2.1 多传感器数据关联时的数据准备

2.1.1.预处理

一、 点迹过滤：基本依据是运动目标和固定目标跨周期的相关特性不同。**

（1）保留雷达扫描5周期的信息，包括各个障碍物的坐标信息；

（2）新点迹与之前5圈的点迹按由老到新的次序进行逐个对比；

（3）根据目标运动速度等因素设置两个窗口，一个大窗口，一个小窗口。设置6个标志位p1~p6和GF；

（4）新来的点迹与第一圈的点迹比较，比较结果第一圈点迹中至少有一个点迹与新点迹之差在小窗口内，则p1=1，否则p1=0；

（5）新来的点迹与第2，3，4，5圈点迹比较，设置p2~p5；

（6）再一次把新点迹与第5圈点迹进行比较，比较结果如果至少有一个两者之差在大窗口之内，标志位GF=1，否则GF=0；

（7）判断点迹种类：

• 运动点迹：p5=0;p4=0;GF=1;在第4圈，第5圈小窗口没有符合，但是大窗口中有符合，即为运动点迹。
• 固定点迹：（p4+p5）=1，(p1p2+p1p3+p2p3)=1；在第四，第五圈至少有一次符合，同时1，2，3圈小窗口中至少两次符合则新点迹为固定点迹。
• 孤立点迹：p4=p5=0,GF=0;4,5圈小窗口不符合，第5圈大窗口不符合，则是孤立点迹。
• 可疑点迹：凡是不满足上述准则的点迹，统统被认为是可疑点迹。

二、 点迹合并：

建立一个（距离和方位的）二维门，其大小与距离门尺寸，检测准则，脉冲回波数和目标尺寸有关。

三、去野值

去除有粗大误差的数据。

2.1.2.修正系统误差

• 站位误差，雷达的经纬度导致的误差
• 测量误差中的固定误差部分：

雷达天线波束的指向偏差或雷达天线的电轴与机械轴不重合产生的误差；距离测量中的零点误差；高度计零点偏差；方法误差。

2.1.3.坐标变换或空间对准

• 极坐标向直角坐标系转换，没有考虑地球曲率的情况下，会引入变换误差，导致互相关测量噪声产生。

2.1.4.时间同步或对准

• 利用一个雷达或传感器的时间作为公共时间，把其他传感器的时间统一到该传感器上。

Zk(ti)=Zk(tj)+V*(ti-tj);

或者采用kalman预测，并添加误差协方差

x_ = F_ * x_;
 P_ = F_ * P_ * Ft + M*Q_*Mt
 M=[t*t/2,0;t,0;0,t*t/2;0,t];

• 利用差值法将各单雷达的测量数据对准到统一时间轴上。差值的关键在于构建逼近函数，采用二次多项式作为逼近函数。

      f(k)=(k-k1)*(k-k2)/(k0-k1)*(k0-k2)*y0+(k-k0)*(k-k2)/(k1-k0)*(k1-k2)*y1+(k-k0)*(k-k1)/(k2-k0)*(k2-k1)*y2
  

采用k0，k1，k2三个时刻的对应函数值估计k时刻的值得到近似结果。

2.1.5.量纲对准。

2.2 数据关联

软判定：将一个观测赋给多个轨迹，具有不确定值。

硬判定：将一个观测赋给一个轨迹

2.2.1 数据关联过程

1. 将传感器的检测点迹进行门限过滤，去除门限外的不希望的点迹。
2. 形成门限内的关联矩阵，度量各点迹与航迹的接近程度
3. 采用最近预测位置的点迹按赋值策略分别赋予相对应的航迹。

矩形门：
$$|Z|=|Z_i{,}_j-X_i{,}_j|<=K_G{,}_l\ast {\sigma }_r$$

$${\sigma }_r=\sqrt{(}{\sigma }^2+{\sigma }_p^2)$$

其中 ：
$$\sigma =测量的标准差$$

$${\sigma }_p=kalman滤波器得到的预测标准差$$

假设高斯误差模型与残差误差相互独立，则正确的观测落入关联门内的概率可以表示为：
$$P_G=[1-P(|t_1|>=K_G{,}_1)][1-P(|t_2|>=K_G{,}_2)]...[1-P(|t_l|>=K_G{,}_l)]$$
其中：
$$1-P(|t_l|>=K_G{,}_l)$$
为标准正态随机变量超多门限Kg,l的概率。如果所有测量维数的门限尺寸相同，都等于Kg，则
$$P_G=[1-P(|t|>=K_G){]}^M\approx 1-MP(|t|\ge K_G)$$
当给定正确观测的落入概率，可以通过查表得到门限值。
$$R_1=K_g{,}_l{\sigma }_x$$

$$R_2=K_G{,}_2{\sigma }_y$$

椭圆门：

椭圆门室友残差失量的范数表示的。
$$d^2=(z-x{)}^T{S}^{-}(z-x)\le G$$
S：残差协方差矩阵

• 最大似然法

  (1)计算P，其中Pd检测概率，M=观测维数/2，新目标密度beta_n，旧目标密度beta_F，残差协方差矩阵S。
  $$\frac{P_d}{(1-P_d)({\beta }_N+{\beta }_F)(2\pi {)}^M\sqrt{(}|S|)}$$
  (2)计算门限常数G0
  $$G_0=2ln[P]$$
  这种情况下G0随着检测概率Pd，检测密度，残差误差的变化而变化，是一种自适应的门限。

