矩阵

是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合 ，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。

基本运算

矩阵的基本运算包括矩阵的加法，减法，数乘，转置，共轭和共轭转置。

加法：

 减法：

数乘：

 矩阵的数。乘满足以下运算律：

 矩阵的加减法和矩阵的数乘合称矩阵的线性运算。

转置：

     

对称矩阵：

如果满足，则矩阵A为对称矩阵

 逆矩阵：

A为n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得：AB = BA = I（单位阵）。记作：

共轭：

共轭转置：

 行列式

 二阶行列式：

 称为二阶行列式，其中称为这个行列式第i行第j列的元素。

二阶行列式是四个数排成两行两列，用一种称为对角线法则计算得出的数，从左上角到右下角上元素相乘，取正号，右上角和左下角上元素相乘，取负号，两个乘积的代数和就是二阶行列式的值。

应用:

利用二阶行列式，我们可以方便的求解上述方程组。
当时，上述方程组的解可以写成：

其中分别是用常数项代替D中的第一、二列而得到的二阶行列式，即

三阶行列式计算：

 

 矩阵组成：

矩阵的秩

矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。通常表示为r(A)，rk(A)或rankA。

如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。

(1) 转置后秩不变

(2)r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵

(3)r(kA)=r(A),k不等于0

(4)r(A)=0 <=> A=0

(5)r(A+B)<=r(A)+r(B)

(6)r(AB)<=min(r(A),r(B))

(7)r(A)+r(B)-n<=r(AB)

求解矩阵的秩

设矩阵A=[3,2,1,1；1,2,-3,2；4,4,-2,3]，求A的秩.(矩阵中同行元素用逗号分隔，过行使用分号。)

 第一种方法是最原始的，利用矩阵的秩的定义，即矩阵所有不等于0的子式中，阶数最大者的阶数，就是矩阵的秩。

列出这个矩阵的所有三阶子式，结果发现它们都等于0，因此3不是它的秩；然后只要列出一个二阶子式，求得这个二阶子式的结果不等于0，就可以确定它的秩是2了。

 因为它们都有相同的行，所以它们都等于0.

又矩阵有二阶子式|3,2；1,2|=4≠0，所以rank A=2. 即矩阵A的秩为2。

第二种方法则必须利用初等变换，原则上要化为除了对角线上的元素可以包含1和0，其它元素都是0的形式。但如果仅要求出矩阵的秩，我们可以把它化为上三角矩阵或下三角矩阵就可以了。

 所以ranA=2。

向量的内积

有两个向量 , 定义它们的数量积（又叫内积、点积）为以下实数：

n维向量的内积定义如下：

其中两个维度相同的向量的内积也可以表示为：

几何定义（只适用于2维和3维空间）：

运算律：

 向量长度

向量的长度就是由向量映射成的实数，可以使用  表示。且根据向量和长度的定义， 应该满足以下性质：

 满足以上条件的向量长度计算公式有好多种。最常用的有以下几种范数:

 

 向量正交

 若两个向量a,b的内积为零，(a,b) = 0,则称向量a与b正交。正交向量相互垂直。

 正交向量组的性质

 规范正交基