一、图的边着色

(一)、相关概念

定义1 给定图 $G=(V,E)$，称映射 π:E→{1,2,3,...,k}\pi : E \to \{1, 2, 3, ..., k\}π:E→{1,2,3,...,k} 为 $G$ 的一个 $k$ 边着色，简称边着色，称 {1,2,3,...,k}\{1, 2, 3, ..., k\}{1,2,3,...,k} 为色集。若 $\pi$ 为 $G$ 的边着色且 $\forall e{}^{\prime },e{}^{\prime \prime }\in E$，当
$e{}^{\prime }与e{}^{\prime \prime }$ 相邻时，$\pi (e^{\prime })\ne \pi (e^{\prime \prime })$，则称该着色是正常的。图 $G$ 的正常 $k$ 边着色的最小值 $k$ 称为 $G$ 的边色数。（$\pi (e)$ 为图 $G$ 的边着色，$e$ 为 $G$ 的边）

即 $G$ 是图，对$G$的边进行染色，若相邻边染不同颜色，则称对$G$进行正常边着色；

如果能用$k$种颜色对图$G$进行正常边着色，称$G$是 $k$边可着色的。

定义2 设$G$是图，对$G$进行正常边着色需要的最少颜色数，称为$G$的边色数，记为：${\chi }^{\prime }(G)$ ($\chi$ 读为 kappa)

注： 对图的正常边着色，实际上是对$G$的边集合的一种划分，使得每个划分块是$G$的一个边独立集(无环时是匹配); 图的边色数对应的是图的最小独立集划分数。

因此，图的边着色，本质上是对应实际问题中的“划分”问题或“分类”问题。

在对$G$正常边着色时，着相同颜色的边集称为该正常着色的一个色组。

(二)、几类特殊图的边色数

1、偶图的边色数

定理 1 ${\chi }^{\prime }(K_{m,n})=\Delta$ （完全偶图的边色数 = 最大度）

完全偶图的最大度为，当 m > n，最大度为 m， 当 n > m，最大度为 n

且任何正常边着色中和任何一个顶点关联得各边必须着不同色，因此 ${\chi }^{\prime }\ge \Delta$

---

使用上面定理，使用最大度的颜色：4 进行边着色

---

定义3 设$\pi$是$G$的一种正常边着色，若点$u$关联的边的着色没有用到色$i$，则称点 $u$缺$i$色。

定理2 (哥尼，1916) 若$G$是偶图，则 ${\chi }^{\prime }(G)=\Delta$

2、一般简单图的边色数

引理： 设$G$是简单图，$x$与$y_1$是$G$中不相邻的两个顶点，$\pi$是$G$的一个正常$k$边着色。若对该着色$\pi ,x,y_1$以及与 $x$ 相邻点均至少缺少一种颜色，则 $G+x{y}_1$ 是$k$边可着色的。

定理3 (维津定理，1964) 若$G$是单图，则：${\chi }^{\prime }(G)=\Delta \text{或 }{\chi }^{\prime }(G)=\Delta +1$

为什么这里会说 $G_1$ 的 $\Delta (G)+1$ 正常边着色，会显然每个顶点都至少缺少一种颜色？

很显然， $G_1$ 的最大度为 $\Delta (G)$，而为这个最大度进行边着色，最多只需用到 $\Delta (G)$ 种颜色，$\Delta (G)+1$ 正常边着色，肯定至少要剩一种颜色出来。

注： (1) 根据维津定理，单图可以按边色数分成两类图，一是色数等于$\Delta (G)$的单图，二是色数等于$\Delta (G)+1$的单图。

---

3、三类特殊简单图的边色数

定理4 设$G$是单图且$\Delta (G)>0$。若$G$中只有一个最大度点或恰有两个相邻的最大度点，则：${\chi }^{\prime }(G)=\Delta (G)$

---

---

定理5 设$G$是单图。若点数 $n=2k+1$ 且边数 $m>k\Delta$, 则：${\chi }^{\prime }(G)=\Delta (G)+1$

为什么着同色的边最多 $\frac{n-1}{2}$ ？ 是因为假设这 $n$ 个点组成一条路，某个颜色交替的在这条路上进行着色，也只有 $k$ 条边着这个色。

为什么边数最多 $k\Delta$ ，是因为着某个颜色最多只能着 $k$ 条，如果最小着色集 ${\chi }^{\prime }=\Delta$，那么能着的色做多也就是 $k\Delta$

