(一)、重点概念

1、图、简单图、图的同构与自同构、度序列与图序列、补图与自补图、两个图的联图、两个图的积图、偶图；

(1) 图：一个图是一个序偶$<V,E>$，记为$G=(V,E)$,其中：

• 1) $V$是一个有限的非空集合，称为顶点集合,其元素称为顶点或点。用$|V|$表示顶点数；
• 2) $E$是由$V$中的点组成的无序对构成的集合，称为边集，其元素称为边，且同一点对在$E$中可以重复出现多次。用$|E|$表示边数。

(2) 简单图：无环无重边的图称为简单图。

(3) 图的度序列： 一个图$G$的各个点的度$d_1,d_2,\dots ,d_n$构成的非负整数组$(d_1,d_2,\dots ,d_n)$称为$G$的度序列 。
注： 度序列的判定问题是重点。

(4) 图的图序列：一个非负数组如果是某简单图的度序列，我们称它为可图序列，简称图序列。
注： 图序列的判定问题是重点。

(5) 图的同构：
设有两个图$G_1=(V_1,E_1)$和$G_2=(V_2,E_2)$,若在其顶点集合间存在双射，使得边之间存在如下关系：设$u_1\leftrightarrow u_2,v_1\leftrightarrow v_2,u_1,v_1\in V_1,u2,v2\in V_2;u_1{v}_1\in E_1$,当
且仅当 $u_2{v}_2\in E_2$,且 $u_1{v}_1$ 与 $u_2{v}_2$ 的重数相同。称$G_1$与 $G_2$ 同构，记为：$G_1\cong G_2$

(6) 补图与自补图
1) 对于一个简单图 $G=(V,E)$，令集合 E1={uv∣u≠v,u,v∈V}E_1=\left\{u v|u\neq v,u, v \in V\right\}E1​={uv∣u=v,u,v∈V}, 则图 $H=(V，E_1\backslash E)$ 称为 $G$ 的补图，记为 $H=\overline{G}$
2) 对于一个简单图$G=(V,E)$，若 $G\cong \overline{G}$，称$G$为自补图。
注：要求掌握自补图的性质。

(7) 联图
设$G_1,G_2$是两个不相交的图，作$G_1+G_2$，并且将$G_1$中每个顶点和$G_2$中的每个顶点连接，这样得到的新图称为$G_1$与$G_2$的联图。记为 ：$G_1\vee G_2$

(8) 积图
设 $G_1=(V_1,E_1),G_2=(V_2,E_2)$ 是两个图。对点集 $V=V_1\times V_2$ 的任意两个点$u=(u_1,u_2)$ 与 $v=(v_1,v_2)$, 当$(u_1=v_1$和 $u_{2}adj{v}_2)$或$(u_2=v_2$和$u_{1}adj{v}_1)$时，把$u$与$v$相连。如此得到的新图称为$G_1$与$G_2$的积图。记为$\begin{array}{r}G=G_1\times G_2\end{array}$

(9) 偶图
所谓具有二分类$(X,Y)$的偶图（或二部图）是指一个图，它的点集可以分解为两个(非空)子集$X$和$Y$，使得每条边的一个端点在中，另一个端点在$Y$中.

注: 掌握偶图的判定。

2、树、森林，生成树，最小生成树、根树、完全$m$元树。

(1) 树
不含圈的图称为无圈图，树是连通的无圈图。
(2) 森林
称无圈图$G$为森林。
(3) 生成树
图$G$的一个生成子图$T$如果是树，称它为$G$的一棵生成树；若$T$为森林，称它为$G$的一个生成森林。

生成树的边称为树枝，$G$中非生成树的边称为弦。

(4) 最小生成树
在连通边赋权图$G$中求一棵总权值最小的生成树。该生成树称为最小生成树或最小代价树。
注： 要求熟练掌握最小生成树的求法。

(5) 根树
一棵非平凡的有向树$T$，如果恰有一个顶点的入度为$0$，而其余所有顶点的入度为$1$，这样的的有向树称为根树。其中入度为$0$的点称为树根，出度为$0$的点称为树叶，入度为$1$，出度大于$1$的点称为内点。又将内点和树根统称为分支点。

