在上文（https://blog.csdn.net/burstone/article/details/143666876）中，介绍了两个基础的准确率与召回率，本文介绍两个推荐系统中非常重要的两个评价指标：MAP与NDCG，这两个指标与之前的略有不同，它考虑了推荐结果命中用户偏好的位置。例如，对于一个用户，两次推荐结果R1与R2都命中了三个用户感兴趣的项目，哪个更好呢，肯定是top3结果是三个感兴趣项目的是最好的。因而，本文给出几个量化指标。下面分别介绍：

精度均值（Average Precision, AP）：

先介绍单个用户下的精度定义：AP（Average Precision），它衡量的是推荐系统对于单个用户的排序质量，AP表示了对一个给定的用户，其推荐列表中相关项目的平均精度。具体地，每次出现相关项目时的精度值，然后取这些精度值的平均。精度（Precision）在这里是指在推荐列表中，用户感兴趣的项目所占的比例。

假设给用户u推荐了N个项目，其中M个是相关的，P(k)表示第k个相关项目出现时的准确率。则AP的形式化定义如下：

$\text{AP}=\frac{1}{M}{\sum }_{k\in Relevant}P(k)$

可见，AP考虑了推荐列表中项目的位置，因此它是一个“顺序敏感”的指标，即推荐列表中相关项目的位置越靠前，其对AP的贡献越大。下面举例说明：

例如，对于一个用户，其真实的兴趣列表中有3个项目，推荐系统为该用户推荐了长度为6的项目集：[1, 0, 1, 0, 1, 0]，其中三个1表示用户感兴趣的。那么，对于这个用户，其AP值计算如下：
● Precision@1 = 1/1（如果第一个推荐项目是用户感兴趣的）
● Precision@3 = 2/3（如果前三个推荐项目中有二个是用户感兴趣的）
● Precision@5 = 3/5（如果前五个推荐项目中有三个是用户感兴趣的）

因此，该用户的AP值 = (1 + 0.67 + 0.6) / 3 = 0.76。

通常地，AP值越大，说明推荐系统对于该用户的相关项目排序越靠前，推荐效果越好。

平均精度均值（Mean Average Precision, MAP）：

有了上述AP的概念，MAP非常简单了。假设用户集合为U，|U|表示用户的总数，因而，MAP是所有用户下AP的平均：

$\text{MAP}=\frac{1}{｜U｜}{\sum }_{i\in |U|}AP(u_i)$

如果有多个用户，可以计算所有用户的AP值的平均，得到整体的MAP（Mean Average Precision）值。

DCG与DNCG是两个常见的用来量化排序结果的评价指标。我们先从CG这个基础指标开始介绍，然后讲解DCG与NDCG。

累积增益（Cumulative Gain, CG）

CG表示推荐系统给出的前p个结果下，与用户感兴趣程度的相关性总和，计算公式如下：

$C{G}_p={\sum }_{i=1}^{p}re{l}_i$

其中，rel_i表示了每i个结果的相关性分数（典型地，0为不相关，1为相关）。可见，对用户的一次推荐而言，CG越大，推荐效果越好。

折扣累积增益（Discounted Cumulative Gain, DCG）

仔细分析CG，对于两个推荐结果（1，0，1，0，0）与（0，0，0，1，1），其CG值是相同的，因为都包含了两个1，然而，显而易见，每一个推荐结果更好。其实是由于CG并未考虑每个项目所在的位置。因而有了下面DCG与NDCG。

DCG考虑了排序顺序的因素，即排名靠前的项目对用户更有价值，因此对排名靠后的项目进行折损。推荐系统给出的前p个结果下，DCG的计算公式如下：

$DC{G}_p={\sum }_{i=1}^p\frac{re{l}_i}{lo{g}_2(i+1)}$

可见，DCG是在CG的计算公式基础上加了一个分母，排名靠前（i越小）的结果赋予更高的权重，DCG更大。

NDCG（Normalized Discounted Cumulative Gain）

注意到，DCG其实并不是一个介于0到1的值，因而，多次查询的DCG值的scale不同，并不便于比较。为此，提出了NDCG，它是归一化的DCG，它通过将DCG与理想情况下的DCG（称之为IDCG）进行比较来得到一个标准化的评分，从而可以跨不同查询和不同长度的列表进行比较。IDCG一般定义为最符合（最理想）用户偏好的推荐结果$r_1,r_2,...,r_p$，按DCGp的公式计算得到结果为IDCG。这样，NDCG的定义如下：

$NDC{G}_p=\frac{DC{G}_p}{IDC{G}_p}$

可以发现，NDCG值越大，越接近1表示排序质量越好。

实例

下面，使用一个简单的例子来解释，假设推荐系统对用户A有两次推荐结果，每个结果包含5个项目（item）如下：
$R_1=(0,1,1,0,1)$
$R_2=(0,0,1,1,1)$
，其中0表示不相关，1表示相关。而理想的推荐结果为结果中top3全部为用户感兴趣的：

$R_{ideal}=(1,1,1,0,0)$

肉眼可见，R1结果更优，因为它推荐出来相关的项目更靠前。因而，可以计算

● CG值：R1与R2的CG值如下：
$C{G}_{R1}=0+1+1+0+1=3$
$C{G}_{R2}=0+0+1+1+1=3$

从上式看，两个CG值完全相同，不能客观地评价推荐结果的好坏。

● DCG值：
$DC{G}_{R1}=0+\frac{1}{lo{g}_2(2+1)}+\frac{1}{lo{g}_2(3+1)}+0+\frac{1}{lo{g}_2(5+1)}=1.52$
$DC{G}_{R2}=0+0+\frac{1}{lo{g}_2(3+1)}+\frac{1}{lo{g}_2(4+1)}+\frac{1}{lo{g}_2(5+1)}=1.32$

从上式可以看出来，$C{G}_{R1}$更大，表示它的结果更好，也符合我们的预期

● NDCG值：
$IDCG=\frac{1}{lo{g}_2(1+1)}+\frac{1}{lo{g}_2(2+1)}+\frac{1}{lo{g}_2(3+1)}+0+0=2.13$

所以，
$IDC{G}_{R1}=\frac{DC{G}_{R1}}{IDCG}=\frac{1.52}{2.13}=0.71$
$IDC{G}_{R2}=\frac{DC{G}_{R2}}{IDCG}=\frac{1.32}{2.13}=0.62$

从这个例子可以看到，NDCG是DCG的归一化版本，取值范围为[0, 1]，因而提供了一个标准化的评价指标，使得不同的推荐结果进行公平地对比。对一个推荐系统而言，搜集一批推荐结果，以及理想的推荐结果，可以计算其NDCG，从而对系统进行量化的评价。