---

顶点数 $n=2\ast 2+1=5$，且 $m=9>2\ast 4$，因此 ${\chi }^{\prime }=\Delta +1$

---

定理6 设$G$是奇数阶$\Delta$正则单图, 若$\Delta >0$, 则：${\chi }^{\prime }(G)=\Delta (G)+1$

$\Delta$ 正则单图，每个顶点度为 $\Delta$，则边数为 $\frac{n\Delta }{2}$，

---

$C_n$ 的每个点度为 2，满足奇数阶正则单图

---

---

---

(三)、边着色的应用

边着色对应的实际问题就是图的匹配分解问题。边色数对应的是最小匹配分解问题。所以，生活中的许多问题都可模型为边着色问题来解决。

---

例 1 中（1）问每一行的和就代表 $x_i$ 的度数，每一列之和就代表 $y_i$ 的度数，边着色的最大度即找最大的行或列的和

（2）每天 8 节课，一周就是 40 节课，总课时是 240 ，教室就是 240 / 40

---

P187—190 习题7 ：1----6

二、图的顶点着色

(一)、相关概念

跟图的边着色问题一样，生活中的很多问题，也可以模型为所谓的图的顶点着色问题来处理。例如课程安排问题。

定义1 设$G$是一个图，对$G$的每个顶点着色，使得相邻顶点着不同颜色，称为对$G$的正常顶点着色；

定义1 给定图 $G=(V,E)$，称映射 π:V→{1,2,3,...,k}\pi : V \to \{1, 2, 3, ..., k\}π:V→{1,2,3,...,k} 为 $G$ 的一个 $k$ 点着色，简称着色，称 {1,2,3,...,k}\{1, 2, 3, ..., k\}{1,2,3,...,k} 为色集。若 $\pi$ 为 $G$ 的点着色且 $\forall u,v\in E$，当
$u与v$ 相邻时，$\pi (u)\ne \pi (v)$，则称该着色是正常的。图 $G$ 的正常 $k$ 着色的最小值 $k$ 称为 $G$ 的色数。（$\pi (u)$ 为图 $G$ 的点着色，$u$ 为 $G$ 的顶点）

如果用$k$种颜色可以对$G$进行正常顶点着色，称$G$可$k$正常顶点着色；

对图$G$正常顶点着色需要的最少颜色数，称为图$G$的点色数。图$G$的点色数用 $\chi \left(G\right)$ 表示。

注： 对图的正常顶点着色，带来的是图的顶点集合的一种划分方式。所以，对应的实际问题也是分类问题。属于同一种颜色的顶点集合称为一个 色组，它们彼此不相邻接，所以又称为点独立集。用点色数种颜色对图$G$正常着色，称为对图$G$的最优点着色。（一个色组就是一个点独立集）

定义2 色数为$k$的图称为$k$色图。

(二)、图的点色数的几个结论（了解性学习）

定理1 对任意的图$G$，有：$\chi (G)\le \Delta (G)+1$

分析： 事实上，定理结论容易想到，因为任意一个顶点度数至多为$\Delta$，因此，正常着色过程中，其邻点最多用去$\Delta$种颜色，所以，至少还有一种色可供该点正常着色使用。

对于$G$来说，可以给出其$\Delta (G)+1$正常点着色算法。

---

其中的 $C(v_i)$

注: (1)不能通过上面算法求出色数，例如，根据上面算法，我们求出了一个4色方案，但G是3色图：

(2) Welsh—Powell稍微对上面算法做了一个修改，着色时按所谓最大度优先策略，即使用上面算法时，按顶点度数由大到小的次序着色。这样的着色方案起到了对上面算法的一个改进作用。

对于简单图$G$来说，数学家布鲁克斯(Brooks)给出了一个对定理$1$的色数改进界。这就是下面著名的布鲁克斯定理。

定理2(布鲁克斯，1941) 若$G$是连通的单图，并且它既不是奇圈，又不是完全图，则：$\chi \left(G\right)\le \Delta \left(G\right)$

对于简单图的点色数，还可以在定理2的基础上获得改进。

定义3 设$G$是至少有一条边的简单图，定义：
$${\Delta }_2(G)=\underset{u\in V(G)}{\max }\underset{\begin{array}{c}v\in N\left(u\right)\\ d\left(v\right)\le d\left(u\right)\end{array}}{\max }d\left(v\right)$$

