向量数据库中的常见搜索方法

1. 余弦相似度

定义

衡量两个向量在方向上的相似程度，计算向量夹角的余弦值。

公式

cos(θ) = (A · B) / (||A|| × ||B||)

其中：
- A · B 是向量点积
- ||A|| 是向量 A 的模（长度）
- θ 是两个向量的夹角

特点

• 范围：[-1, 1]
  • 1：完全同向（最相似）
  • 0：正交（不相关）
  • -1：完全相反（最不相似）
• 忽略向量长度，只关注方向
• 对向量缩放不敏感

适用场景

# 文本相似度（词向量、句子嵌入）
# 推荐系统（用户偏好、物品特征）
# 语义搜索

Python 示例

import numpy as np

def cosine_similarity(a, b):
    dot_product = np.dot(a, b)
    norm_a = np.linalg.norm(a)
    norm_b = np.linalg.norm(b)
    return dot_product / (norm_a * norm_b)

# 示例
vec1 = np.array([1, 2, 3])
vec2 = np.array([2, 4, 6])  # vec1 的 2 倍
print(cosine_similarity(vec1, vec2))  # 输出: 1.0 (方向相同)

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2. 欧几里得距离

定义

衡量两个向量在多维空间中的直线距离（最常用的距离度量）。

公式

d(A, B) = √Σ(ai - bi)²

即：各维度差值的平方和的平方根

特点

• 范围：[0, +∞)
  • 0：完全相同
  • 越大：差异越大
• 考虑向量长度和方向
• 对向量缩放敏感

适用场景

# 图像相似度（像素特征）
# 地理位置计算
# 聚类算法（K-Means）

Python 示例

import numpy as np

def euclidean_distance(a, b):
    return np.sqrt(np.sum((a - b) ** 2))

# 示例
vec1 = np.array([1, 2, 3])
vec2 = np.array([4, 5, 6])
print(euclidean_distance(vec1, vec2))  # 输出: 5.196...

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3. 曼哈顿距离

定义

衡量两个向量在多维空间中沿坐标轴方向的距离总和（城市街区距离）。

公式

d(A, B) = Σ|ai - bi|

即：各维度差值的绝对值之和

特点

• 范围：[0, +∞)
  • 0：完全相同
  • 越大：差异越大
• 计算简单，无需平方和开方
• 对异常值更鲁棒

适用场景

# 高维稀疏数据
# 网格路径规划
# 推荐系统（离散特征）

Python 示例

import numpy as np

def manhattan_distance(a, b):
    return np.sum(np.abs(a - b))

# 示例
vec1 = np.array([1, 2, 3])
vec2 = np.array([4, 5, 6])
print(manhattan_distance(vec1, vec2))  # 输出: 9

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三种方法的对比

特性	余弦相似度	欧几里得距离	曼哈顿距离
度量类型	相似度（越大越相似）	距离（越小越相似）	距离（越小越相似）
取值范围	[-1, 1]	[0, +∞)	[0, +∞)
是否考虑长度	❌ 否	✅ 是	✅ 是
计算复杂度	O(n)	O(n)	O(n)
对缩放敏感	❌ 否	✅ 是	✅ 是
对异常值敏感	中等	高	低
几何意义	夹角余弦	直线距离	街区距离

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几何直观理解

二维空间示例：

    B (4, 4)
    │
    │ ╲
    │  ╲ 欧几里得距离 = √(3² + 3²) = 4.24
    │   ╲
    │    ╲
    │_____╲
A (1, 1)  C (4, 1)

曼哈顿距离 = |4-1| + |4-1| = 3 + 3 = 6

余弦相似度：
向量 OA = [1, 1], 向量 OB = [4, 4]
cos(θ) = (1×4 + 1×4) / (√2 × √32) = 8 / 8 = 1.0

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实际应用选择指南

选择余弦相似度：

✅ 文本相似度（TF-IDF、Word2Vec、BERT）
✅ 推荐系统（用户偏好向量）
✅ 语义搜索
✅ 向量长度不重要的情况

选择欧几里得距离：

✅ 图像相似度
✅ 地理位置计算
✅ 聚类分析
✅ 向量长度重要的情况

选择曼哈顿距离：

✅ 高维稀疏数据
✅ 离散特征
✅ 需要快速计算的场景
✅ 对异常值敏感的场景

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向量数据库中的实际使用

# Milvus 向量数据库示例
from pymilvus import Collection, FieldSchema, CollectionSchema, DataType

# 定义索引时指定距离类型
index_params = {
    "metric_type": "COSINE",  # 或 "L2" (欧几里得), "IP" (内积)
    "index_type": "HNSW",
    "params": {"M": 16, "efConstruction": 256}
}

# 搜索时使用相同的距离类型
results = collection.search(
    data=[query_vector],
    anns_field="embedding",
    param={"metric_type": "COSINE", "params": {"ef": 64}},
    limit=10
)

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关键要点

1. 余弦相似度：关注方向，适合文本和推荐
2. 欧几里得距离：关注绝对距离，适合图像和聚类
3. 曼哈顿距离：计算简单，适合高维稀疏数据
4. 选择依据：根据数据特性和业务需求选择合适的度量方式
5. 一致性：索引和搜索必须使用相同的距离度量