(6) 完全$m$元树
对于根树$T$，若每个分支点至多$m$个儿子，称该根树为$m$元根树；若每个分支点恰有$m$个儿子，称它为完全$m$元树。

注： 对于完全$m$元树，要弄清其结构。

3、途径(闭途径)，迹(闭迹), 路(圈), 最短路，连通图，连通分支，点连通度与边连通度。

注： 上面概念分别在1和3章

4、欧拉图，欧拉环游，欧拉迹，哈密尔顿圈，哈密尔顿图，哈密尔顿路，中国邮路问题，最优H圈。

(1) 欧拉图与欧拉环游

对于连通图$G$，如果$G$中存在经过每条边的闭迹，则称$G$为欧拉图，简称$G$为$E$图。欧拉闭迹又称为欧拉环游，或欧拉回路。

(2) 欧拉迹

对于连通图$G$，如果$G$中存在经过每条边的迹，则称该迹为$G$的一条欧拉迹。

(3) 哈密尔顿图与哈密尔顿圈

如果经过图$G$的每个顶点恰好一次后能够回到出发点，称这样的图为哈密尔顿图，简称$H$图。所经过的闭途径是$G$的一个生成圈，称为$G$的哈密尔顿圈。

(4) 哈密尔顿路

图$G$的经过每个顶点的路称为哈密尔顿路。

5、匹配、最大匹配、完美匹配、最优匹配、因子分解。

(1) 匹配

匹配 $M$— 如果$M$是图$G$的边子集(不含环），且$M$中的任意两条边没有共同顶点，则称$M$是$G$的一个匹配或对集或边独立集。

(2) 最大匹配与完美匹配

最大匹配 $M$— 如果$M$是图$G$的包含边数最多的匹配，称$M$是$G$的一个最大匹配。特别是，若最大匹配饱和了G的所有顶点，称它为G的一个完美匹配。

(3) 最优匹配

设$G=(X,Y)$是边赋权完全偶图，$G$中的一个权值最大的完美匹配称为$G$的最优匹配。

(4) 因子分解

所谓一个图$G$的因子分解，是指把图$G$分解为若干个边不重的因子之并。

注： 要弄清楚因子分解和完美匹配之间的联系与区别。

6、平面图、极大平面图、极大外平面图、平面图的对偶图。

(1) 平面图： 如果能把图$G$画在平面上，使得除顶点外，边与边之间没有交叉，称$G$可以嵌入平面，或称$G$是可平面图。可平面图$G$的边不交叉的一种画法，称为$G$的一种平面嵌入，$G$的平面嵌入表示的图称为平面图。

(2) 极大平面图: 设$G$是简单可平面图，如果$G$是$K_i(1\leqq i\leqq 4)$,或者在$G$的任意非邻接顶点间添加一条边后，得到的图均是非可平面图，则称$G$是极大可平面图。

极大可平面图的平面嵌入称为极大平面图。

(3) 极大外平面图：若一个可平面图$G$存在一种平面嵌入，使得其所有顶点均在某个面的边界上，称该图为外可平面图。外可平面图的一种外平面嵌入，称为外平面图。

(4) 平面图的对偶图：给定平面图$G$，$G$的对偶图$G^{\ast }$如下构造：
1) 在$G$的每个面$f_i$内取一个点$v_i^{\ast }$作为$G^{\ast }$的一个顶点；
2) 对$G$的一条边$e$, 若$e$是面 $f_i$ 与 $f_j$ 的公共边，则连接$v_i^{\ast }$与$v_j^{\ast }$，且连线穿过边$e$;若$e$是面$f_i$中的割边，则以$v_i$为顶点作环，且让它与$e$相交。