如果令：$$V_2(G)=\left\{\begin{array}{c}v|v\in V(G),N(V)\text{中 存在点}u\text{, 满足}d(u)\ge d(V)\end{array}\right\}$$
那么，
Δ2(G)=max⁡{d(v)∣v∈V2(G)}\Delta_2\left(G\right)=\max\left\{d\left(v\right)|v\in V_2(G)\right\}Δ2​(G)=max{d(v)∣v∈V2​(G)}

注： 由次大度的定义知：${\Delta }_2(G)\leqq \Delta (G)$

定理3 设$G$是非空简单图，则：$\chi (G)\le {\Delta }_2(G)+1$

注： 定理3是对定理2的一个改进！

推论： 设$G$是非空简单图，若$G$中最大度点互不邻接，则有：$\chi (G)\le \Delta (G)$

(三)、四色与五色定理

1、四色定理

2、五色定理

定理4 (希伍德) 每个平面图是$5$可着色的。

根据平面图和其对偶图的关系，上面定理等价于每个平面图是$5$可顶点正常着色的。

---

(四)、顶点着色的应用

图的正常顶点着色对应的实际问题是“划分”问题。

---

P187—190 习题7 ：7----9

三、与色数有关的几类图和完美图（不管）

(一)、与色数有关的几类图

1、临界图

定义1 若对图$G$的任意真子图$H$，都有$\chi (H)<\chi (G)$，则称$G$是临界图。点色数为$k$的临界图称为$k$临界图。

注： 临界图由狄拉克在1952年首先提出并研究。上面的4临界图是Grotzsch(格勒奇)在1958年提出的。

定理1 临界图有如下性质
(1) $k$色图均有$k$临界子图；
(2) 每个临界图均为简单连通图；
(3) 若$G$是$k$临界图，则$\delta \ge k-1$。

证明： (1)是显然的。

(2) 因为删掉环或平行边中的一条边并不破坏原有的顶点正常着色，所以每个临界图是单图；又因为删掉色数较小的分支，剩下部分的图的色数和原图色数相等，所以，临界图必须是连通图。

(3) 若不然，$\delta <k-1$。
设$d(v)=\delta$。因为$G$是$k$临界图，所以$G-v$是$k-1$可正常顶点着色的。设$п$是$G-v$的$k-1$正常顶点着色方案，显然，它可以扩充为$G$的$k-1$正常点着色方案。这与$G$是$k$临界图相矛盾。

推论： 每个$k$色图至少有$k$个度不小于$k-1$的顶点。

---

---

---

---

(2) 由例4中命题推布鲁克斯定理。

2、唯一可着色图

对图的顶点进行正常着色，实际上给出图的顶点集合的一种划分，不同的着色方案，给出的划分一般不同。但是，也存在一类特殊图，对于任意的最优着色方案，导出的顶点划分却是相同的。为此，我们给出如下定义。

定义2 设简单标定图$G$的点色数是$k$, 如果在任意的$k$正常点着色方案下，导出的顶点集合划分唯一，称$G$是唯一$k$可着色图，简称唯一可着色图。

下面给出唯一可着色图的几个特征。

定理2(哈拉里，1968） 设$G$是唯一$k$可着色图，$k\ge 2$, 则：
(1) $\delta \ge k-1$;
(2) 在$G$的任意一种$k$着色中，$G$的任意两个色组的并的导出子图是连通的。

定理3 (夏特朗） 每个唯一$k(k\ge 2)$可着色图是$(k-1)$连通的。

推论： 设$G$是唯一$n(n\ge 2)$可着色图，$п$是任意一种$n$着色方案，则由$п$的任意$k$个色组导出的子图是$(k-1)$连通的。

证明： 显然，任意$k$个色组导出子图是唯一$k$可着色图，由定理3得到推论结论。
注： (1) 唯一1可着色图是零图；
(2) 唯一2可着色图是偶图；
除此之外，没有简单的结论！

