数据结构——时间复杂度

🏖️专题：数据结构专题
🙈作者：暴躁小程序猿（原创）
⛺简介：双非本科大二小菜鸟一枚，希望和大家一起进步~

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前言

  本篇博客将涉及数据结构中时间复杂度的相关知识，包括什么是时间复杂度，时间复杂度的计算，时间复杂度的对比等，也正式意味着开始进入数据结构板块的学习。

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一、什么是时间复杂度？

1.1算法效率

  算法效率分析有两种：一种是时间效率，一种是空间效率。时间效率被称为时间复杂度，空间效率就是空间复杂度，时间复杂度主要衡量一个算法的运行速度，而空间复杂度主要衡量一个算法所需的额外空间。在计算机发展的早期，存储空间很小，所以往往需要考虑空间复杂度，但是随着计算机快速的发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度，所以我们往往不考虑空间复杂度。

1.2时间复杂度的概念

时间复杂度的定义：
  在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定理描述了该算法的运行时间，一个算法执行所消耗的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道，但是我们每个算法都必须上机测试吗？太麻烦了，所以才有了时间复杂度这个分析方法，一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度

二、 大O的渐进表示法

代码如下（示例）：

// 请计算一下Func1基本操作执行了多少次？
void Func1(int N)
{
	int count = 0;
for (int i = 0; i < N ; ++ i)
{
	for (int j = 0; j < N ; ++ j)
{
	++count;
}
}
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
++count;
}
	int M = 10;
while (M--)
{
	++count;
}
	printf("%d\n", count);
}

Func1执行的基本操作次数：

这是准确的次数，但是我们时间复杂度是基本操作的准确次数吗？不是的
假设：
N=10 F(n)=130;
N=100 F(n)=10210;
N=1000 F(n)=1002010;
  实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。
大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法：
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。
使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：

我们再次带入具体数值计算：
N=10 F(n)=100;
N=100 F(n)=10000;
N=1000 F(n)=100000;
我们发现大O的渐进表示法去掉了那么对结果影响不大的结果，简洁明了的表示了执行次数。
另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：
最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
平均情况：任意输入规模的期望运行次数
最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)
例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x
最好情况：1次找到
最坏情况：N次找到
平均情况：N/2次找到
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

三、时间复杂度实例

实例1代码如下（示例）：

void Func2(int N)
{
	int count = 0;
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
	++count;
}
	int M = 10;
while (M--)
   {
	++count;
   }
	printf("%d\n", count);
}

这个函数的时间复杂度是O(N).

实例2代码如下：

void Func3(int N, int M)
{
	int count = 0;
for (int k = 0; k < M; ++ k)
{
	++count;
}
for (int k = 0; k < N ; ++ k)
{
	++count;
}
	printf("%d\n", count);
}

这个函数的时间复杂度为O（M*N）

实例3代码如下：

void Func4(int N)
{
	int count = 0;
for (int k = 0; k < 100; ++ k)
{
	++count;
}
	printf("%d\n", count);
}

这个函数的时间复杂度是O(1).

实例4代码如下：

const char * strchr ( const char * str, char character )
{
while(*str != '\0')
{
	if(*str == character)
	return str;
	++str;
}
	return NULL;
}

这个函数的时间复杂度是O(n).

实例5代码如下：

void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
	int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
	if (a[i-1] > a[i])
{
	Swap(&a[i-1], &a[i]);
	exchange = 1;
}
}
	if (exchange == 0)
	break;
}

这个函数的时间复杂度是

实例6代码如下：

int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
	assert(a);
	int begin = 0;
	int end = n;
while (begin < end)
{
	int mid = begin + ((end-begin)>>1);
if (a[mid] < x)
	begin = mid+1;
else if (a[mid] > x)
	end = mid;
else
	return mid;
}
	return -1;
}

这个函数的时间复杂度是O(logN).

实例7代码如下：

long long Factorial(size_t N)
{
	return N < 2 ? N : Factorial(N-1)*N;
}

这段代码是斐波那契的递归调用，这个函数的时间复杂度是O(N)。

3.1实例答案及分析

1. 实例1基本操作执行了2N+10次，通过推导大O阶方法知道，时间复杂度为 O(N)
2. 实例2基本操作执行了M+N次，有两个未知数M和N，时间复杂度为 O(N+M)
3. 实例3基本操作执行了10次，通过推导大O阶方法，时间复杂度为 O(1)
4. 实例4基本操作执行最好1次，最坏N次，时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O(N)
5. 实例5基本操作执行最好N次，最坏执行了(N*(N+1)/2次，通过推导大O阶方法+时间复杂度
   一般看最坏，时间复杂度为 O(N^2)
6. 实例6基本操作执行最好1次，最坏O(logN)次，时间复杂度为 O(logN) ps：logN在算法分析
   中表示是底数为2，对数为N。有些地方会写成lgN。（建议通过折纸查找的方式讲解logN是怎么计算出来的）
7. 实例7通过计算分析发现基本操作递归了N次，时间复杂度为O(N)。

四、时间复杂度对比图

我们发现时间复杂度最好的是O(logN) .

总结

  本篇博客讲了数据结构中时间复杂度的概念和计算，正式开始进入数据结构课程的学习，希望我的博客可以帮到大家，欢迎大家私信，小猿会持续更新，欢迎大家私信留言，我们明天见~