最小生成树Kruskal算法

最小生成树（MST）是图论当中一个重要的算法，在实际生活中具有广泛的应用。有多种算法可以解决最小生成树问题，这里介绍Kruskal算法

问题描述

​在一给定的无向图G = (V, E) 中，(u, v) 代表连接顶点 u 与顶点 v 的边，而 w(u, v) 代表此边的权重，若存在 T 为 E 的子集且为无循环图，使得的 w(T) 最小，则此 T 为 G 的最小生成树。
最小生成树其实是最小权重生成树的简称。

分析设计

Kruskal算法是解决最小生成树问题的经典算法之一。
解决最小生成树最常用的两种算法，一种是Kruskal算法，一种是Prim算法。

• Prim算法详见博客https://blog.csdn.net/weixin_42182525/article/details/100016792

下面介绍Kruskal算法。

其主要思想是：

1. 从边出发；将图中所有边按权值从小到大排序，按顺序取边；
2. 从最小权值边开始，判断边的两个顶点是否在MST中，这里存在三种情况：
   (1)两个顶点都不在MST中，将两个顶点加入到MST中；
   (2)两个顶点其中一个在MST中，另一个不在MST中，同样，把这条边也加入到MST中；
   (3)这种情况也是最为复杂的一种，两个顶点都在MST中：经过了上面两种情况的连线MST后，可能会出现MST中的边不相连的情况（如图）
   
   这时，需要新加入MST的一条边又可以分为两种情况，若两个顶点分属不同的连通子图（连通子MST），则可以直接将邻接边加入到MST中；反之，若两个顶点都在同一子MST中，则可能造成回路，而生成树不能有回路，因此我们要舍弃；

例

如图所示

根据第1、2步的要求，我们找到当前不在MST的边中，权值最小的：v₂v₄ = 3，此时我们就需要判断是否能将v₂v₄放入MST中。很显然，不能，这样就会产生回路
，因为v₂和v₄同属于同一个子MST，所以我们选择放弃这条边。
我们继续考虑下一步，下一条满足条件的边是v₄v₇ = 4。这时我们就可以将这条边放入MST中了，因为v₄和v₇属于不同的子MST，不会产生回路。

3. 重复第二步，直至所有顶点都在MST中，即最小生成树构造完成。

gif制作来源于VisuAlgo https://visualgo.net/zh/mst?slide=1

以上就是Kruskal算法的基本思路了，接下来就是具体实现。

1. 我们这里不再采用二维数组邻接矩阵的形式储存图（一开始我仍然采用该数据结构，可后面发现在这里用处不大，若有其他函数，自行更改）。那我们采用什么数据结构呢？
   我们发现，在Kruskal中边起到了关键作用，因此我们先构造一个把保存边的结构体，保存边的两个顶点，边的权值。这样我们就可以采用一维数组的形式存储图了。
   我们还可以将数据结构进一步优化。
   我们发现，我们需要对边进行排序，然后每条边按顺序取，且每条边只用到了一次………………优先队列 （这里不再讲述优先队列的用法、定义）简而言之，优先队列就是可以自动排序的队列，在这里就满足了我们的需求。
   （有人可能会说用数组+排序也是可以的。当然可以，而且从时间复杂度来看，两者没什么区别。我使用优先队列图个方便。）
2. Kruskal中的难点。在上面的分析中，第2步中前两种情况都很好判断，最后一种情况，判断两个顶点是否在同一子MST中，是Kruskal的难点也是关键部分。
   在这里我们用到了一个数据结构：并查集：当两个集合相互合并时，判断两个集合是否为同一个。可以很好的满足我们的需求：判断两个顶点是否输入同一个集合。
   并查集的写法在这里我们不在说明。详细写法参考：https://blog.csdn.net/niushuai666/article/details/6662911

源代码

#include<iostream>
#include <vector>
#include <queue>

using namespace std;


//边结构
typedef struct Edge {
	int vexa;
	int vexb;
	int value;
}Edge;
vector<Edge> Tree;	//最小生成树

//运算符重载，优先队列升序排列
typedef struct temp {
	bool operator()(Edge a, Edge b) {
		return a.value > b.value;
	}
};
priority_queue < Edge, vector<Edge>, temp> q;	//优先队列排序边

//并查集存放上一级结点
vector<int> pre;

//并查集查找根节点
int unionsearch(int root){ 
	int son, tmp;
	son = root;
	while (root != pre[root]) //寻找根结点
		root = pre[root];
	while (son != root){ //路径压缩
		tmp = pre[son];
		pre[son] = root;
		son = tmp;
	}
	return root;
}

//判断两个点是否在同一并查集
bool join(int root1, int root2){ //判断是否连通，不连通就合并
	int x, y;
	x = unionsearch(root1);
	y = unionsearch(root2);
	if (x == y) //如果连通返回true
		return true;
	else {		//如果不连通，就把它们所在的连通分支合并
		pre[x] = y;
		return false;
	}
}


//算法
int Kruskal() {
	int sum = 0;	//总权值
	while (!q.empty()) {
		Edge edge = q.top();
		int a = edge.vexa;
		int b = edge.vexb;
		if (!join(a, b)) {	//a,b顶点 不在同一并查集（不在同一棵树），则合并
			Tree.push_back(edge);	//加入到最小生成树中
			sum += edge.value;
		}
		q.pop();
	}
	return sum;
}

int main() {
	int vexNum, edgeNum;
	cout << "输入边数：";
	cin >> vexNum >> edgeNum;

	cout << "输入邻接边和权值a b w：" << endl;
	int a, b, w;
	for (int i = 0; i < edgeNum; i++) {
		cin >> a >> b >> w;
		Edge edge;	//将边信息保存并放入优先队列中
		edge.vexa = a;
		edge.vexb = b;
		edge.value = w;
		q.push(edge);	//入队
	}

	//初始化并查集
	pre.resize(vexNum + 1);
	for (int i = 1; i <= vexNum; i++)
		pre[i] = i;


	int sum = Kruskal();	//Kruskal算法

	cout << endl << "最小生成树组成：" << endl;
	for (unsigned i = 0; i < Tree.size(); i++) {
		cout << Tree[i].vexa << " -> " << Tree[i].vexb << " = " << Tree[i].value << endl;
	}
	cout << "总权值为：" << sum << endl;

	system("pause");
	return 0;
}

/*
1 2 2
1 3 4
1 4 1
2 4 3
2 5 10
3 4 2
3 6 5
4 5 7
4 6 8
4 7 4
5 7 6
6 7 1
*/

运行结果