定理4 每个唯一4可着色可平面图都是极大可平面图。

3、不含三角形的k色图

定义3 若图$G$的点色数是$k$，且$G$中不含有三角形，称$G$是一个不含三角形的$k$色图。

---

注： 利用米歇尔斯基方法构造一个不含三角形的k色图时，结果图与初始图有关。

---

---

定理5 (米歇尔斯基) 对于任意正整数$k$, 存在不含三角形的$k$色图。

定理6 (Erdos) 对于任意正整数$m$和$n$, 存在一个围长超过$m$的$n$色图。

(二)、完美图简介

1、相关概念

定义4 (1)单图$G$的团：若单图$G$的一个顶点子集$S$在$G$中的导出子图是完全图,则称$S$是$G$的一个团；

(2) 单图$G$的团数：单图$G$的最大团包含的顶点数称为$G$的团数，记为$cl(G)$,即：cl(G)=max⁡{∥S∥S是G的团}cl(G)=\max\left\{\left\|S\right\|S\text{是}G\text{的团}\right\}cl(G)=max{∥S∥S是G的团}

显然，图$G$的点色数与团数的关系为：
$$\chi (G)\ge cl(G)$$

定义5 设$G$是一个图。若对$G$的每个点导出子图$H$，均有$\chi (H)=cl(H)$ ,则称$G$为完美图。

例如$K_n$, 偶图是完美图，而不含三角形但含奇圈的图不是完美图。

因为不含三角形的但含奇圈的图的团数为2，但色数为3，所以，它不能是完美图。

注：完美图问题是点着色的进一步讨论题材，属于比较高深和困难的问题。

定义6 设$G$是一个图。由$G$中若干互不邻接的顶点作成的子集称为$G$的一个点独立集；$G$中含顶点数最多的点独立集称为$G$的最大独立集，其包含的顶点数称为独立数。

图$G$的点独立数记为$\alpha (G)$或$\alpha$。

注： 关于图的覆盖与图的点独立数之间的关系，加莱得到了一些很漂亮的结论。

2、关于独立数的完美图

定义7 设$S$是图$G$的顶点集合的一个划分。如果$S$的每个子集在$G$中的导出子图均是完全图，称$S$是$G$的一个完全分类。$G$的最小完全分类所包含的元素个数称为$G$的完全数，记为$\theta (G)$,即：
θ(G)=min⁡{∣S∣∣S为G的完全分类}\theta(G)=\min\left\{|S||S\text{为G的完全分类}\right\}θ(G)=min{∣S∣∣S为G的完全分类}

注： $\alpha (G)\le \theta (G)$。这是因为独立集中任意一点应该属于$S$中的某个顶点子集，同时，$S$中每个顶点子集最多包含独立集中的一个元素。

定义8 若对$G$中每个点导出子图$H$，都有$\alpha (G)=\theta (G)$, 称$G$是关于点独立集的完美图。

定理7 (完美图定理) $G$是关于色数的完美图当且仅当$G$是关于独立集的完美图。

定理8 $G$是完美图当且仅当其补图是完美图。

3、关于完美图的结构研究

在关于完美图结构的问题上，贝尔热提出了下面的强完美图猜想(SPGC猜想)

定理9 (强完美图定理) 图$G$是完美的当且仅当$G$和其补图均没有导出子图是长度至少为$5$的奇圈。

注： 强完美图定理是一个还没有被证明的公开性问题，所以，现在还是一个吸引许多学者研究的问题。

P187—190 习题7 ：22 ，23，24，26

四、着色的计数与色多项式

(一)、色多项式概念

所谓色计数，就是给定标定图$G$和颜色数$k$,求出正常顶点着色的方式数。方式数用$P_k(G)$表示。

可以证明：$P_k(G)$是 $k$ 的多项式，称为图 $G$ 的色多项式。

由点色数 $\chi (G)$ 和色多项式 $P_k(G)$ 的定义可得：

(1) 若 $k<\chi (G)$，则 $P_k(G)=0$; χ(G)=min⁡{k∣Pk(G)≥1}\chi(G)=\min\left\{k|P_k(G)\geq1\right\}χ(G)=min{k∣Pk​(G)≥1}

(2) 若 $G$ 为 $n$ 阶空图，则 $P_k(G)=k^n$。

(3) $P_k(K^n)=k(k-1)\dots (k-n+1)$。

(4) 若图 $G$ 含有 $n$ 个孤立点，则 $P_k(G)=k^n{P}_k(G^{\prime })$，其中 $G^{\prime }$ 是 $G$ 去掉 $n$ 个孤立点后所得的图

