C++高阶数据结构 -- 《 图 》
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图的基本概念
- 图是由顶点集合及顶点间的关系组成的一种数据结构：G = (V， E)，其中：
- 顶点集合V = {x|x属于某个数据对象集}是有穷非空集合；
- E = {(x,y)|x,y属于V}或者E = {<x, y>|x,y属于V && Path(x, y)}是顶点间关系的有穷集合，也叫做边的集合。
- (x, y)表示x到y的一条双向通路，即(x, y)是无方向的；Path(x, y)表示从x到y的一条单向通路，即Path(x, y)是有方向的。
- 顶点和边：图中结点称为顶点，第i个顶点记作vi。两个顶点vi和vj相关联称作顶点vi和顶点vj之间有一条边，图中的第k条边记作ek，ek = (vi，vj)或<vi，vj>。
- 有向图和无向图：在有向图中，顶点对<x, y>是有序的，顶点对<x，y>称为顶点x到顶点y的一条边(弧)，<x, y>和<y, x>是两条不同的边，比如下图G3和G4为有向图。在无向图中，顶点对(x, y)是无序的，顶点对(x,y)称为顶点x和顶点y相关联的一条边，这条边没有特定方向，(x, y)和(y，x)是同一条边，比如下图G1和G2为无向图。注意：无向边(x, y)等于有向边<x, y>和<y, x>。
- 完全图：在有n个顶点的无向图中，若有n * (n-1)/2条边(本质上，可以使用等差数列来计算)，即任意两个顶点之间有且仅有一条边，则称此图为无向完全图，比如上图G1；在n个顶点的有向图中，若有n * (n-1)条边，即任意两个顶点之间有且仅有方向相反的边，则称此图为有向完全图，比如上图G4。
总结：任意两个顶点都直接相连，完全图也是最稠密的图。
- 邻接顶点：在无向图中G中，若(u, v)是E(G)中的一条边，则称u和v互为邻接顶点，并称边(u,v)依附于顶点u和v；在有向图G中，若<u, v>是E(G)中的一条边，则称顶点u邻接到v，顶点v邻接自顶点u，并称边<u, v>与顶点u和顶点v相关联。
- 顶点的度： 顶点v的度是指与它相关联的边的条数，记作deg(v)。在有向图中，顶点的度等于该顶点的入度与出度之和，其中顶点v的入度是以v为终点的有向边的条数，记作indev(v);顶点v的出度是以v为起始点的有向边的条数，记作outdev(v)。因此：dev(v) = indev(v) + outdev(v)。注意：对于无向图，顶点的度等于该顶点的入度和出度，即dev(v) = indev(v) = outdev(v)。
- 路径：在图G = (V， E)中，若从顶点vi出发有一组边使其可到达顶点vj，则称顶点vi到顶点vj的顶点序列为从顶点vi到顶点vj的路径（该路径可以有多条）。
- 路径长度：对于不带权的图，一条路径的路径长度是指该路径上的边的条数；对于带权的图，一条路径的路径长度是指该路径上各个边权值的总和。
- 简单路径与回路：若路径上各顶点v1，v2，v3，…，vm均不重复，则称这样的路径为简单路径。若路径上第一个顶点v1和最后一个顶点vm重合，则称这样的路径为回路或环。
- 子图：设图G = {V, E}和图G1 = {V1，E1}，若V1属于V且E1属于E，则称G1是G的子图。(顶点和边都是原图的一部分)
- 连通图：在无向图中，若从顶点v1到顶点v2有路径，则称顶点v1与顶点v2是连通的。如果图中任意一对顶点都是连通的，则称此图为连通图。
- 强连通图：在有向图中，若在每一对顶点vi和vj之间都存在一条从vi到vj的路径，也存在一条从vj到vi的路径，则称此图是强连通图。
- 生成树：在无向图中，一个连通图的最小连通子图称作该图的生成树。有n个顶点的连通图的生成树有n个顶点和n-1条边。
树和图的差异
1.树是一种特殊的（无环连通）图，图不一定是树
2.树关注的是节点（顶点）中存的值，图关注的是顶点及边的权值
3.树是存储某一种值，图是表示型的数据结构，表示某种场景
图的存储结构
- 因为图中既有节点，又有边(节点与节点之间的关系)，因此,在图的存储中，只需要保存：节点和边关系即可。节点保存比较简单，只需要一段连续空间即可，那边关系该怎么保存呢？
邻接矩阵
- 因为节点与节点之间的关系就是连通与否，即为0或者1，因此邻接矩阵(二维数组)即是：先用一个数组将定点保存，然后采用矩阵来表示节点与节点之间的关系。
注意：
- 无向图的邻接矩阵是对称的，第i行(列)元素之和，就是顶点i的度。有向图的邻接矩阵则不一定是对称的，第i行(列)元素之后就是顶点i 的出(入)度。
2 .如果边带有权值，并且两个节点之间是连通的，上图中的边的关系就用权值代替，如果两个顶点不通，则使用无穷大代替。
3.用邻接矩阵存储图的有点是能够快速知道两个顶点是否连通，缺陷是如果顶点比较多，边比较少时，矩阵中存储了大量的0成为系数矩阵，比较浪费空间，并且要求两个节点之间的路
径不是很好求。总结： 领阶矩阵优缺点
优点：领阶矩阵存储方式非常适合稠密图（边多边少都可以表示），O(1)的时间判断两个顶点的是否有连接关系，并取到权值。
缺点：不适合查找一个顶点所连接的边，O(N)的时间复杂度。（N指的是顶点的数量）
图使用领接矩阵来实现
1.我们可以实现成模板
2.类的成员变量
3.类的构造函数
使用领阶矩阵
namespace Matrix
{
template<class V,class W,W MAX_W = INT_MAX,bool Direction = false>