• χ2分布法
  P{d2>G}=1−PG P\{d^2>G\}=1-P_G P{d2>G}=1−PG​
  其中d2服从自由度为M的χ2分布，因此可以通过查表法获得门限。

  椭圆门限的性能铭心啊皓宇标准矩形关联门。

关联矩阵

• 对称性
• 三角不等性
• 非恒等识别性：若d(a,b)≠0，则a≠b。
• 恒等识别性：若a=b,则a=b。

相似性度量问题

• 相关系数法
  $$r_{x}y=\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})/\sum (x_i-\bar{x}{)}^2(y_i-\bar{y}{)}^2$$
  对观测幅度的差值不太敏感。高度相关的矢量是一条直线，相关性差的矢量在空间的离散度哒。

• 距离度量
  $$加权欧式距离d_i^2{,}_j={\tilde{y}}_i{,}_j{S}^{-}{\tilde{y}}_i{,}_j^T$$
  其中S-表示残差协方差矩阵的你举证。

  距离度量	数学表达式	注释与说明
  欧几里得距离	sqrt([(Y-Z)*(Y-Z)])	向量Y与Z之间的几何距离
  加权欧氏距离	sqrt([(Y-Z)*W*trans(Y-Z)])	用W加权的向量Y与Z之间的欧式距离
  City Block	|(Y-Z)|	一阶明可夫基距离，Manhattan距离
  明科夫斯基距离	logP(Y-Z)^p	P阶广义欧式距离
  Mahalanobis距离	trans(Y-Z)*inv®*(Y-Z)	加权欧式距离，权等于逆协方差矩阵
  Bhattacharryya距离	1/8trans(Y-Z)inv[sqrt(Ry+Rz)]*(Y-Z)+1/2*ln[sqrt(Ry+Zz)]sqrt(Ry)sqrt(Rz)	广义Manhalanobis距离
  Chernoff距离	[0.5*S*(1-S)]*trans(Y-Z)*inv(S*Ry+(1-S)*Rz)(Y-Z)+0.5*ln|SRy+(1-S)Rz||Ry|S|Rz|(1-S)	广义Manhanlanobis距离，允许协方差矩阵不同

  具有大尺度差和标准差变量可能会湮没其他瞎吃督查和标准差变量的影响。

• 关联系数法

  二进制矢量x/y	1	0
  1	a	b
  0	c	d

  $$S_x{,}_y=(a+b)/(a+b+c+d)$$

• 概率度量

赋值方法

• 总距离之和最小–最佳解
• 距离度量最小–准最佳解

2.2.2 数据关联的一般步骤

查找数据库中的备选实体

备选实体矫正到观测时间

计算实体航迹的预测位置

门限过滤

计算关联举证

分配准则实现

2.3 状态关联与关联门的应用

2.3.1 位置关联及关联门

• 时间校准后的两个观测点的归一化统计距离为
  $$D^2=A^T{S}^{-1}A$$

  $$A-观测误差矩阵S-误差协方差矩阵$$

  当M=2时，
  $$A=\left[\begin{array}{c}{Z}_x-\hat{X}\\ Z_y-\hat{Y}\end{array}\right]$$

  $$S=\left[\begin{array}{cc}{\sigma }_x^2& 0\\ 0& {\sigma }_y^2\end{array}\right]$$

  $$S^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{{\sigma }_X^2}& 0\\ 0& \frac{1}{{\sigma }_y^2}\end{array}\right]$$

  $$D^2={\left[\begin{array}{c}{Z}_x-\hat{X}\\ Z_y-\hat{Y}\end{array}\right]}^T\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{{\sigma }_X^2}& 0\\ 0& \frac{1}{{\sigma }_y^2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{Z}_x-\hat{X}\\ Z_y-\hat{Y}\end{array}\right]=\frac{(Z_x-\hat{X}{)}^2}{{\sigma }_x^2}+\frac{(Z_y-\hat{Y}{)}^2}{{\sigma }_y^2}$$

  当Zx-X与Zy-Y为正态分布时，D2(x)服从χ2分布
  $$f(x)=\frac{x^{\frac{M}{2}-1}}{2^{\frac{M}{2}}\Gamma (\frac{M}{2})}exp(-\frac{x}{2})$$
  其中M为测量维数。

