Greedy Approach

贪心算法：一种”短视“的，只考虑局部最优的方法（不像DP会考虑子问题的计算结果）

因此贪心法往往时间效率更高，但论证贪心算法的正确性也较为困难。

正确性证明常见方法：1.归纳法（对算法执行步数） 2.交换论证法（反证）

1. 活动选择问题

活动时间两两不能重叠，问能进行的最大活动数。

该问题等效于线段覆盖问题中的 最多不相交线段覆盖。

算法：按照右端点（活动结束时间）升序排序，依次添加线段。

正确性证明思路：对算法执行步数进行归纳。归纳基础：先证明存在一个最优解包含右端点最小的区间（否则可以进行替换）。归纳步骤：对选出的活动个数k进行归纳，证明最优解去掉前k个的活动，是剩下集合的最优解，否则矛盾，必然存在对剩下的集合的最优解包含第一个活动，归纳结论成立。

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2. 任务调度问题

某工厂需要为n个客户提供任务，给定n个客户的任务的完成耗时$T=<t_1,\dots ,t_n>$，以及n个客户对完成时间的要求 $D=<d_1,\dots ,d_n>$ 。求调度方案 $f$，使得所有客户延迟时间的最大值最小。


数学建模：min⁡fmax⁡i{f(i)+ti−di}\min\limits_f \max\limits_i \{f(i)+t_i -d_i\}fmin​imax​{f(i)+ti​−di​} （且$f(i)$保证维修时间互不重叠）

算法：根据截止时间 $d_n$ 从小到大排序即可（即不存在逆序）

正确性证明：可通过交换论证法，将最优解变换成无逆序的情形（相邻的两两交换，总交换次数必然有限），最大延迟不会变差。

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贪心算法得不到最优解的处理方法

• 输入参数分析

e.g. 找零钱问题：有n种硬币（数量不限），给出其重量和价值。需要付款的总价格为Y，求如何选择面值使得总重量最低。

多重背包问题：可使用DP法，时间复杂度为$O(n{Y}^2)$

考虑贪心算法：对单位价值重量按最大到小排序，优先选相对轻的（编号大）

记使用前k种零钱，总钱数为y时，利用贪心法所获得重量为$G_k(y)$，可得
$$G_k(y)=w_k\lfloor \frac{y}{v_k}\rfloor +G_{k-1}(ymod{v}_k)$$
观察：当n等于1，2时，贪心法是最优解。

当n=2时，对DP中的递推式Fk(y)=min⁡{Fk−1(y−xkvk)+wkxk}F_k(y) = \min\limits_{} \{F_{k-1}(y-x_kv_k)+w_k x_k \}Fk​(y)=min​{Fk−1​(y−xk​vk​)+wk​xk​}。可证明当$x_2$取得最大值时得到最优解（和贪心法得到的解一样）

可证明定理：若对前k种硬币使用贪心法都能得到最优解，则对前k+1种硬币使用也得到最优解的充要条件为$\forall y\in N,G_{k+1}(y)\le G_k(y)$

• 但需要对所有非负整数y进行验证，这在实际运算中不可行。需要其他条件。

  
  

判别条件定理：（检验贪心法是否产生最优解）
$$\begin{gathered} G_k(y)=F_k(y),k\in N \\ {v}_{k+1}=p{v}_k-\delta \end{gathered}$$
则下列命题等价：

条件(1): $G_{k+1}(y)=F_{k+1}(y),\forall y\in N$

条件(2): $G_{k+1}(p{v}_k)=F_{k+1}(p{v}_k)$

条件(3): ${\omega }_{k+1}+G_k(\delta )\le p{\omega }_k$

条件3验证一次只需要$O(k)$时间。一共需要验证$O(kn)$的时间。

条件2则帮助找反例，“一点定理”