class Graph
{
public:
Graph() = default;
Graph(const V* vertexs, size_t n)
{
_vertexs.reserve(n);
for (int i = 0; i < n; i++)
{
_vertexs.push_back(vertexs[i]);
_indexMap[vertexs[i]] = i;
}
_matrix.resize(n);
for (auto& e : _matrix)
{
e.resize(n, MAX_W);
}
}
size_t GetIndexMap(const V& v)
{
auto ret = _indexMap.find(v);
if (ret != _indexMap.end())
{
return ret->second;
}
else
{
throw invalid_argument("未知顶点");
return -1;
}
}
void AddEdge(const V& src, const V& dest, const W& w)
{
size_t srci = GetIndexMap(src);
size_t desti = GetIndexMap(dest);
_matrix[srci][desti] = w;
if (Direction == false)
{
_matrix[desti][srci] = w;
}
}
void _DFS(size_t srci, vector<bool>& visited)
{
cout << _vertexs[srci] << ":" << srci << endl;
visited[srci] = true;
for (int i = 0; i < _vertexs.size(); i++)
{
if (_matrix[srci][i] != MAX_W && visited[i] == false)
{
_DFS(i, visited);
}
}
}
void DFS(const V& src)
{
vector<bool> visited(_vertexs.size(), false);
size_t srci = GetIndexMap(src);
_DFS(srci, visited);
}
/* void BFS(const V& src)
{
vector<bool> visited(_vertexs.size(), false);
size_t srci = GetIndexMap(src);
queue<int> q;
q.push(srci);
visited[srci] = true;
while (!q.empty())
{
int front = q.front();
q.pop();
cout << _vertexs[front] << ":" << front;
for (int i = 0; i < _vertexs.size(); i++)
{
if (_matrix[front][i] != MAX_W && visited[i] == false)
{
q.push(i);
visited[i] = true;
}
}
cout << endl;
}
}*/
void BFS(const V& src)
{
vector<bool> visited(_vertexs.size(), false);
size_t srci = GetIndexMap(src);
queue<int> q;
q.push(srci);
visited[srci] = true;
size_t levesize = 1;
while (!q.empty())
{
//一层一层的出
for (size_t j = 0; j < levesize; j++)
{
int front = q.front();
q.pop();
cout << _vertexs[front] << ":" << front << endl;
for (int i = 0; i < _vertexs.size(); i++)
{
if (_matrix[front][i] != MAX_W && visited[i] == false)
{
q.push(i);
visited[i] = true;
}
}
}
levesize = q.size();
cout << endl;
}
}
void Print()
{
//顶点
for (int i = 0; i < _vertexs.size(); i++)
{
cout << "[" << i << "]" << ":" << _vertexs[i] << endl;
}
cout << endl;
cout << " ";
for (int i = 0; i < _vertexs.size(); i++)
{
cout << i << " ";
}
cout << endl;
for (int i = 0; i < _vertexs.size(); i++)
{
cout << i << " ";
for (int j = 0; j < _vertexs.size(); j++)
{
if (_matrix[i][j] != MAX_W)
cout << _matrix[i][j] << " ";
else
cout << "* ";
}
cout << endl;
}
}
private:
vector<V> _vertexs;//顶点
