动态规划 13. 完全背包问题解法

52. 携带研究材料（第七期模拟笔试）

代码随想录

可以结合动态规划 8. 01背包问题解法（二维dp数组、滚动数组）以及python中输入的处理方法-CSDN博客对比学习

自己没想出来，看了一下代码随想录里的分析就想出来了，

代码随想录里的分析写的很好，直接摘录放在最后了，供参考

思路

• 关键点

  • 完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。

  • 重要的区别，在于对递推关系的分析！

• 分析

  下面以二维dp为例进行分析，因为二维dp是问题的本质，

  而一维dp是问题的优化，理解透了二维dp就能很方便的写出一维dp！

  • dp定义：

    ​​dp[i][j]​ ​ 表示从下标为​ ​[0-i]​ ​的物品，每个物品可以取无限次，放进容量为​​j​​的背包，价值总和最大是多少

  • dp递推：

    完全背包中，dp[i][j]​的来源有如下两种情况：

    • 不取物品​​i​​：

      背包容量为j​，里面不放物品i​的最大价值是dp[i - 1][j]​；

      因为：只从​​0~i​​索引取物品，若不放物品​​i​​ ，只能从上一层​​0~i-1​​索引物品里面找到最优方案（最优价值）。

      直观理解：从当前格子​​dp[i][j]​ ​的正上方格子​​dp[i - 1][j]​ ​获取信息来源

    • 取物品​​i​​：

      背包空出物品i​的容量后，背包容量为j - weight[i]​，

      dp[i][j - weight[i]]​ 为背包容量为j - weight[i]​且不放物品i​的最大价值，

      那么dp[i][j - weight[i]] + value[i]​ （物品i​的价值），就是背包放物品i​得到的最大价值。

      因为：放了物品​​i​​之后，剩下的背包空间为​​j - weight[i]​ ​ ，

      由于是完全背包，物品是可以取无限个，所以 即使给物品​​i​​留出了一个空间重量，那背包中也可能还有物品​​i​​ ！

      因此当行（物品​​i​​ ）固定，从左到右遍历背包容量（​​j​​依次增大）时，

      遍历到背包容量​​j​​的时候，需要向同一行的（或者说已更新的，如果用一维dp去理解）​​dp[i][j - weight[i]]​ ​索取贡献，

      因此当前的取物品​​i​​的情况，最终的最大价值为​​dp[i][j - weight[i]] + value[i]​ ​

      直观理解：从当前格子​​dp[i][j]​ ​的正左方格子​​dp[i][j - weight[i]]​ ​获取信息来源

    递推公式： ​dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);​ ​

    （注意，完全背包二维dp数组 和 01背包二维dp数组 递推公式的区别，01背包中是 dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])​）

  • dp初始化：

    方法一：完整的初始化

    • 首先从dp[i][j]​的定义出发，如果背包容量j​为0的话，即dp[i][0]​，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0

    • 状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);​

      可以看出有一个方向 i​ 是由 i-1​ 推导出来，那么i​为0的时候就一定要初始化。

      ​dp[0][j]​，即：存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。

      那么很明显当 ​j < weight[0]​ ​的时候，​​dp[0][j]​ ​ 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。

      当j >= weight[0]​时，​dp[0][j]​ ​ 如果能放下​​weight[0]​ ​的话，就一直装，每一种物品有无限个。

      代码初始化如下：

      for (int i = 1; i < weight.size(); i++) {  // 当然这一步，如果把dp数组预先初始化为0了，这一步就可以省略，但很多同学应该没有想清楚这一点。
          dp[i][0] = 0;
      }
      
      // 正序遍历，如果能放下就一直装物品0
      for (int j = weight[0]; j <= bagWeight; j++)
          dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
      

      （注意上面初始化和 01背包理论基础（二维数组） (opens new window)的区别在于物品有无限个）

    方法二：简易的初始化

    令物品种类数为n​，行李最大容量为bagSize​

    • 我们可以参考之前滚动数组和二维dp之间初始化的区别，前者往往更简单，

      因此，将滚动数组的初始化思路换到二维dp中就是：

      二维dp原本开的空间为：n * (bagSize + 1)​，这会导致需要单独对i = 0​的情况进行从初始化。

      那么，我们现在**调整二维dp的形状为：**​ ​(n + 1) * (bagSize + 1)​ ​

      这样，用​​n+1​​作为物品维度数，我们只需要正确初始化行0（这道题中是全初始化为0），​​i == 1​​时，再取用物品0，

      这样物品索引​​0~n-1​​对应着​​i​​的值从​​1~n​​，

      在物品的遍历中，我们采用for i in range(1, n + 1)​，就可以自动更新物品0取用时的情况！

      （因为在遍历过程中，如果从物品0开始迭代，则需要调取物品0正上方的格子，但是按照原本的定义，物品0正上方没有格子了！所以一定得先初始化物品0对应的行，才能从下一行开始迭代。而现在多加了一行初始化行，物品0也可以直接放入遍历中进行迭代更新，因此就不需要多写一个对物品0行的初始化了！）

