试题 C: 直线
10 分

在平面直角坐标系中，两点可以确定一条直线。如果有多点在一条直线上，
那么这些点中任意两点确定的直线是同一条。
给定平面上2 × 3个整点 {(x, y)|0 ≤ x < 2, 0 ≤ y < 3, x ∈ Z, y ∈ Z}，即横坐标
是0到 1 (包含 0 和 1) 之间的整数、纵坐标是 0 到 2 (包含0和 2) 之间的整数
的点。这些点一共确定了 11 条不同的直线。
给定平面上 20 × 21 个整点 {(x, y)|0 ≤ x < 20, 0 ≤ y < 21, x ∈ Z, y ∈ Z}，即横
坐标是 0 到 19 (包含 0 和 19) 之间的整数、纵坐标是 0 到 20 (包含 0 和 20) 之
间的整数的点。请问这些点一共确定了多少条不同的直线。

结果:40257

解法一

两点式直线方程：
(y1-y2) * x +(x2-x1) * y +( x1 * y2 - x2 * y1)=0

思路：先存储所有的坐标 ，遍历所有的坐标组获得直线Ax+By+C=0的A,B,C并使用gcd约分最后再利用set去重。

#include<iostream>
#include<set>
#include<vector>
#include<cmath>
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
typedef pair<int,int> PII;
typedef pair<PII,int> PIII;
set<PIII> s;
vector<PII>vec;

int gcd(int a,int b){
	if(b == 0) return a;
	return gcd(b, a % b);
}

int main(){
	int x,y;
	cin>>x>>y;
	
	for(int i = 0; i < x; i++)
		for(int j = 0; j < y; j++ )
			vec.push_back({i,j});
			
	for(int i = 0; i < vec.size(); i++){
		for(int j = i + 1; j < vec.size(); j++){
			int x1 = vec[i].first, y1 = vec[i].second;
			int x2 = vec[j].first, y2 = vec[j].second;
			int A = x2-x1, B = y1-y2, C = x1*y2 - x2*y1;
			int gcdd = gcd(gcd(A,B),C);
			s.insert({ { B / gcdd, A / gcdd }, C / gcdd });	
 		}
	}
	
	cout<<s.size();
	return 0;
} 

解法二

通过以其中一点为源点，每两点间的向量来区分直线，例如以A(x1,y1)为源点，那么与B(x2,y2)点向量就是（x1-x2,y1-y2），同时向量要取gcd避免相同直线取值不同。

#include<iostream>
#include<vector>
#include<set>
#define x first
#define y second 
using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
vector<PII> a;
 
int gcd(int a,int b){
	return b?gcd(b,a%b):a;
} 
 
int main(){
	
	int n = 20,m = 21;
	
	for(int i = 0; i < n; i++)
		for(int j = 0; j < m; j++)
			a.push_back({i,j});
	
	int ans = 0;
	int sz = a.size();
	vector<set<PII>> s(a.size());
	
	for(int i = 0; i < sz; i++){		
		for(int j = i+1; j < sz; j++){
			
			int xx = a[i].x-a[j].x;
			int yy = a[i].y-a[j].y;
			int d = gcd(xx,yy);
			PII n1 = {xx/d,yy/d};
			//忽略与x轴或y轴平行的直线
			if(n1.x == 0 || n1.y == 0) continue;
			 
			s[i].insert(n1);
			//如果该点不存在这方向就插入该方向，
			//同时要减去相同的直线（i点与j点重复插入相同方向） 
			if(s[j].count(n1) == 0){  
				s[j].insert(n1);
				ans--;	
			} 
			
		}
	}
	
	for(int i = 0; i < s.size(); i++){
		ans += s[i].size(); 
	}	
	
	cout<<ans+n+m; // n 和 m 表示所有与x轴或y轴平行的直线 
		
	return 0;
}