vector<vector<W>> _matrix;//矩阵
map<V, int> _indexMap;//顶点映射下标
};
void TestGraph1()
{
Graph<char, int, INT_MAX, true> g("0123", 4);
g.AddEdge('0', '1', 1);
g.AddEdge('0', '3', 4);
g.AddEdge('1', '3', 2);
g.AddEdge('1', '2', 9);
g.AddEdge('2', '3', 8);
g.AddEdge('2', '1', 5);
g.AddEdge('2', '0', 3);
g.AddEdge('3', '2', 6);
g.Print();
}
void TestBDFS()
{
string a[] = { "张三", "李四", "王五", "赵六", "周七" };
Graph<string, int> g1(a, sizeof(a) / sizeof(string));
g1.AddEdge("张三", "李四", 100);
g1.AddEdge("张三", "王五", 200);
g1.AddEdge("王五", "赵六", 30);
g1.AddEdge("王五", "周七", 30);
g1.Print();
g1.BFS("张三");
//g1.DFS("张三");
}
}
邻接表
- 邻接表：使用数组表示顶点的集合，使用链表表示边的关系。
- 无向图邻接表存储
注意：无向图中同一条边在邻接表中出现了两次。如果想知道顶点vi的度，只需要知道顶点vi边链表集合中结点的数目即可
2.有向图邻接表存储一般情况下，有向图存储一个出边表即可。
注意:有向图中每条边在邻接表中只出现一次，与顶点vi对应的邻接表所含结点的个数，就是该顶点的出度，也称出度表，要得到vi顶点的入度，必须检测其他所有顶点对应的边链表，看有多少边顶点的dst取值是i。
- 邻接表优缺点总结：
- 优点：适合存储稀疏图，适合查找一个顶点连接出去的所有边（遍历链表就可以了），时间复杂度是O(n),n是边的数量。
- 缺点：不适合确定两个顶点是否相连，以及权值（需要遍历，如果是领阶矩阵,直接使用下标就可以确定了）。
领阶矩阵和邻接表相辅相成，各有各的优缺点，是互补的结构！！！
使用邻接表
namespace Link_Table
{
template<class W>
struct Edge
{
int desti;
W _w;
Edge<W>* _next;
Edge(size_t dest,const W& w)
:desti(dest)
,_w(w)
,_next(nullptr)
{}
};
template<class V, class W, W MAX_W = INT_MAX, bool Direction = false>
class Graph
{
public:
typedef Edge<W> Edge;
Graph() = default;
Graph(const V* vertexs, size_t n)
{
_vertexs.reserve(n);
for (int i = 0; i < n; i++)
{
_vertexs.push_back(vertexs[i]);
_indexMap[vertexs[i]] = i;
}
_linkTable.resize(n, nullptr);
}
size_t GetIndexMap(const V& v)
{
auto ret = _indexMap.find(v);
if (ret != _indexMap.end())
{
return ret->second;
}
else
{
throw invalid_argument("未知顶点");
return -1;
}
}
void AddEdge(const V& src, const V& dest, const W& w)
{
size_t srci = GetIndexMap(src);
size_t desti = GetIndexMap(dest);
Edge* ptr = new Edge(desti, w);
ptr->_next = _linkTable[srci];
_linkTable[srci] = ptr;
if (Direction == true)
{
Edge* ptr = new Edge(srci, w);
ptr->_next = _linkTable[desti];
_linkTable[desti] = ptr;
}
}
void _DFS(size_t srci, vector<bool>& visited)
{
cout << _vertexs[srci] << ":" << srci << endl;
visited[srci] = true;
Edge* ptr = _linkTable[srci];
while (ptr)
{
if (visited[ptr->desti] == false)
_DFS(ptr->desti, visited);
ptr = ptr->_next;
}
}
void DFS(const V& src)
{
vector<bool> visited(_vertexs.size(), false);
size_t srci = GetIndexMap(src);
_DFS(srci, visited);
}
void BFS(const V& src)
{