  落入概率为
  $$P={\int }_0^{{\Gamma }_{\alpha }^2}f(x)dx$$
  拒绝概率为
  $$P={\int }_{{\Gamma }_{\alpha }^2}^{\infty }f(x)dx$$
  根据M及P可以在表中查到对应的χ2。当D2<χ2时，代表关联成功。

• 二维椭圆门门限设置
  $$\frac{(Z_x-X{)}^2}{{\chi }^2{\sigma }_x^2}+\frac{(Z_y-Y{)}^2}{{\chi }^2{\sigma }_y^2}=1$$

• 二维矩形门门限设置
  $$(|Z_x-X|<\chi {\sigma }_x)\cap (|Z_y-Y|<\chi {\sigma }_y)$$

• 三维椭圆门门限设置
  $$\frac{(Z_x-X{)}^2}{{\chi }^2{\sigma }_x^2}+\frac{(Z_y-Y{)}^2}{{\chi }^2{\sigma }_y^2}+\frac{(Z_z-Z{)}^2}{{\chi }^2{\sigma }_z^2}=1$$

• 三维矩形门门限设置
  $$(|Z_x-X|<\chi {\sigma }_x)\cap (|Z_y-Y|<\chi {\sigma }_y)\cap (|Z_z-Z|<\chi {\sigma }_z)$$

2.3.2 位置-速度关联

1. 位置-速度统一关联
   $$\frac{(Z_x-X{)}^2}{{\chi }^2{\sigma }_x^2}+\frac{(Z_y-Y{)}^2}{{\chi }^2{\sigma }_y^2}+\frac{(Z_{vx}-V_x{)}^2}{{\chi }^2{\sigma }_{vx}^2}+\frac{(Z_{vy}-V_y{)}^2}{{\chi }^2{\sigma }_{vy}^2}=1$$

   $$\frac{(Z_x-X{)}^2}{{\chi }^2{\sigma }_x^2}+\frac{(Z_y-Y{)}^2}{{\chi }^2{\sigma }_y^2}+\frac{(Z_z-Z{)}^2}{{\chi }^2{\sigma }_z^2}+\frac{(Z_{vx}-V_x{)}^2}{{\chi }^2{\sigma }_{vx}^2}+\frac{(Z_{vy}-V_y{)}^2}{{\chi }^2{\sigma }_{vy}^2}+\frac{(Z_{vz}-V_z{)}^2}{{\chi }^2{\sigma }_{vz}^2}=1$$

2. 位置-速度分别关联

   先进行位置关联，成功后，进行速度关联，两个都成功则表明关联成功。

   可以减小由于M的增大带来的χ2的增大，导致波门过大。

2.3.3 编批目标关联

主要用于编队飞行的目标群，距离和方位靠的很近，很难分辨，采用编批关联，根据目标大小确定关联门的尺寸。

2.4 关联门的选择

• 关联在极坐标进行时，一开始选用环形波门，因为方向不定，确定方向后选择扇形波门。
• 初始时波门一般为较大的环形波门，非机动目标，采用小波门，机动目标采用大波门。目标丢失后，自动扩大波门再次捕获。
• 目标的机动性能在跟踪过程中是有反应的，比如滤波器残差。

飞机在做航向飞行时，偏离航向的最大角速度为
$${\psi }_{max}=57.3\frac{g\sqrt{n^2-1}}{V}$$

$$g=9.81m/s^2,重力加速度$$

$$V-飞机运动速度$$

$$n——飞机过载数，水平匀速直线飞行时，n=1，对于有人驾驶的飞机来说，n_{max}=4，当V=300m/s时，{\psi }_{max}=7.26^{°}/s。民用飞机的最大转弯速度为3°/s。此时需要计算匀速直线运动与转弯产生的最大距离差，为2.48Km。$$

2.5 各种数据关联方法

2.5.1 最邻近数据关联（NNDA）

使用与稀疏目标环境的目标跟踪。

优点：计算量少

缺点：目标密度较大时，容易跟错目标

根据统计平方距离确定最近点
$$d_{i,j}^2=(Z-\hat{X})S_{i,j}^{-1}(Z-\hat{X}{)}^T$$
此方法为最大似然意义下最佳的。假定最大似然函数如下：
$$g_{i,j}=\frac{e^{-d_{ij}^2}}{(2\ast \pi {)}^{\frac{M}{2}}\sqrt{|S_{ij}|}}$$

