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提示：以下是本篇文章正文内容，下面案例可供参考

一、树概念及结构

1.树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

2.树的特点

1. 仅有一个特定的节点的(没有前驱节点)被称为根节点或树根（root）。
2. 每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。
3. 当n>1时，其余结点可分为m（m≥0）个互不相交的集合T1，T2，……Tm，其中每一个集合Ti（1<=i<=m）本身也是一棵树，被称作根的子树（subtree）。
4. 每个元素称为节点（node）.
5. 树是递归定义的。

注意：

• n>0时，根节点是唯一的。
• m>0时，子树的个数没有限制，但它们一定是互不相交的。
• 除了根节点外，每个节点有且仅有一个父节点。
• 一棵n个节点的树有n-1条边。

3.树的相关名词

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如图：A的为6
叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如图：B、C、H、I…等节点为叶节点
非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如图：D、E、F、G…等节点为分支节点。除根结点外，分支结点也被称为内部结点。
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如图：A是B的父节点
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如图：B是A的孩子节点
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如图：B、C是兄弟节点
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如图：树的度为6
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如图：树的高度为4
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如图：A是所有节点的祖先
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如图：所有节点都是A的子孙
森林：由m（m>0）棵互不相交的多颗树的集合称为森林；（数据结构中的学习并查集本质就是一个森林）

如果将树中结点的各个子树看成从左到右是有次序的，不能互换的，则称该树为有序树，否则称为无序树。

二、树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。

1.孩子兄弟表示法

typedef int DataType;
struct Node
{
    struct Node* _firstChild1;    // 第一个孩子结点
    struct Node* _pNextBrother;   // 指向其下一个兄弟结点
    DataType _data;               // 结点中的数据域
};

2.双亲表示法

由于树中每个结点都仅有一个双亲结点（根节点没有），我们可以使用指向双亲结点的指针来表示树中结点的关系。

#define MAX 100//宏定义树中结点的最大数量
typedef char ElemType;//宏定义树结构中数据类型
typedef struct Snode{
    TElemType data;//树中结点的数据类型
    int parent;//结点的父结点在数组中的位置下标
}PTNode;
typedef struct {
    PTNode tnode[MAX];//存放树中所有结点
    int n;//根的位置下标和结点数
}PTree;

这样的存储结构，我们可以根据结点的parent域在O(1)的时间找到其双亲结点，但是只能通过遍历整棵树才能找到它的孩子结点。一种解决办法是在结点结构中增加其孩子结点的域，但若结点的孩子结点很多，结点结构将会变的很复杂。

三、二叉树概念及结构

1.概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

2. 二叉树的特点

1. 每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于2的结点。
2. 二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒。

3.特殊的二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉
   树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是(2^k) -1 ，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
   

4.二叉树的存储结构

1 顺序存储：
顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

.2 链式存储：
二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址 。

链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{
    struct BinTreeNode* pLeft;   // 指向当前节点左孩子
    struct BinTreeNode* pRight; // 指向当前节点右孩子
    BTDataType _data; // 当前节点值域
}

// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{
    struct BinTreeNode* pParent; // 指向当前节点的双亲
    struct BinTreeNode* pLeft;   // 指向当前节点左孩子
    struct BinTreeNode* pRight; // 指向当前节点右孩子
    BTDataType _data; // 当前节点值域
}；

5.二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) 个结点.
2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h- 1.
3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n0, 度为2的分支结点个数为 n2,则有n0＝n2
   ＋1
4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=LogN

练习：

1.某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）
A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199
2. 在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）
A n
B n+1
C n-1
D n/2
3.
一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（ ）
A 11
B 10
C 8
D 12

解析：
 1.（答案：B）根据性质三，叶子结点（度为0）的个数为度为 2 的结点加1,即200。

2.（答案：A）根据性质三，度为0的结点数和度为2的结点数之和应为奇数，因为该完全二叉树的结点总数为2n（偶数），所以二叉树中必然存在一个度为1的结点。可以假设度为0的有x个，度为1的有y个，度为2的有z个，则有x+y+z=2n，x=z+1;推出2x+y-1=2n；因为完全二叉树的最后一层的结点从左到右是连续的，结点只能是2，1，0。所以任何一棵完全二叉树要么只有1个度为1的结点，要么就没有度为1的结点（即此时为满二叉树）。又度不能为小数，所以答案是A。
 
3.（答案：B）假设该完全二叉树的层数为h，最后一层缺了x个（加上x个形成满二叉树），则有2 ^ h - 1 - x = 531,可以确定的是x的范围为[0,2^(h-1)-1]（0个表示都不缺，即满二叉树，2 ^ (h-1)-1表示都缺），结合这两个条件，可以判断答案为B。