    • 但是要注意，一定要牢记物品索引​​0~n-1​​对应着​​i​​的值从​​1~n​​，否则很容易出错。

    • 在这种初始化中，我们的dp定义变成了：

      ​dp[i][j]​表示从0~i-1​索引取用物品背包容量为j​时，可以携带的最大价值的研究材料

  • dp遍历顺序：

    外循环：物品维度，正序

    内循环：背包容量维度，正序！

    （即便是一维dp中背包容量维度也需要正序遍历，注意一维dp的遍历范围是​​range(weights[i], bagSize + 1)​ ​ ）

二维dp代码

• 用第二种简易初始化方法的代码：

  import sys
  lines = sys.stdin.readlines()
  
  n, bagSize = map(int, lines[0].strip().split()) # 物品种类数，行李最大容量
  weights = [0] * n
  values = [0] * n
  for i in range(n):
      weights[i], values[i] = map(int, lines[i+1].strip().split())
  
  # dp[i][j]表示从0~i-1索引取用物品背包容量为j时，可以携带的最大价值的研究材料
  # 注意，这里的定义特意是用了n+1作为物品维度数，是因为这样与滚动数组法就能联动，初始化起来类似滚动数组法，更方便了
  # i == 0时，表示初始化；i == 1时，取用物品0
  dp = [[0] * (bagSize + 1) for _ in range(n + 1)]
  
  for i in range(1, n + 1): # 物品维度，注意这里的遍历的起始和终止点！
      for j in range(bagSize + 1): # 背包容量维度
          # 放不进当前物品i-1时（注意这里i对应物品索引i-1）
          if j < weights[i-1]: 
              dp[i][j] = dp[i-1][j]
          else:
              dp[i][j] = max(dp[i-1][j], 
                          dp[i][j-weights[i-1]] + values[i-1])
  
  print(dp[-1][-1])
  
  

• 用第一种常规初始化方法的代码：

  import sys
  lines = sys.stdin.readlines()
  
  n, bagSize = map(int, lines[0].strip().split()) # 物品种类数，行李最大容量
  weights = [0] * n
  values = [0] * n
  for i in range(n):
      weights[i], values[i] = map(int, lines[i+1].strip().split())
  
  # dp[i][j]表示从0~i索引取用物品背包容量为j时，可以携带的最大价值的研究材料
  dp = [[0] * (bagSize + 1) for _ in range(n)]
  # 初始化最上行 (最左列由于已经全部设置为0，就不用再手动初始化了)
  for j in range(weights[0], bagSize + 1):
      dp[0][j] = dp[0][j - weights[0]] + values[0]
  
  for i in range(1, n): # 物品维度，注意这里的遍历的起始和终止点！
      for j in range(bagSize + 1): # 背包容量维度
          # 放不进当前物品i时
          if j < weights[i]: 
              dp[i][j] = dp[i-1][j]
          else:
              dp[i][j] = max(dp[i-1][j], 
                          dp[i][j-weights[i]] + values[i])
  
  print(dp[-1][-1])
  

一维dp代码

• 一维dp就好写很多，不需要写那么长段

  但是要记住，完全背包的一维dp，遍历物品重量时，要从左往右正序遍历了！

  这一点是与01背包不同的

  import sys
  lines = sys.stdin.readlines()
  
  n, bagSize = map(int, lines[0].strip().split()) # 物品种类数，行李最大容量
  weights = [0] * n
  values = [0] * n
  for i in range(n):
      weights[i], values[i] = map(int, lines[i+1].strip().split())
  
  # dp[j]表示背包容量为j时，可以携带的最大价值的研究材料
  dp = [0] * (bagSize + 1)
  
  for i in range(n):
      for j in range(weights[i], bagSize + 1):
          dp[j] = max(
              dp[j], 
              dp[j-weights[i]] + values[i]
              )
  
  print(dp[-1])
  

代码随想录的分析摘录

• 完全背包

  有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次） ，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

  完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。

  同样leetcode上没有纯完全背包问题，都是需要完全背包的各种应用，需要转化成完全背包问题，所以我这里还是以纯完全背包问题进行讲解理论和原理。

  在下面的讲解中，我拿下面数据举例子：

  背包最大重量为4，物品为：

  	重量	价值
  物品0	1	15
  物品1	3	20
  物品2	4	30

  每件商品都有无限个！

  问背包能背的物品最大价值是多少？

  如果没看到之前的01背包讲解，已经要先仔细看如下两篇，01背包是基础，本篇在讲解完全背包，之前的背包基础我将不会重复讲解。

  • 01背包理论基础（二维数组）(opens new window)
  • 01背包理论基础（一维数组）(opens new window)

  动规五部曲分析完全背包，为了从原理上讲清楚，我们先从二维dp数组分析：

  1. 确定dp数组以及下标的含义

  dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品，每个物品可以取无限次，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

