目录

一.马尔可夫模型

模型描述

二 隐马尔可夫模型

例题：用 HMM 生成天气观察序列

模型参数

生成观察序列的过程（T=3 天）

---

一.马尔可夫模型

模型描述

有一类很重要的随机变化过程，比如一个系统有很多种可能的“状态”（就像开关有“开”和“关”两种状态，或者天气有“晴”“雨”“阴”等状态），这些状态会随着时间变化，从一个状态转移到另一个状态。

状态：可以想象成系统的“身份”或“模式”，比如“状态1”“状态2”……“状态N”（N是状态总数）。

状态变量：用q_t表示“在时间t时系统处于什么状态”，比如 q_1是“第1时刻的状态”，q_2是“第2时刻的状态”。

转移概率：重点是，当前时刻的状态概率取决于之前所有时刻的状态。例如，明天的天气（t时刻状态）可能受前天、大前天……一直到昨天（前t-1个时刻状态）的影响。公式表示：在已知过去所有时刻状态的情况下，当前时刻t处于状态S_j的概率**。 举个简单例子： 如果系统是“交通信号灯”，状态有“红”“黄”“绿”三种（N=3）。假设现在想知道“第3秒时信号灯是绿色”（q_3=绿）的概率，这需要看第1秒和第2秒的状态（比如第1秒是红，第2秒是黄），因为信号灯的变化规则可能依赖于之前的状态序列。 这种随机过程中，当前状态的概率与历史所有状态都相关，历史状态的信息会影响现在的结果。

意思就是现在的状态只和前面一个的状态有关

意思就是这个和前一个有关的概率不会因为时间而改变，因此是一个常数，只和前面一个是什么有关系。通过 “不动性假设”，我们把状态转移的规律从 “随时间变化的动态系统” 简化为 “固定概率的静态表格”，大大降低了建模和计算的复杂度。
这就像用一个固定的 “概率字典” 来描述状态转移，而不需要考虑时间带来的额外变量，让问题变得更易处理（比如可以用矩阵运算来分析长期趋势）。

1. 概率不能是负数；
2. 从一个状态出发的所有可能转移的概率加起来必须是 100%。
   这两条规则确保了模型在数学上合理、现实中可解释，就像一个 “公平的骰子”，所有面的概率之和永远是 1。

 

二 隐马尔可夫模型

该模型是一个双重随机过程,我们不知道具体的状态序列,只知道状态转移的概率,即模型的状态转换过程是不可观察的(隐蔽的), 而可观察事件的随机过程是隐蔽状态转换过程的随机函数｡

 

例题：用 HMM 生成天气观察序列

模型参数

• 状态数 N=2：S1（晴天）、S2（雨天）
• 观察符号数 M=2：O1（晾晒）、O2（带伞）
• 状态转移矩阵 A：A=[a11​ a21 ​​a12​ a22​​]=[0.7 0.4 ​0.3 0.6​]
  • 含义：晴天后保持晴天的概率是 0.7，变雨天的概率是 0.3；雨天后变晴天的概率是 0.4，保持雨天的概率是 0.6。
• 输出概率矩阵 B：B=[b1​(1) b2​(1) ​b1​(2) b2​(2)​]=[0.9 0.2​ 0.1 0.8​]
  • 含义：晴天时，90% 概率晾晒（O1），10% 概率带伞（O2）；雨天时，20% 概率晾晒（O1），80% 概率带伞（O2）。
• 初始状态概率 π：π=(π1​,π2​)=(0.8,0.2)
  • 含义：第一天有 80% 概率是晴天，20% 概率是雨天。

生成观察序列的过程（T=3 天）

• 根据 π：
  • 抛硬币（或随机数）：假设随机选到晴天（S1），则 q1 = S1。

• 根据 B 中 S1 的输出概率：
  • 生成随机数（0-1 之间），假设抽到 0.4（落在 0-0.9 区间），则 O1 = O1（晾晒）。

• 根据 A 中 S1 的转移概率：
  • 随机数假设抽到 0.8（落在 0.7-1 区间），则从 S1 转移到 S2（q2 = S2）。

• 根据 B 中 S2 的输出概率：
  • 随机数假设抽到 0.9（落在 0.2-1 区间），则 O2 = O2（带伞）。

• 根据 A 中 S2 的转移概率：
  • 随机数假设抽到 0.3（落在 0-0.4 区间），则从 S2 转移到 S1（q3 = S1）。