• 近似误差分析

  典例：集合覆盖问题（Set Cover Problem）

  属于NP-难问题；可以用贪心法进行近似，近似的因子为logn数量级。

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3. Huffman编码

二元前缀码：prefix-free（从而保证解码唯一性）

前缀码的二叉树表示：叶子结点对应编码

平均传输位数：$B=\sum _{i=1}^{n}f(x_i)d_i$


Huffman树算法：

归纳证明：将两个最小的子结点合并成新结点，得到的新二叉树也是一个最优二叉编码树（否则可推出矛盾）

引理：对频率最小的两个字符，存在一种最优的编码方式使其是二叉树中的兄弟。

应用：文件二分归并

等效于建立二叉树，归并代价最小时恰好对应huffman树

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4. 最小生成树

回顾图论中关于生成树的性质：

1）T是n阶连通图G的生成树当且仅当T有n-1条边且无圈

2）对G的生成树T，若$e\notin T$，那么添加e后包含一个圈

3）剔除2）中圈C的任意一条边，可以得到G的生成树

生成树性质的应用：

约束：不构成回路 截止：边数达到n-1

改进生成树：用回路中权值更小的边来替代

Prim算法

算法步骤：随意选择一个点加入已选集合$S_1$，然后寻找$S1$到剩余点集$S_2$中权值最小的一条边，将对应的$S_2$ 中的点加入$S_1$，直到所有点都加入为止


算法正确性证明：

主要利用性质3）和反证法（假设任意最小生成树都不包含某条边）。如果存在权值更小的边且未被加入生成树，可以连接该条边，再从圈中选择一条边删去（必然存在连接$S_1$和$S_2$的边，否则不可能是连通树）得到的还是生成树。

证明方法：添加权值最小的边，再从圈中删除。

时间复杂度分析

需要添加n个结点，每次寻找最短边的时间复杂度为$O(n)$ 。实现方式：用距离数组d[i]记录$S_2$中的点到$S_1$的最短距离，只需要在每次添加结点时进行更新即可。更新的方法：只需要对V2中的点，检查到新添加到S1中的点的距离是否小于原来的值，若则进行更新，因此总的找最小和更新值的时间复杂度均为$O(n)$，因此时间复杂度为$O(n^2)$。

优化：维护一个最小堆

先对m条边进行建堆，则时间复杂度为$O(m)$，然后按从小到大的顺序遍历所有边，直到找到第一条连接S和V-S的边。每次寻找最小边是$O(1)$，但删除元素（优先队列首元素出队）的时间复杂度是$O(m)$的，因此总时间复杂度为$O(m\log m)=O(m\log n)$

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Kruskal算法

算法步骤：等价类（连通分支）

算法思想：考察当前最短边 $e$，若它与正在构建的最小生成树 $T$ 不构成回路，则将该条边加入T中，否则不加入，继续检查下一条边。直到选择了n-1条边为止。

理解：构成回路 —— 相当于该条边连接的两个端点已经位于一个连通分支内（或者属于同一个等价类）

算法正确性证明

归纳证明：利用短接（边的收缩；类似于将huffman二叉树两个最小顶点合并）

先短接最短的边，对结点个数减少的情况利用归纳假设，然后恢复这条边。反证：前提是首先需证明存在一棵包含这条最短边（显然）

算法复杂度分析

预处理：按照边的权值大小进行排序，时间复杂度为$O(m\log m)$

关键步骤：如果判定两个顶点属于一个连通分支？

• 使用并查集维护和路径压缩算法

  使用UNION函数和FIND函数。

  时间复杂度：对于每条边，查找两个顶点是否已经连通，需要$O(m\alpha (n))$ 的时间。其中$\alpha$可认为是增长很缓慢、趋近于常数的因子；总时间复杂度瓶颈为排序，需要$O(m\log m)=O(m\log n)$的时间。