  很多录友也会疑惑，凭什么上来就定义 dp数组，思考过程是什么样的， 这个思考过程我在 01背包理论基础（二维数组） (opens new window)中的 “确定dp数组以及下标的含义” 有详细讲解。

  2. 确定递推公式

  这里在把基本信息给出来：

  	重量	价值
  物品0	1	15
  物品1	3	20
  物品2	4	30

  对于递推公式，首先我们要明确有哪些方向可以推导出 dp[i][j]。

  这里依然拿dp[1][4]的状态来举例： （01背包理论基础（二维数组） (opens new window)中也是这个例子，要注意下面的不同之处）

  求取 dp[1][4] 有两种情况：

  1. 放物品1
  2. 还是不放物品1

  如果不放物品1， 那么背包的价值应该是 dp[0][4] 即 容量为4的背包，只放物品0的情况。

  推导方向如图：

  

  如果放物品1， 那么背包要先留出物品1的容量，目前容量是4，物品1 的容量（就是物品1的重量）为3，此时背包剩下容量为1。

  容量为1，只考虑放物品0 和物品1 的最大价值是 dp[1][1]， 注意 这里和 01背包理论基础（二维数组） (opens new window)​有所不同了！

  在 01背包理论基础（二维数组） (opens new window)中，背包先空留出物品1的容量，此时容量为1，只考虑放物品0的最大价值是 dp[0][1]，因为01背包每个物品只有一个，既然空出物品1，那背包中也不会再有物品1！

  而在完全背包中，物品是可以放无限个，所以 即使空出物品1空间重量，那背包中也可能还有物品1，所以此时我们依然考虑放 物品0 和 物品1 的最大价值即： dp[1][1]， 而不是 dp[0][1]

  所以 放物品1 的情况 = dp[1][1] + 物品1 的价值，推导方向如图：

  

  （注意上图和 01背包理论基础（二维数组） (opens new window)​中的区别，对于理解完全背包很重要）

  两种情况，分别是放物品1 和 不放物品1，我们要取最大值（毕竟求的是最大价值）

  ​dp[1][4] = max(dp[0][4], dp[1][1] + 物品1 的价值)​

  以上过程，抽象化如下：

  • 不放物品i：背包容量为j，里面不放物品i的最大价值是dp[i - 1][j]。
  • 放物品i：背包空出物品i的容量后，背包容量为j - weight[i]，dp[i][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]且不放物品i的最大价值，那么dp[i][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值

  递推公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);​

  （注意，完全背包二维dp数组 和 01背包二维dp数组 递推公式的区别，01背包中是 dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])​）

  3. dp数组如何初始化

  关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。

  首先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。如图：

  

  在看其他情况。

  状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);​ 可以看出有一个方向 i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。

  dp[0][j]，即：存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。

  那么很明显当 j < weight[0]​的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。

  当j >= weight[0]​时，dp[0][j] 如果能放下weight[0]的话，就一直装，每一种物品有无限个。

  代码初始化如下：

  for (int i = 1; i < weight.size(); i++) {  // 当然这一步，如果把dp数组预先初始化为0了，这一步就可以省略，但很多同学应该没有想清楚这一点。
      dp[i][0] = 0;
  }
  
  // 正序遍历，如果能放下就一直装物品0
  for (int j = weight[0]; j <= bagWeight; j++)
      dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
  

  （注意上面初始化和 01背包理论基础（二维数组） (opens new window)的区别在于物品有无限个）

  此时dp数组初始化情况如图所示：

  

  dp[0][j] 和 dp[i][0] 都已经初始化了，那么其他下标应该初始化多少呢？

  其实从递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出dp[i][j] 是由上方和左方数值推导出来了，那么 其他下标初始为什么数值都可以，因为都会被覆盖。

  但只不过一开始就统一把dp数组统一初始为0，更方便一些。

  最后初始化代码如下：

  // 初始化 dp
  vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));
  for (int j = weight[0]; j <= bagWeight; j++) {
      dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0]; 
  }
  

  4. 确定遍历顺序

  01背包理论基础（二维数组） (opens new window)中我们讲过，01背包二维DP数组，先遍历物品还是先遍历背包都是可以的。

  因为两种遍历顺序，对于二维dp数组来说，递推公式所需要的值，二维dp数组里对应的位置都有。

  详细可以看 01背包理论基础（二维数组） (opens new window)中的 【遍历顺序】的讲解

  所以既可以 先遍历物品再遍历背包：

  for (int i = 1; i < n; i++) { // 遍历物品
      for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
          if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
          else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
      }
  }
  

  也可以 先遍历背包再遍历物品：

  for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
      for (int i = 1; i < n; i++) { // 遍历物品
          if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
          else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
      }
  }
  

  5. 举例推导dp数组

  以本篇举例数据为例，填满了dp二维数组如图：

  

  因为 物品0 的性价比是最高的，而且 在完全背包中，每一类物品都有无限个，所以有无限个物品0，既然物品0 性价比最高，当然是优先放物品0。