2.5.2 概率数据关联（PDA）

1. 模型
   $$X(k+1)=F\ast X(k)+V(k)$$

   $$Z(k)=H(k)X(k)+W(k)$$

2. 基本原理

计算概率加权系数及其加权和，然后利用它更新目标状态。

杂波空间密度为泊松（Possion）分布时，PDA关联的概率模型为：
$$P_{ij}=\frac{a_{ij}}{a_{i0}+{\sum }_{i=1}^{m_k}{a}_{ij}}i-1,2,....,m_k$$

$$a_{ij}=P_{D}exp\left[-\frac{1}{2}{e}_{ij}(k)S_i^{-1}(k)e_{ij}^T(k)\right]j>0$$

$$a_{i0}=(2\pi {)}^{\frac{M}{2}}\lambda \sqrt{|S_i(k)|}(1-P_D)j=0$$

$$M-测量维数$$

$$P_D--检测概率$$

$$S_i(k)--e_{ij}(k)的协方差矩阵$$

$$\lambda ——泊松分布参量$$

概率数据关联滤波器（PDAF）–概率数据关联+Kalman滤波

Update

• 预测方程
  $$\hat{X}(k/k-1)=F(k-1)\hat{X}(k-1/k-1)$$

• 预测协方差矩阵
  $$P(k/k-1)=FP(k-1/k-1)F^T+Q(k-1)$$

Predict

• 预测新息向量
  $$V(k)=z(k)-\hat{Z}(k/k-1)$$

  $$\hat{Z}(k/k-1)=H(k)\hat{X}(k/k-1)$$

• kalman增益矩阵
  $$K(k)=P(k/k-1)H(k{)}^{T}S(k{)}^{-1}$$

  $$S(k)=H(k)P(k/k-1)H(k{)}^T+R(k)$$

• kalman滤波方程
  $$\hat{X}(k/k)=\hat{X}(k/k-1)+K(k)V(k)$$

  $$V(k)=\sum _{i=1}^{m_k}{P}_i(k)Vi(k)$$

  $$V(k)称为等效新息向量，是所有落入关联门内的新息向量的加权和。$$

• 滤波协方差矩阵
  $$P(k/k)=P_{i0}P(k/k-1)-(1-P_{i0})[1-K(k)H(k)]P^O(k/k-1)+P(k)$$

  $$P^O(k/k)=P(k/k-1)-K(k)S(k)K(k{)}^T$$

  简化可得
  $$P(k/k)=P(k/k-1)-[I-P_{i}0]K(k)S(k)K(k{)}^T+P(k)$$

  $$P(k)=K(k)\left[\sum _{i=1}^{m_k}{P}_i(k)V_i(k)V_i(k{)}^T-V(k)V(k)T\right]K(k{)}^T反应了所有落入关联们内的点迹的响应信息V_i(k)的响应程序$$

  PDA可适用于多目标环境中，但多目标徐处于稀疏的环境才有效。

2.5.3 联合概率数据关联（JPDA）

1. 模型
   $$X(k+1)=F\ast X(k)+V(k)$$

   $$Z(k)=H(k)X(k)+W(k)$$

2. 关联区的定义及有效矩阵的建立

（1）有效关联矩阵

目标\轨迹	t0	t1	t2	t3
z1	1	1	0	0
z2	1	1	1	0
z3	1	0	1	0
z4	1	0	0	1

• t0表示空目标，每个测量量都置1，表示每个测量都有可能来自于噪声
• 其他位置置1表示测量量在轨迹的波门内。

（2）联合关联事件和联合关联概率

（3）联合关联滤波器

Update

• 预测方程
  $$\hat{X}(k/k-1)=F(k-1)\hat{X}(k-1/k-1)$$

• 预测协方差矩阵
  $$P(k/k-1)=FP(k-1/k-1)F^T+Q(k-1)$$

Predict

• 预测新息向量
  $$V(k)=z(k)-\hat{Z}(k/k-1)$$

  $$\hat{Z}(k/k-1)=H(k)\hat{X}(k/k-1)$$

• kalman增益矩阵
  $$K(k)=P(k/k-1)H(k{)}^{T}S(k{)}^{-1}$$

  $$S(k)=H(k)P(k/k-1)H(k{)}^T+R(k)$$

• 根据有效回波形成有效矩阵
  wij={1观测值在波门内0观测值不在波门内} w_{ij}=\{ 1 \quad 观测值在波门内 \\ 0 \quad 观测值不在波门内\} wij​={1观测值在波门内0观测值不在波门内}

• 由有效矩阵生成可行联合事件

• 计算可行联合事件概率P
  P{θ/Zk}=1cP{Z(k)/θ,Zk−1}P{θ} P\{\theta/Z^k\}=\frac{1}{c}P\{Z(k)/\theta,Z^{k-1}\}P\{\theta\} P{θ/Zk}=c1​P{Z(k)/θ,Zk−1}P{θ}
  Possion分布：
  P{θ/Zk}=λΦcΠj=1mk[NtjZj(k)]τjΠt=1T(PDt)δt(1−PDt)1−δt P\{\theta/Z^k\}=\frac{\lambda^\Phi}{c}\Pi_{j=1}^{m_k}[N_{tj}Z_j(k)]^{\tau_j}\Pi_{t=1}^{T} (P_D^t)^{\delta_t}(1-P_D^t)^{1-\delta_t} P{θ/Zk}=cλΦ​Πj=1mk​​[Ntj​Zj​(k)]τj​Πt=1T​(PDt​)δt​(1−PDt​)1−δt​