7、边色数、点色数、色多项式

(1)、边色数

设$G$是图，对$G$进行正常边着色需要的最少颜色数，称为$G$的边色数，记为：${\chi }^{\prime }(G)$

(2)、点色数

对图$G$正常顶点着色需要的最少颜色数，称为图$G$的点色数。图$G$的点色数用 $\chi \left(G\right)$ 表示。

(3)、色多项式

对图进行正常顶点着色，其方式数$P_k(G)$是$k$的多项式，称为图$G$的色多项式。

8、强连通图、单向连通图、弱连通图

(1)、强连通图
若$D$的中任意两点是双向连通的，称$D$是强连通图；

(2)、弱连通图
若$D$的基础图是连通的，称$D$是弱连通图；

(3)、单向连通图
若$D$的中任意两点是单向连通的，称$D$是单向连通图。

(二)、重要结论

1、握手定理及其推论

定理1： 图$G=(V,E)$中所有顶点的度的和等于边数$m$的$2$倍，即：${\sum }_{v\in V(G)}d\left(v\right)=2m$

推论1 在任何图中，奇点个数为偶数。

推论2 正则图的阶数和度数不同时为奇数 。

2、托兰定理

定理2 若$n$阶简单图$G$不包含$K_l+1$，则$G$度弱于某个完全 $l$ 部图 $H$，且若$G$具有与 $H$ 相同的度序列，则:

$$G\cong H$$

3、树的性质

定理3 设$T$是$(n,m)$树，则：$m=n-1$

4、最小生成树算法

5、偶图判定定理

定理4 图$G$是偶图当且仅当$G$中没有奇回路。

6、敏格尔定理

定理5

• (1) 设$x$与$y$是图$G$中的两个不相邻点，则$G$中分离点$x$与$y$的最小点数等于独立的$(x,y)$路的最大数目；
• (2)设$x$与$y$是图$G$中的两个不相邻点，则$G$中分离点$x$与$y$的最小边数等于$G$中边不重的$(x,y)$路的最大数目。

7、欧拉图、欧拉迹的判定

定理6 下列陈述对于非平凡连通图$G$是等价的：
(1) $G$是欧拉图；
(2) $G$的顶点度数为偶数；
(3) $G$的边集合能划分为圈。

推论： 连通非欧拉图$G$存在欧拉迹当且仅当$G$中只有两个顶点度数为奇数。

8、$H$图的判定

定理7 (必要条件) 若$G$为$H$图，则对$V(G)$的任一非空顶点子集$S$，有：$\omega (G-S)\le \left|S\right|$

定理8 (充分条件) 对于$n\geqq 3$的单图$G$，如果$G$中有：
$$\delta \left(G\right)\ge \frac{n}{2}$$

定理9 (充分条件) 对于$n\geqq 3$的单图$G$，如果$G$中的任意两个不相邻顶点$u$与$v$，有：$d(u)+d(v)\ge n$

定理10 (帮迪——闭包定理) 图$G$是$H$图当且仅当它的闭包是$H$图。

定理11(Chvátal——度序列判定法) 设简单图$G$的度序列是$(d_1,d_2,\dots ,d_n)$, 这里，$d_1\leqq d_2\leqq \dots \leqq d_n$, 并且$n\geqq 3$. 若对任意的 $m<n/2$,或者 $d_m>m$, 或者$d_{n-m}\geqq n-m$, 则$G$是$H$图。

定理12 设$G$是$n$阶单图。若$n\geqq 3$ 且 $\left|E\left(G\right)\right|>\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{2}\right)+1$, 则$G$是$H$图；并且，具有$n$个顶点 $(\begin{array}{c}n-1\\ 2\end{array})+1$ 条边的非$H$图只有$C_{1,n}$以及$C_{2,5}$.

