回顾之前讲的内容，原理篇重在建立直观理解，帮你建立信心，这是第一轮的认知迭代。应用篇帮你涉足应用领域，在解决领域问题时发挥编译技术的威力，积累运用编译技术的一手经验，也启发你用编译技术去解决更多的领域问题，这是第二轮的认知迭代。而为时三节课的算法篇将你是第三轮的认知迭代。

在第三轮的认知迭代中，会带你掌握前端技术中的核心算法。而本节课，我就借“怎样实现正则表达式工具？”这个问题，探讨第一组算法：与正则表达式处理有关的算法。

在词法分析阶段，我们可以手工构造有限自动机（FSA，或 FSM）实现词法解析，过程比较简单。现在我们不再手工构造词法分析器，而是直接用正则表达式解析词法。

你会发现，我们只要写一些规则，就能基于这些规则分析和处理文本。这种能够理解正则表达式的功能，除了能生成词法分析器，还有很多用途。比如 Linux 的三个超级命令，又称三剑客（grep、awk 和 sed），都是因为能够直接支持正则表达式，功能才变得强大的。

接下来，就带你完成编写正则表达式工具的任务，与此同时，你就能用正则文法生成词法分析器了：

首先，把正则表达式翻译成非确定的有限自动机（Nondeterministic Finite Automaton，NFA）。

其次，基于 NFA 处理字符串，看看它有什么特点。

然后，把非确定的有限自动机转换成确定的有限自动机（Deterministic Finite Automaton，DFA）

最后，运行 DFA，看看它有什么特点。

强调一下，不要被非确定的有限自动机、确定的有限自动机这些概念吓倒，我肯定让你学明白。

认识 DFA 和 NFA

在讲词法分析时，我提到有限自动机（FSA）有有限个状态。识别 Token 的过程，就是 FSA 状态迁移的过程。其中，FSA 分为确定的有限自动机（DFA）和非确定的有限自动机（NFA）。

DFA 的特点是，在任何一个状态，我们基于输入的字符串，都能做一个确定的转换，比如：

NFA 的特点是，它存在某些状态，针对某些输入，不能做一个确定的转换，这又细分成两种情况：

对于一个输入，它有两个状态可以转换。

存在ε转换。也就是没有任何输入的情况下，也可以从一个状态迁移到另一个状态。

比如，“a[a-zA-Z0-9]*bc”这个正则表达式对字符串的要求是以 a 开头，以 bc 结尾，a 和 bc 之间可以有任意多个字母或数字。在图中状态 1 的节点输入 b 时，这个状态是有两条路径可以选择的，所以这个有限自动机是一个 NFA。

这个 NFA 还有引入ε转换的画法，它们是等价的。实际上，第二个 NFA 可以用我们今天讲的算法，通过正则表达式自动生成出来。

需要注意的是，无论是 NFA 还是 DFA，都等价于正则表达式。也就是，所有的正则表达式都能转换成 NFA 或 DFA，所有的 NFA 或 DFA，也都能转换成正则表达式。

理解了 NFA 和 DFA 之后，来看看我们如何从正则表达式生成 NFA。

从正则表达式生成 NFA

我们需要把它分为两个子任务：

第一个子任务，是把正则表达式解析成一个内部的数据结构，便于后续的程序使用。因为正则表达式也是个字符串，所以要先做一个小的编译器，去理解代表正则表达式的字符串。我们可以偷个懒，直接针对示例的正则表达式生成相应的数据结构，不需要做出这个编译器。

用来测试的正则表达式可以是 int 关键字、标识符，或者数字字面量： 

int | [a-zA-Z][a-zA-Z0-9]* | [0-9]+

用下面这段代码创建了一个树状的数据结构，来代表用来测试的正则表达式：

private static GrammarNode sampleGrammar1() {
    GrammarNode node = new GrammarNode("regex1",GrammarNodeType.Or);

    //int关键字
    GrammarNode intNode = node.createChild(GrammarNodeType.And);
    intNode.createChild(new CharSet('i'));
    intNode.createChild(new CharSet('n'));
    intNode.createChild(new CharSet('t'));

    //标识符
    GrammarNode idNode = node.createChild(GrammarNodeType.And);
    GrammarNode firstLetter = idNode.createChild(CharSet.letter);

    GrammarNode letterOrDigit = idNode.createChild(CharSet.letterOrDigit);
    letterOrDigit.setRepeatTimes(0, -1);


    //数字字面量
    GrammarNode literalNode = node.createChild(CharSet.digit);
    literalNode.setRepeatTimes(1, -1);

    return node;
}

打印输出的结果如下：

RegExpression
  Or
    Union
      i
      n
      t
    Union
      [a-z]|[A-Z]
      [0-9]|[a-z]|[A-Z]*
    [0-9]+