  均匀分布的杂波模型：
  P{θ/Zk}=1cΦ!vΦΠj=1mk[NtjZj(k)]τjΠt=1T(PDt)δt(1−PDt)1−δt P\{\theta/Z^k\}=\frac{1}{c}\frac{\Phi!}{v^\Phi}\Pi_{j=1}^{m_k}[N_{tj}Z_j(k)]^{\tau_j}\Pi_{t=1}^{T} (P_D^t)^{\delta_t}(1-P_D^t)^{1-\delta_t} P{θ/Zk}=c1​vΦΦ!​Πj=1mk​​[Ntj​Zj​(k)]τj​Πt=1T​(PDt​)δt​(1−PDt​)1−δt​
  其中
  $$[N_{tj}{Z}_j(k)]=N[Z_j(k);Z_j^t(k/k-1),S_j^t(k)]$$

• 计算关联概率
  βjt=∑θP{θ/Zk}w^jt(θ) \beta _{jt}=\sum_\theta P\{\theta/Z^k\}\hat w_jt(\theta) βjt​=θ∑​P{θ/Zk}w^j​t(θ)

• kalman滤波方程
  $$\hat{X}(k/k)=\hat{X}(k/k-1)+K(k)V(k)$$

  $$V(k)=\sum _{i=1}^{m_k}{\beta }_{jt}Vi(k)$$

  $$V(k)称为等效新息向量，是所有落入关联门内的新息向量的加权和。$$

• 滤波协方差矩阵
  $$P(k/k)=P(k/k-1{)}^t-(1-{\beta }_{0t})K(k)S(k)[K(k){]}^T+K(k{)}^T[\sum _j{\beta }_j^t{V}_j^t(k)[V_j^t(k){]}^T-V^t(k)[V^t(k){]}^T[K^t(k){]}^T]$$

  $$K(k{)}^t=P(k/k-1{)}^{t}H(k{)}^t[S(k){]}^{-1}$$

2.5.4 交互多模型法（IMM）

特别适用于机动目标。拥有多个运动模型，及对应于多个运动模型的噪声矩阵

（1）混合概率计算
uk−1/k−1i/j=P{Mk−1=Mi/Mk=Mj,Zk1}=1CˉjP{Mk=Mj/Mk−1=Mi,Zk−1}P{Mk−1=Mi/Zk−1}=1Cˉjpijuk−1i u_{k-1/k-1}^{i/j}=P\{M_{k-1}=M_i/M_k=M_j,Z_{k_1}\} \\=\frac{1}{\bar C_j}P\{M_k=M_j/M_{k-1}=M_i,Z_{k-1}\}P\{M_k-1=M_i/Z_{k-1}\}\\=\frac{1}{\bar C_j}p_{ij}u_{k-1}^{i} uk−1/k−1i/j​=P{Mk−1​=Mi​/Mk​=Mj​,Zk1​​}=Cˉj​1​P{Mk​=Mj​/Mk−1​=Mi​,Zk−1​}P{Mk​−1=Mi​/Zk−1​}=Cˉj​1​pij​uk−1i​

$${\bar{C}}_j=\sum _{i=1}^r{p}_{ij}{u}_{k-1}^i$$

（2）交互/混合计算
x^k−1/k−10j=∑i=1rx^k−1/k−1iuk−1/k−1i/jpk−1/k−10j=∑i=1ruk−1/k−1i/j{Pk−1/k−1i+[x^k−1/k−1i−x^k−1/k−10j][x^k−1/k−1i−x^k−1/k−10j]T} \hat x_{k-1/k-1}^{0j}=\sum _{i=1}^r\hat x_{k-1/k-1}^iu_{k-1/k-1}^{i/j} \\p_{k-1/k-1}^{0j}=\sum _{i=1}^r u_{k-1/k-1}^{i/j}\{P_{k-1/k-1}^i+[\hat x_{k-1/k-1}^i-\hat x_{k-1/k-1}^{0j}][\hat x_{k-1/k-1}^i-\hat x_{k-1/k-1}^{0j}]^T\} x^k−1/k−10j​=i=1∑r​x^k−1/k−1i​uk−1/k−1i/j​pk−1/k−10j​=i=1∑r​uk−1/k−1i/j​{Pk−1/k−1i​+[x^k−1/k−1i​−x^k−1/k−10j​][x^k−1/k−1i​−x^k−1/k−10j​]T}