• 也可采用标记数组FIND：用编号来标记当前顶点所在的分支，因此每次更新需要进行分支的合并（更改个数较少的分支编号。

  可以证明更新FIND数组的总时间复杂度不超过$O(n\log n)$。因为每次合并集合之后，集合中的顶点个数至少增加一倍，因此合并次数不超过$\log n$次。

  由上述分析可知，总时间复杂度的瓶颈依然为排序过程。

比较：Prim算法和Kruskal算法

可以理解为prim算法围绕顶点出发，kruskal算法则是处理边的。

复杂度比较：考虑正常情形下的prim算法，时间复杂度$O(n^2)$；此时选择何种算法取决于图中边的疏密程度。若为稀疏图则选择Kruskal，反之选择Prim。

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5. Dijkstra算法

目标问题：单源最短路径问题

使用条件：不存在负权边的情况

算法实现：贪心策略（每次选择V-S中距离起点最近（路径只能途径S中的点）的点，加入集合S中，并更新距离数组的值。

算法正确性证明

对集合S中的顶点个数做归纳法。

归纳基础：首先n=1时显然成立。

归纳步骤：证明对选入S的k个点，此时dist数组中存储的已经是起点到对应点的最短路径。采用反证法，若存在一条其他路径L更短，设该路径第一次离开S的边为<x,y>，其中x属于集合S。由于算法在这一步选择了顶点v，就说明dist[v] <= dist[y]，可推出矛盾（从顶点y到v的顶点非负，此处利用了边的权值一定是非负的）

时间复杂度分析

每次遍历dist数组选择最小值，时间复杂度为$O(n)$；然后添加新的顶点后，只需遍历所有顶点，更新所有和新加入顶点相邻的顶点的距离值，时间复杂度也为$O(n)$。因此总时间复杂度为$O(n^2)$

比较：Floyd算法

• 动态规划，可以用来解决多源最短路径问题；可以解决负权边的问题（但不能解决负权回路）

  
  

拓展：Bellman-Ford算法

• 可以用来求解负权边问题

• 但注意如果图中存在负权环则无解

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6. 覆盖问题

区间完全覆盖问题

问题：给定一个长度为m的区间([start, end])，再给出n条线段的起点s[i]和终点e[i]（闭区间），求最少使用多少条线段可以将整个区间完全覆盖?

预处理：对区间左端点进行排序。

局部最优：从左端点不大于目标区间左端点的所有区间内，选择右端点最大的（尽可能多覆盖）

区间选点问题

问题描述：给定n个闭区间的起点s[i]和终点e[i]（均为整数），以及n个正整数$c_1,c_2\dots ,c_n$。求元素最少的整数集Z，使得第i个区间中至少有$c_i$个的整数点落在Z内。（保证 $c_i$ <= e[i]-s[i]+1）

预处理：对区间右端点进行排序。(why ?)

局部最优：对当前右端点最小的区间而言，若还需选择t个点进行覆盖，则在扫描该区间时必须全部选择（否则更靠后就无法覆盖了）


算法正确性证明

1.归纳基础：证明存在一种最优解包含区间1的最右边$c_1$个点

2.归纳步骤：对算法执行的步数k进行归纳（仿造活动选择问题）

集合覆盖问题

问题描述：假设存在下面需要付费的广播台，以及广播台信号可以覆盖的地区。 如何选择最少的广播台，让所有的地区都可以接收到信号？

更一般化的表述：

• 属于NP-难问题，但可以使用贪心算法求近似解。

贪心算法的直接思想：每次选择未被覆盖元素最多（可理解为平均代价最小）的集合

拓展：估计贪心算法的解的误差

可证明贪心算法所得解 g 和真正最优解 c 满足：
$$g=O(c\log n),n=|X|$$

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贪心算法总结

适用条件：求解优化问题

思路：自顶向下，只顾眼前的”局部最优“（需要对算法正确性进行

时间复杂度：算法本身往往较简单，主要时间复杂度取决于预处理操作（如排序算法）