙，如果有更为简介高效的代码，请读者不吝指教。

该题目虽然并没有用到高难度的算法，但是对题目所含规律的发掘则需要一定的细心和耐心，在考场紧张的状态下解题的难度会进一步加大，并且发现规律后还需要考虑较多的细节，想要得分并不容易。