画成图会更直观一些：

测试数据生成之后，第二个子任务就是把表示正则表达式的数据结构，转换成一个 NFA。这个过程比较简单，因为针对正则表达式中的每一个结构，我们都可以按照一个固定的规则做转换。

识别ε的 NFA：

不接受任何输入，也能从一个状态迁移到另一个状态，状态图的边上标注ε。

识别 i 的 NFA：

当接受字符 i 的时候，引发一个转换，状态图的边上标注 i。 

 

转换“s|t”这样的正则表达式：

它的意思是或者 s，或者 t，二者选一。s 和 t 本身是两个子表达式，我们可以增加两个新的状态：开始状态和接受状态（最终状态）也就是图中带双线的状态，它意味着被检验的字符串此时是符合正则表达式的。然后用ε转换分别连接代表 s 和 t 的子图。它的含义也比较直观，要么走上面这条路径，那就是 s，要么走下面这条路径，那就是 t。 

转换“st”这样的正则表达式：

s 之后接着出现 t，转换规则是把 s 的开始状态变成 st 整体的开始状态，把 t 的结束状态变成 st 整体的结束状态，并且把 s 的结束状态和 t 的开始状态合二为一。这样就把两个子图接了起来，走完 s 接着走 t。 

对于“?”“*”和“+”这样的操作：

意思是可以重复 0 次、0 到多次、1 到多次，转换时要增加额外的状态和边。

以“s*”为例，做下面的转换： 

你能看出，它可以从 i 直接到 f，也就是对 s 匹配零次，也可以在 s 的起止节点上循环多次。

“s+”：

没有办法跳过 s，s 至少经过一次。 

按照这些规则，我们可以编写程序进行转换。你可以参考示例代码Regex.java中的 regexToNFA 方法。转换完毕以后，将生成的 NFA 打印输出，列出了所有的状态，以及每个状态到其他状态的转换，比如“0 ε -> 2”的意思是从状态 0 通过ε转换，到达状态 2 ： 

NFA states:
0  ε -> 2
  ε -> 8
  ε -> 14
2  i -> 3
3  n -> 5
5  t -> 7
7  ε -> 1
1  (end)
  acceptable
8  [a-z]|[A-Z] -> 9
9  ε -> 10
  ε -> 13
10  [0-9]|[a-z]|[A-Z] -> 11
11  ε -> 10
  ε -> 13
13  ε -> 1
14  [0-9] -> 15
15  ε -> 14
  ε -> 1

用图片直观地展示了输出结果，图中分为上中下三条路径，你能清晰地看出解析 int 关键字、标识符和数字字面量的过程：

生成 NFA 之后，如何利用它识别某个字符串是否符合这个 NFA 代表的正则表达式呢？

以上图为例，当我们解析 intA 这个字符串时，首先选择最上面的路径去匹配，匹配完 int 这三个字符以后，来到状态 7，若后面没有其他字符，就可以到达接受状态 1，返回匹配成功的信息。可实际上，int 后面是有 A 的，所以第一条路径匹配失败。

失败之后不能直接返回“匹配失败”的结果，因为还有其他路径，所以我们要回溯到状态 0，去尝试第二条路径，在第二条路径中，尝试成功了。

运行 Regex.java 中的 matchWithNFA() 方法，你可以用 NFA 来做正则表达式的匹配：

/**
 * 用NFA来匹配字符串
 * @param state 当前所在的状态
 * @param chars 要匹配的字符串，用数组表示
 * @param index1 当前匹配字符开始的位置。
 * @return 匹配后，新index的位置。指向匹配成功的字符的下一个字符。
 */
private static int matchWithNFA(State state, char[] chars, int index1){
    System.out.println("trying state : " + state.name + ", index =" + index1);

    int index2 = index1;
    for (Transition transition : state.transitions()){
        State nextState = state.getState(transition);
        //epsilon转换
        if (transition.isEpsilon()){
            index2 = matchWithNFA(nextState, chars, index1);
            if (index2 == chars.length){
                break;
            }
        }
        //消化掉一个字符，指针前移
        else if (transition.match(chars[index1])){
            index2 ++; //消耗掉一个字符

            if (index2 < chars.length) {
                index2 = matchWithNFA(nextState, chars, index1 + 1);
            }
            //如果已经扫描完所有字符
            //检查当前状态是否是接受状态，或者可以通过epsilon到达接受状态
            //如果状态机还没有到达接受状态，本次匹配失败
            else {
                if (acceptable(nextState)) {
                    break;
                }
                else{
                    index2 = -1;
                }
            }
        }
    }

    return index2;
}

其中，在匹配“intA”时，你会看到它的回溯过程：

NFA matching: 'intA'
trying state : 0, index =0
trying state : 2, index =0    //先走第一条路径，即int关键字这个路径
trying state : 3, index =1
trying state : 5, index =2
trying state : 7, index =3
trying state : 1, index =3    //到了末尾了，发现还有字符'A'没有匹配上
trying state : 8, index =0    //回溯，尝试第二条路径，即标识符
trying state : 9, index =1
trying state : 10, index =1   //在10和11这里循环多次
trying state : 11, index =2
trying state : 10, index =2
trying state : 11, index =3
trying state : 10, index =3
true