（3）模型条件滤波
Λkj=N(Zk;Zk/k−1j,Skj)=12πSkjexp{−12[Zk−Z^k/k−1j]T(skj)−1[Zk−Z^k/k−1j]} \Lambda_k^j=N(Z_k;Z_{k/k-1}^j,S_k^j) \\ = \frac{1}{\sqrt{2\pi S_k^j}exp\{-\frac{1}{2}[Z_k-\hat Z_{k/k-1}^j]^T(s_k^j)^{-1}[Z_k-\hat Z_{k/k-1}^j]\}} Λkj​=N(Zk​;Zk/k−1j​,Skj​)=2πSkj​​exp{−21​[Zk​−Z^k/k−1j​]T(skj​)−1[Zk​−Z^k/k−1j​]}1​

（4）模型更新概率的计算
ukj=P{Mk=Mj/Zk}=1cΛkj∑i=1rP{Mk=Mj/Mk−1=Mi,Zk−1}P{Mk−1=Mi/Zk−1}=1cΛkj∑i=1rpijuk−1i=1cΛkjCˉj其中c=∑j=1rΛkjCˉj u_k^j=P\{M_k=M_j/Z_k\}\\=\frac{1}{c}\Lambda_k^j\sum _{i=1}^rP\{M_k=M_j/M_{k-1}=M_i,Z_{k-1}\}P\{M_{k-1}=M_i/Z_{k-1}\} \\=\frac{1}{c}\Lambda _k^j\sum _{i=1}^rp_{ij}u_{k-1}^i \\= \frac{1}{c}\Lambda_k^j \bar C_j \\其中 c=\sum _{j=1}^r \Lambda_k^j \bar C_j ukj​=P{Mk​=Mj​/Zk​}=c1​Λkj​i=1∑r​P{Mk​=Mj​/Mk−1​=Mi​,Zk−1​}P{Mk−1​=Mi​/Zk−1​}=c1​Λkj​i=1∑r​pij​uk−1i​=c1​Λkj​Cˉj​其中c=j=1∑r​Λkj​Cˉj​

（5）状态估计和协方差组合
x^k−1/k−10j=∑i=1rx^k−1/k−1iuk−1/k−1i/juk−1/k−1i/j=1Cˉjpijuk−1iCˉj=∑i=1rpijuk−1ipk−1/k−10j=∑i=1ruk−1/k−1i/j{Pk−1/k−1i+[x^k−1/k−1i−x^k−1/k−10j][x^k−1/k−1i−x^k−1/k−10j]T} \hat x_{k-1/k-1}^{0j}=\sum _{i=1}^r\hat x_{k-1/k-1}^iu_{k-1/k-1}^{i/j} \\ u_{k-1/k-1}^{i/j}=\frac{1}{\bar C_j}p_{ij}u_{k-1}^i \\ \bar C_j=\sum_{i=1}^rp_{ij}u_{k-1}^i \\p_{k-1/k-1}^{0j}=\sum _{i=1}^r u_{k-1/k-1}^{i/j}\{P_{k-1/k-1}^{i}+[\hat x_{k-1/k-1}^i-\hat x_{k-1/k-1}^{0j}][\hat x_{k-1/k-1}^i-\hat x_{k-1/k-1}^{0j}]^T\} x^k−1/k−10j​=i=1∑r​x^k−1/k−1i​uk−1/k−1i/j​uk−1/k−1i/j​=Cˉj​1​pij​uk−1i​Cˉj​=i=1∑r​pij​uk−1i​pk−1/k−10j​=i=1∑r​uk−1/k−1i/j​{Pk−1/k−1i​+[x^k−1/k−1i​−x^k−1/k−10j​][x^k−1/k−1i​−x^k−1/k−10j​]T}
两个JPDAF模型的IMM问题

Update

• 预测方程
  $$\hat{X}(k/k-1)=F(k-1)\hat{X}(k-1/k-1)$$

• 预测协方差矩阵
  $$P(k/k-1)=FP(k-1/k-1)F^T+G(k-1)Q(k-1)G(k-1{)}^T$$

Predict

• 预测新息向量
  $$V(k)=z(k)-\hat{Z}(k/k-1)$$

  $$\begin{gathered} \hat{Z}(k/k-1)=H(k)\hat{X}(k/k-1) \\ 已测量估计为中心设置关联门，落入概率为P_G \\ (Z_k-{\hat{Z}}_{k/k-1}^j{)}^T(S_k^j{)}^{-1}(Z_k-{\hat{Z}}_{k/k-1}^j)\le g_j^2 \\ {S}_k^j=H_k^j{p}_{k/k-1}^j(H_k^j{)}^T+R_k^j \\ {g}_j^2是关联门的门限。 \\ 对于模型j，关联们的体积为：v_k^j=d_{n_j}{g}^M\sqrt{det(S_k^j)} \end{gathered}$$