vector<bool> visited(_vertexs.size(), false);
size_t srci = GetIndexMap(src);
queue<int> q;
q.push(srci);
visited[srci] = true;
size_t levesize = 1;
while (!q.empty())
{
for (size_t j = 0; j < levesize; j++)
{
int front = q.front();
q.pop();
cout << _vertexs[front] << ":" << front << endl;
Edge* ptr = _linkTable[front];
while (ptr)
{
if (visited[ptr->desti] == false)
{
q.push(ptr->desti);
visited[ptr->desti] = true;
}
ptr = ptr->_next;
}
}
levesize = q.size();
cout << endl;
}
}
void Print()
{
//顶点
for (int i = 0; i < _vertexs.size(); i++)
{
cout << "[" << i << "]" << ":" << _vertexs[i] << endl;
}
cout << endl;
for (int i = 0; i < _vertexs.size(); i++)
{
cout << _vertexs[i] << ":" << i << "->";
Edge* cur = _linkTable[i];
while (cur)
{
cout << "[" << _vertexs[cur->desti] << "]" << cur->_w << "->";
cur = cur->_next;
}
cout << endl;
}
}
private:
vector<V> _vertexs;//顶点
map<V, int> _indexMap;//顶点映射下标
vector<Edge*> _linkTable;
};
void TestBDFS()
{
string a[] = { "张三", "李四", "王五", "赵六", "周七" };
Graph<string, int> g1(a, sizeof(a) / sizeof(string));
g1.AddEdge("张三", "李四", 100);
g1.AddEdge("张三", "王五", 200);
g1.AddEdge("王五", "赵六", 30);
g1.AddEdge("王五", "周七", 30);
g1.Print();
//g1.BFS("张三");
//g1.DFS("张三");
}
}
图的遍历
图的深度优先遍历
思路：总的思想是需要递归。以第一个节点开始遍历连接顶点，再从连接顶点开始递归，遇到遍历过的顶点，使用标记数组标记一下就可以了。
void _DFS(size_t srci, vector<bool>& visited)
{
cout << _vertexs[srci] << ":" << srci << endl;
visited[srci] = true;
for (int i = 0; i < _vertexs.size(); i++)
{
if (_matrix[srci][i] != MAX_W && visited[i] == false)
{
_DFS(i, visited);
}
}
}
void DFS(const V& src)
{
vector<bool> visited(_vertexs.size(), false);
size_t srci = GetIndexMap(src);
_DFS(srci, visited);
}
注意：这里是一层一层的遍历，假如第一个顶点是0，就先遍历0，然后从0开始，找连接顶点。由图可得，第二个顶点是1。就继续遍历1顶点，再从1顶点开始遍历，找连接顶点找到2，以此类推…
图的广度优先遍历
思路：使用队列，一层一层的遍历，要到遍历过的数组就标记一下。先把第一个顶点入队列，然后开始遍历该顶点的连接顶点，如果还没有被标记过，就直接入队列，以此类推。
void BFS(const V& src)
{
vector<bool> visited(_vertexs.size(), false);
size_t srci = GetIndexMap(src);
queue<int> q;
q.push(srci);
visited[srci] = true;
while (!q.empty())
{
int front = q.front();
q.pop();
cout << _vertexs[front] << ":" << front;
for (int i = 0; i < _vertexs.size(); i++)
{
if (_matrix[front][i] != MAX_W && visited[i] == false)
{
q.push(i);
visited[i] = true;
}
}
cout << endl;
}
}
注意：假如第一个顶点是A，那么A进队列，出队列时，把相邻顶点B，C，D（使用循环遍历矩阵）进队列，再依次出队列。出队列时，把相邻顶点入队列，每次入队列都需要标记一下。
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