从中可以看到用 NFA 算法的特点：因为存在多条可能的路径，所以需要试探和回溯，在比较极端的情况下，回溯次数会非常多，性能会变得非常慢。特别是当处理类似 s* 这样的语句时，因为 s 可以重复 0 到无穷次，所以在匹配字符串时，可能需要尝试很多次。

注意，在我们生成的 NFA 中，如果一个状态有两条路径到其他状态，算法会依据一定的顺序来尝试不同的路径。

9 和 11 两个状态都有两条向外走的线，其中红色的线是更优先的路径，也就是尝试让 * 号匹配尽量多的字符。这种算法策略叫做“贪婪（greedy）”策略。

在有的情况下，我们会希望让算法采用非贪婪策略，或者叫“忽略优先”策略，以便让效率更高。有的正则表达式工具会支持多加一个?，比如??、*?、+?，来表示非贪婪策略。

NFA 的运行可能导致大量的回溯，所以能否将 NFA 转换成 DFA，让字符串的匹配过程更简单呢？如果能的话，那整个过程都可以自动化，从正则表达式到 NFA，再从 NFA 到 DFA。

把 NFA 转换成 DFA

的确有这样的算法，那就是子集构造法，它的思路如下。

首先 NFA 有一个初始状态（从状态 0 通过ε转换可以到达的所有状态，也就是说，在不接受任何输入的情况下，从状态 0 也可以到达的状态）。这个状态的集合叫做“状态 0 的ε闭包”，简单一点儿，我们称之为 s0，s0 包含 0、2、8、14 这几个状态。

将字母 i 给到 s0 中的每一个状态，看它们能转换成什么状态，再把这些状态通过ε转换就能到达的状态也加入进来，形成一个包含“3、9、10、13、1”5 个状态的集合 s1。其中 3 和 9 是接受了字母 i 所迁移到的状态，10、13、1 是在状态 9 的ε闭包中。

在 s0 和 s1 中间画条迁移线，标注上 i，意思是 s0 接收到 i 的情况下，转换到 s1：

在这里，我们把 s0 和 s1 分别看成一个状态。也就是说，要生成的 DFA，它的每个状态，是原来的 NFA 的某些状态的集合。

在上面的推导过程中，我们有两个主要的计算：

1.ε-closure(s)，即集合 s 的ε闭包。也就是从集合 s 中的每个节点，加上从这个节点出发通过ε转换所能到达的所有状态。

2.move(s, ‘i’)，即从集合 s 接收一个字符 i，所能到达的新状态的集合。

所以，s1 = ε-closure(move(s0,‘i’))

按照上面的思路继续推导，识别 int 关键字的识别路径也就推导出来了：

我们把上面这种推导的思路写成算法，参见Regex.java中的 NFA2DFA() 方法。写了一段伪代码，方便你阅读：

计算s0，即状态0的ε闭包
把s0压入待处理栈
把s0加入所有状态集的集合S
循环：待处理栈内还有未处理的状态集
   循环：针对字母表中的每个字符c
      循环：针对栈里的每个状态集合s(i)（未处理的状态集）
          计算s(m) = move(s(i), c)（就是从s(i)出发，接收字符c能够
                                   迁移到的新状态的集合）
          计算s(m)的ε闭包，叫做s(j)
          看看s(j)是不是个新的状态集，如果已经有这个状态集了，把它找出来
                  否则，把s(j)加入全集S和待处理栈
          建立s(i)到s(j)的连线，转换条件是c

运行 NFA2DFA() 方法，然后打印输出生成的 DFA。画成图，你就能很直观地看出迁移的路径了：

从初始状态开始，如果输入是 i，那就走 int 识别这条线，也就是按照 19、21、22 这条线依次迁移，如果中间发现不符合 int 模式，就跳转到 20，也就是标识符状态。

注意，在上面的 DFA 中，只要包含接受状态 1 的，都是 DFA 的接受状态。进一步区分的话，22 是 int 关键字的接受状态，因为它包含了 int 关键字原来的接受状态 7。同理，17 是数字字面量的接受状态，18、19、20、21 都是标识符的接受状态。