• 模型条件概率更新
  βk0/j=p{θ/Mkj,Zlk}βki/j=p{θi/Mkj,Zlk} \beta _k^{0/j}=p\{ \theta/M_k^j,Z_l^k\} \\ \beta _k^{i/j}=p\{ \theta_i/M_k^j,Z_l^k\} βk0/j​=p{θ/Mkj​,Zlk​}βki/j​=p{θi​/Mkj​,Zlk​}

• 模型似然函数计算
  Λkj=N(Zk,Z^k/k−1j,Skj)=12πSkjexp{−12[Zk,Z^k/k−1j]T(Skj)−1[Zk−Z^k/k−1j]} \Lambda _k^j=N(Z_k,\hat Z_{k/k-1}^j,S_k^j)=\frac{1}{\sqrt{2\pi S_k^j}}exp\{-\frac{1}{2}[Z_k,\hat Z_{k/k-1}^j]^T(S_k^j)^{-1}[Z_k-\hat Z_{k/k-1}^j]\} Λkj​=N(Zk​,Z^k/k−1j​,Skj​)=2πSkj​​1​exp{−21​[Zk​,Z^k/k−1j​]T(Skj​)−1[Zk​−Z^k/k−1j​]}

• 模型概率更新
  ukj=PMk=Mj/Zk=1cΛkj∑i=1rP{Mk=Mj/Mk−1=Mi,Zk−1}P{Mk−1=Mi/Zk−1}=1cΛkj∑i=1rPijuk−1i=1cΛkjCˉjc=∑j=1rΛkjCˉj u_k^j=P{M_k=M_j/Z_k} \\ =\frac{1}{c}\Lambda_k^j\sum_{i=1}^{r}P\{M_k=M_j/M_{k-1}=M_i,Z_k-1\}P\{M_{k-1}=M_i/Z_{k-1}\} \\ =\frac{1}{c}\Lambda_k^j\sum_{i=1}^rP_{ij}u_{k-1}^i=\frac{1}{c}\Lambda_k^j\bar C_j \\ c=\sum_{j=1}^r\Lambda_k^j\bar C_j ukj​=PMk​=Mj​/Zk​=c1​Λkj​i=1∑r​P{Mk​=Mj​/Mk−1​=Mi​,Zk​−1}P{Mk−1​=Mi​/Zk−1​}=c1​Λkj​i=1∑r​Pij​uk−1i​=c1​Λkj​Cˉj​c=j=1∑r​Λkj​Cˉj​

• 融合后的状态估计

$$\begin{gathered} {\hat{x}}_{k/k}=\sum _{j=1}^r{\hat{x}}_{k/k}^j{u}_k^j \\ {P}_{k/k}=\sum _j^r{P}_{k/k}^j+[{\hat{x}}_{k/k}^j-{\hat{x}}_{k/k}][{\hat{x}}_{k/k}^j-{\hat{x}}_{k/k}{]}^T \end{gathered}$$

2.5.5 全局最邻近数据关联-JVC

$$\begin{gathered} {\hat{Z}}_{k+1/k}=H_{k+1}^T{\hat{x}}_{k+1/k} \\ {\hat{x}}_{k+1/k}=E[x_{k+1}/Z_k] \\ {S}_{k+1/k}=H_{k+1}^T{P}_{k+1/k}{H}_{k+1}+R_{k+1} \\ {P}_{k+1/k}=E[(x_{k+1}-{\hat{x}}_{k+1/k})(x_{k+1}-{\hat{x}}_{k+1/k}{)}^T/Z_k] \\ {d}_{ij}^2=(V_{k+1}^{ij}{)}^T(S_{k+1}^i{)}^{-1}(V_{k+1}^{ij}) \\ {V}_{k+1}^{ij}=Z_{k+1}^j-{\hat{Z}}_{k+1/k}^i服从{\chi }^2分布 \\ {C}_{ij}=P{\chi }^2>d_{ij}^2 \\ min\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{C}_{ij}{x}_{ij} \\ \sum _{i=1}^n{x}_{ij}=1,\sum _{j=1}^n{x}_{ij}=1,0\le x_{i}j\le 1，(foreachi,j) \end{gathered}$$

2.5.6 简易联合概率数据关联(CJPDA)