(5) 若图 $G$ 有环或有重边，则去掉环并将重边用单边代替之后所得的图的 $k$ 着色数目与原图一样。（这是因为研究图的着色时，涉及的是点与点是否邻接，并不涉及两点的邻接方式）

(二)、色多项式的两种求法

1、递推计数法

定理1 设$G$为简单图，则对任意 $e\in E(G)$ 有：
$$P_k(G)=P_k(G-e)-P_k(G•e)$$

推论： 设$G$是单图，$e=uv$ 是 $G$ 的一条边，且 $d(u)=1$,则：
$$P_k(G)=(\text{k}-1)P_k(G-u)$$

---

通过加边变为完全图，加边规则为：任意连接两个顶点 + 将两个顶点收缩；通过减边变为空图，减边规则为：任意删掉某条边 - 将这条边的两点收缩

一般，对于具有 n 个点 m 条边的图，当 $m\le \frac{1}{2}C(n,2)$ ，宜用减边方法

---

注意： 在变换的过程中，出现环则去掉，出现平行边则合并为一条边

2、理想子图计数法

(1) 预备知识

定义1： 设$H$是图$G$的生成子图（包含所有顶点）。若$H$的每个分支均为完全图，则称$H$是$G$的一个理想子图。用$N_r(G)$表示$G$的具有 $r$ 个分支的理想子图的个数。（有 $n$ 个顶点就对应 $n$ 个 $N_r(G)$）

---

---

定理2 设$q_r(G)$表示将单图$G$的顶点集合$V$划分为 $r$ 个不同色组的色划分个数，则：

$$q_r(G)=N_r(\overline{G})，(1\le r\le |V|)$$

证明： 一方面，设$G$的任一$r$色划分为：{V1,V2,…,Vr}\{V_1, V_2,…,V_r\}{V1​,V2​,…,Vr​}。于是，对于 $1\leqq i\leqq r$, $\overline{G}\left[V_i\right]$ 是 $\overline{G}$ 的完全子图。
因为$V_i\cap V_j=\Phi (i\ne j)$, 所以 $\overline{G}\left[V_i\right]$ 是 $\overline{G}$ 的理想子图。
这说明：$G$ 的任一 $r$ 色划分必然对应 $\overline{G}$ 的一个理想子图。容易知道，这种对应是唯一的；
另一方面，对于 $\overline{G}$ 的任一具有$r$个分支的理想子图，显然它唯一对应$G$中一个$r$色组。
所以，我们得到：$q_r(G)=N_r(\overline{G}).....(1\le r\le |V|)$

(2) 色多项式求法——理想子图法（期末考过）

上面定理2实际上给我们提供了色多项式的求法：用$k$种颜色对单图$G$正常着色，可以这样来计算着色方式数：色组为1的方式数+色组为2的方式数+…+色组为$n$的方式数。即有如下计数公式：$$P_k(G)=\sum _{i=1}^n{N}_i(\bar{G})[k{]}_i,\text{其中,}[k{]}_i=k(k-1)(k-2)...(k-i+1)$$

定义2 ： 设$G$是单图，令$N_i(\bar{G})=r_i,[k{]}_i=x^i$ 。称
$$h(G,x)=\sum _{i=1}^n{r}_i{x}^i$$

为图$G$的伴随多项式。

于是，求$P_k(G)$就是要求出 $\overline{G}$ 的伴随多项式。

---

---

使用理想子图法求色多项式，还可以通过如下定理进行改进。

定理3 若$G$有$t$个分支$H_1,H_2,\dots H_t$, 且$H_i$的伴随多项式为 $h(H_i,x),i=1,2,\dots ,t$, 则：
$$h\left(G,x\right)=\prod _{i=1}^{t}h\left(H_i,x\right)$$

该定理说明，在求 $\overline{G}$ 的伴随多项式时，可以分别求出它的每个分支的伴随多项式，然后将它们作乘积。

---

求出了色多项式，可以由多项式推出点色数。但是，求色多项式的计算量是很大的。递推方法是指数类计算量，而理想子图法中主要计算量是找出所有理想子图，这也不是多项式时间算法。

(三)、色多项式的性质（了解即可）

定理4 $n$阶单图$G$的色多项式$P_k(G)$是常数项为$0$的首$1$整系数多项式，且各项系数符号正负相间。

---

---