而且，你会发现，算法生成的 DFA 跟手工构造 DFA 是很接近的！我们在第二讲手工构造了 DFA 识别 int 关键字和标识符，比本节课少识别一个数字字面量：

不过，光看对 int 关键字和标识符的识别，我们算法生成的 DFA 和手工构造的 DFA，非常相似！手工构造的相当于把 18 和 20 两个状态合并了，所以，这个算法是非常有效的！你可以运行一下示例程序 Regex.java 中的 matchWithDFA() 的方法，看看效果：

private static boolean matchWithDFA(DFAState state, char[] chars, int index){
    System.out.println("trying DFAState : " + state.name + ", index =" + index);
    //根据字符，找到下一个状态
    DFAState nextState = null;
    for (Transition transition : state.transitions()){
        if (transition.match(chars[index])){
            nextState = (DFAState)state.getState(transition);
            break;
        }
    }

    if (nextState != null){
        //继续匹配字符串
        if (index < chars.length-1){
            return matchWithDFA(nextState,chars, index + 1);
        }
        else{
            //字符串已经匹配完毕
            //看看是否到达了接受状态
            if(state.isAcceptable()){
                return true;
            }
            else{
                return false;
            }
        }
    }
    else{
        return false;
    }
}

运行时会打印输出匹配过程，而执行过程中不产生任何回溯。

现在，我们可以自动生成 DFA 了，可以根据 DFA 做更高效的计算。不过，有利就有弊，DFA 也存在一些缺点。比如，DFA 可能有很多个状态。

假设原来 NFA 的状态有 n 个，那么把它们组合成不同的集合，可能的集合总数是 2 的 n 次方个。针对我们示例的 NFA，它有 13 个状态，所以最坏的情况下，形成的 DFA 可能有 2 的 13 次方，也就是 8192 个状态，会占据更多的内存空间。而且生成这个 DFA 本身也需要消耗一定的计算时间。

当然了，这种最坏的状态很少发生，我们示例的 NFA 生成 DFA 后，只有 7 个状态。

课程小结

本节课，带你实现了一个正则表达式工具，或者说根据正则表达式自动做了词法分析，它们的主要原理是相同的。

首先，我们需要解析正则表达式，形成计算机内部的数据结构，然后要把这个正则表达式生成 NFA。我们可以基于 NFA 进行字符串的匹配，或者把 NFA 转换成 DFA，再进行字符串匹配。

NFA 和 DFA 有各自的优缺点：NFA 通常状态数量比较少，可以直接用来进行计算，但可能会涉及回溯，从而性能低下；DFA 的状态数量可能很大，占用更多的空间，并且生成 DFA 本身也需要消耗计算资源。所以，我们根据实际需求选择采用 NFA 还是 DFA 就可以了。

不过，一般来说，正则表达式工具可以直接基于 NFA。而词法分析器（如 Lex），则是基于 DFA。原因很简单，因为在生成词法分析工具时，只需要计算一次 DFA，就可以基于这个 DFA 做很多次词法分析。

一课一思

本节课我们实现了一个简单的正则表达式工具。在你的日常编程任务中，有哪些需要进行正则处理的需求？用传统的正则表达式工具有没有性能问题？你有没有办法用本节课讲到的原理来优化这些工作？

本节课的示例代码放在了文末，供你参考。

lab/16-18（算法篇的示例代码）：码云 GitHub

Regex.java（正则表达式有关的算法）：码云 GitHub

Lexer.java（基于正则文法自动做词法解析）：码云 GitHub

GrammarNode.java（用于表达正则文法）：码云 GitHub

State.java（自动机的状态）：码云 GitHub

DFAState.java（DFA 的状态）：码云 GitHub



本文深入介绍了如何自己实现一个正则表达式工具，重点讨论了NFA和DFA的原理及其在正则表达式处理中的应用。文章首先介绍了FSA（有限自动机）的概念，包括确定的有限自动机（DFA）和非确定的有限自动机（NFA）的特点。然后详细讨论了如何从正则表达式生成NFA，并介绍了NFA的特点和转换成DFA的过程。作者强调了理解NFA和DFA的重要性，以及它们与正则表达式的等价性。通过本文，读者可以快速了解正则表达式工具的实现原理，以及NFA和DFA在词法分析中的应用，为进一步深入学习提供了基础知识。文章还介绍了如何利用NFA来识别字符串是否符合正则表达式，以及NFA算法的特点和性能问题。最后，提出了将NFA转换成DFA的可能性，以简化字符串匹配过程。整体而言，本文为读者提供了深入理解正则表达式工具实现原理的重要知识，同时也展示了NFA和DFA在实际应用中的潜力和局限性。文章还介绍了如何利用NFA来识别字符串是否符合正则表达式，以及NFA算法的特点和性能问题。最后，提出了将NFA转换成DFA的可能性，以简化字符串匹配过程。整体而言，本文为读者提供了深入理解正则表达式工具实现原理的重要知识，同时也展示了NFA和DFA在实际应用中的潜力和局限性。