8、偶图匹配与因子分解

定理13 (Hall定理）设$G=(X,Y)$是偶图，则$G$存在饱和$X$每个顶点的匹配的充要条件是：
$$\text{对 }\forall S\subseteq X,\text{有}|N(S)|\ge |S|\cdots (\ast )$$

推论： 若$G$是$k(k>0)$正则偶图，则$G$存在完美匹配。

定理14 (哥尼，1931) 在偶图中，最大匹配的边数等于最小覆盖的顶点数。

定理15 $K_{2n}$可一因子分解。

定理16 具有$H$圈的三正则图可一因子分解。

定理17 $K_{2n+1}$可$2$因子分解。

定理18 $K_{2n}$可分解为一个$1$因子和$n-1$个$2$因子之和。

定理19 每个没有割边的$3$正则图是一个$1$因子和$1$个$2$因子之和。

最优匹配算法(见教材）

9、平面图及其对偶图

1)、平面图的次数公式

定理20 设$G=(n,m)$是平面图，则：
$$\sum _{f\in \varphi }\mathrm{deg}(f)=2m$$

2)、平面图的欧拉公式

定理21(欧拉公式) 设$G=(n,m)$是连通平面图，$\varphi$是$G$的面数，则：
$$n-m+\varphi =2$$

3)、几个重要推论

推论1 设$G$是具有$n$个点$m$条边$\varphi$个面的连通平面图，如果对$G$的每个面$f$ ,有：$deg(f)\ge l\ge 3$,则：$$m\le \frac{l}{l-2}(n-2)$$

推论2 设$G$是具有$n$个点$m$条边$\varphi$个面的简单平面图，则：$$m\le 3n-6$$

推论3 设$G$是具有$n$个点$m$条边的简单平面图，则：$$\delta \le 5$$

注： 掌握证明方法。

4)、对偶图的性质

定理22 平面图$G$的对偶图必然连通.

5)、极大平面图的性质

定理23 设G是至少有3个顶点的平面图，则G是极大平面图，当且仅当G的每个面的次数是3且为单图。

10、着色问题

1)、边着色

定理24 ${\chi }^{\prime }(K_{m,n})=\Delta$

定理25 (哥尼，1916) 若$G$是偶图，则 ${\chi }^{\prime }(G)=\Delta$

定理26 (维津定理，1964) 若$G$是单图，则：${\chi }^{\prime }(G)=\Delta \text{或 }{\chi }^{\prime }(G)=\Delta +1$

定理27 设$G$是单图且$\Delta (G)>0$。若$G$中只有一个最大度点或恰有两个相邻的最大度点，则：$${\chi }^{\prime }(G)=\Delta (G)$$

定理28 设$G$是单图。若点数$n=2k+1$且边数$m>k\Delta$, 则：${\chi }^{\prime }(G)=\Delta (G)+1$

定理29 设$G$是奇数阶$\Delta$正则单图, 若$\Delta >0$, 则： ${\chi }^{\prime }(G)=\Delta (G)+1$

2)、点着色

定理30 对任意的图$G$，有：$\chi (G)\le \Delta (G)+1$

定理31(布鲁克斯，1941) 若$G$是连通的单图，并且它既不是奇圈，又不是完全图，则：$\chi \left(G\right)\le \Delta \left(G\right)$

3)、色多项式

1)、递推计数法

定理32 设$G$为简单图，则对任意 $e\in E(G)$ 有：$$P_k(G)=P_k(G-e)-P_k(G•e)$$

2)、理想子图计数方法

• (1) 画出$G$的补图 $\overline{G}$
• (2) 求出关于补图的 $r_i=N_i(\overline{G}),(1\le i\le n)$
• (3) 写出关于补图的伴随多项式 $h(\overline{G},x)={\sum }_{i=1}^n{r}_i{x}^i$
• (4) 将 $x^i=[k{]}_i$ 代入伴随多项式中得到 $P_k(G)$。

11、根树问题

定理32 在完全$m$元树$T$中，若树叶数为$t$ , 分支点数为$i$, 则：$(m-1)i=t-1$

(三)、图论应用

重点掌握如下两方面应用

1、 偶图匹配问题

2、 着色问题

1)、 边着色问题

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2)、 点着色问题

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