轨迹与观测关联概率如下Pij(k)=Cij(k)Ai(k)+Bi(k)−Gij(k)+CGij(k)是一个高斯似然函数成比例的量，表示轨迹与观测的接近程度Gij(k)=1∣Sij(k)∣1/2exp{−12Vij(k)TSij(k)−1Vij(k)}Ai−∑jGij−轨迹i的所有观测j的高斯似然函数Gij之和；Bj=∑iGij−观测j的所有轨迹i的高斯似然函数Gij之和；Sij(k)−残差的协方差矩阵；C−一个小正常数，有时置0效果更好 轨迹与观测关联概率如下\\ P_{ij}(k)=\frac{C_{ij}(k)}{A_i(k)+B_i(k)-G_{ij}(k)+C} \\ G_{ij}(k)是一个高斯似然函数成比例的量，表示轨迹与观测的接近程度\\ G_{ij}(k)=\frac{1}{|S_{ij}(k)|^{1/2}}exp\{-\frac{1}{2}V_{ij}(k)^TS_{ij}(k)^{-1}V_{ij}(k)\} \\ A_i -\sum _j G_{ij}-轨迹i的所有观测j的高斯似然函数G_{ij}之和； \\ B_j=\sum _i G_{ij}-观测j的所有轨迹i的高斯似然函数G_{ij}之和； \\ S_{ij}(k) - 残差的协方差矩阵；\\ C-一个小正常数，有时置0效果更好 轨迹与观测关联概率如下Pij​(k)=Ai​(k)+Bi​(k)−Gij​(k)+CCij​(k)​Gij​(k)是一个高斯似然函数成比例的量，表示轨迹与观测的接近程度Gij​(k)=∣Sij​(k)∣1/21​exp{−21​Vij​(k)TSij​(k)−1Vij​(k)}Ai​−j∑​Gij​−轨迹i的所有观测j的高斯似然函数Gij​之和；Bj​=i∑​Gij​−观测j的所有轨迹i的高斯似然函数Gij​之和；Sij​(k)−残差的协方差矩阵；C−一个小正常数，有时置0效果更好

这种方法：

• 只有一个轨迹关联们中的观测加权较大
• 有若干个轨迹关联门交叠的区域，加权较小
• 若干个轨迹随着观测j扩展，权重会由于Bj的增加减小
• 若干个轨迹有若干个观测，权重将随着Ai的增加而减小。

$$\begin{gathered} (1)状态估计 \\ {\hat{x}}_i(k)={\hat{x}}_i(k/k-1)+K_i(k)V_i(k) \\ {V}_i(k)=\sum _{j=1}^{m_k}{P}_{ij}(k)V_{ij}(k) \\ {V}_{ij}(k)=Z(k)-H\hat{X}(k/k-1) \\ (2)状态估计矢量的误差协方差 \\ P(k/k)=P_{i0}(k)P(k/k-1)+[1-P_{i0}(k)][I-K_i(k)H_i(k)]P(k/k-1)+P(k) \\ P(k)=K(k)[\sum _{i=1}^{m_k}{P}_i(k)V_i(k)V_i(k{)}^T-V(k)V(k{)}^T]K(k{)}^T \\ (3)预测状态误差的协方差 \\ P(k/k-1)=F(k/k-1)P(k-1/k-1)F(k-1{)}^T+Q(k-1) \end{gathered}$$

2.5.7 模糊数据关联(FDA)—以模糊均值聚类（FCM）算法为基础

目标函数
$$\begin{gathered} J_m(U,V)=\sum _{k=1}^n\sum _{i=1}^c(u_{ij}{)}^m(d_{ij}{)}^2 \\ {u}_{ij}\in [0,1]1\le i\le c，1\le k\le n \\ 0<\sum _{k=1}^n{u}_{ik}<n \\ {d}_{ik}=||x_k-v_i|| \\ {v}_i类i的中心点 \\ {u}_{ij}模糊类i中的数据点k的隶属度 \end{gathered}$$
是隶属度M次方对误差平方进行加权的和。
$$\begin{gathered} 最佳隶属度u_{ij}=\frac{1}{[{\sum }_{j=1}^c({\frac{d_{ik}}{d_{jk}}}^{2/(m-1)})]} \\ 最佳模糊聚类中心vi=\frac{{\sum }_{k=1}^n(u_{ik}^m{x}_k)}{{\sum }_{k=1}^n(u_{ik}{)}^m} \\ c-目标个数 \\ n-观测总数 \end{gathered}$$
目的是在每个轨迹的预测值vi一直的情况下，利用FCM 吧每个观测Xk跟c个可能的轨迹之一联系起来。

1. 通过V，利用FCM算法求分割矩阵U
   $$d_{ik}=\sqrt{(x_k-v_i{)}^T(x_k-vi)}$$

2. 对最大的隶属值尽心搜索，将观测赋给航迹

3. 由赋值矩阵U中小区上述观测轨迹，降维矩阵

4. 对其余矩阵重复2，3，直到c个观测均赋给c个当前航迹

5. 获得航迹观测赋值结果。

此外还有： 准最佳联合概率数据关联（SJPDA）、 最邻近联合概率数据关联（NNJPDA）、 "全邻"最优滤波法、多假设法（MHT）、轨迹分裂法、 最大似然数据关联（MLDA）