文章目录

• 参考资料
• 1. 以车辆重心为中心的单车运动学模型
• • 1.1 参数说明
  • 1.2 几何关系
  • • 1.2.1 偏航角 ψ psi ψ的关系
    • 1.2.1 滑移角 β eta β 的关系
    • 1.2.2 运动学模型
  • 1.3 python 实现
• 2. 以前轮驱动的单车运动学模型
• • 2.1 几何关系
  • 2.2 python实现
• 3. 以后轴中心为车辆中心的单车运动学模型
• • 3.1 几何关系
  • 3.2 python实现
• 4. 阿克曼转向几何

参考资料

1. 自动驾驶中的车辆运动学模型
2. 车辆数学模型
3. 车辆运动学模型
4. 车辆控制-运动学模型(Kinematic Model)
5. 运动学模型及其线性化

模型的用处就是在当前状态给定某控制输入时，预测（估计） 系统未来的状态。控制领域利用模型设计合适的输入，以期控制系统到达目标状态。

1. 以车辆重心为中心的单车运动学模型

1.1 参数说明

一般考虑运动学模型时，将车辆模型简化成单车模型(bicycle model)。

单车模型中：

• 左右轮等效为单个轮子
  左右前轮合并为单个轮子，其中心点为A点，同样后轮等效后的中心点为 B点。

• 转向角
  前后轮的转向角用 δ f delta_f δf和 δ r delta_r δr表示，模型中前后轮都可以转向，对于只有前轮转向的系统，后轮转向角 δ r delta_r δr可以设置为0.

• 重心
  点 C 代表车辆的重心， A 点和 B点到重心的距离分别用 l f l_f lf和 l r l_r lr表示，轴距表示为 L = l f + l r L = l_f + l_r L=lf+lr。

• 速度
  车辆重心的速度用 V V V表示，与车辆纵向轴的夹角为 β eta β，该角度叫做车辆的滑移角。

• 运动描述
  假设车辆平动，车辆运动状态可以用三个坐标量描述： x x x 、 y y y 和 ψ psi ψ。其中 ( x , y ) (x,y) (x,y)代表车辆的位置， ψ psi ψ描述的是航向角（Heading Angle），指车身与X轴的夹角。

• 条件假设
  假设速度矢量 V V V的方向在点 A A A点和 B B B点的方向与转向角的方向相同，换句话说，在A点的速度矢量与车辆纵轴的夹角为 δ f delta_f δf，同样 B B B点的速度矢量与车辆纵轴的夹角为 δ r delta_r δr。也就是说前后轮的滑移角 β eta β都为0。该条件假设成立前提的是车辆速度很低(<5m/s)，此时轮胎产生的横向力很小，可以忽略。

• 轨迹半径
  点 O O O代表车辆的瞬时旋转中心，线段 A O AO AO与 B O BO BO与前后两个转轮方向垂直，他们的交点即为 O O O点，线段 O C OC OC的长度代表车辆的轨迹半径 R R R。

• 航迹角
  车辆重心处的速度垂直于 O C OC OC,车辆速度矢量与车辆纵轴的夹角为 β eta β，车辆的航向角为 ψ psi ψ，则航迹角为 γ = ψ + β gamma = psi + eta γ=ψ+β。

1.2 几何关系

1.2.1 偏航角 ψ psi ψ的关系

如上图所示，在三角形 O C A OCA OCA中，根据正弦定理，有：
sin ( δ f β ) l f = sin ( π 2 δ f ) R (1) ag{1} rac{sin left(delta_{f}-eta ight)}{l_{f}}= rac{sin left( rac{pi}{2}-delta_{f} ight)}{R} lfsin(δfβ)=Rsin(2πδf)(1)

在三角形 O B C OBC OBC中，根据正弦定理，有：
sin ( β δ r ) l r = sin ( π 2 + δ r ) R (2) ag{2} rac{sin left(eta-delta_{r} ight)}{l_{r}}= rac{sin left( rac{pi}{2}+delta_{r} ight)}{R} lrsin(βδr)=Rsin(2π+δr)(2)
展开公式(1)(2)可得:
sin δ f cos β sin β cos δ f l f = cos δ f R (3) ag{3} rac{sin delta_{f} cos eta-sin eta cos delta_{f}}{l_{f}}= rac{cos delta_{f}}{R} lfsinδfcosβsinβcosδf=Rcosδf(3)
sin β cos δ r cos β sin δ r l r = cos δ r R (4) ag{4} rac{sin etacos delta_{r} -cos eta sin delta_{r}}{l_{r}}= rac{cos delta_{r}}{R} lrsinβcosδrcosβsinδr=Rcosδr(4)

等式(3)两边同时乘 l f cos ( δ f ) rac{l_{f}}{cos left(delta_{f} ight)} cos(δf)lf 得
tan ( δ f ) cos ( β ) sin ( β ) = l f R (5) ag{5} an left(delta_{f} ight) cos (eta)-sin (eta)= rac{l_{f}}{R} tan(δf)cos(β)sin(β)=Rlf(5)
同理，等式(4)两边同时乘 l r cos ( δ r ) rac{l_{r}}{cos left(delta_{r} ight)} cos(δr)lr 得
sin ( β ) tan ( δ r ) cos ( β ) = l r R (6) ag{6} sin (eta)- an left(delta_{r} ight) cos (eta)= rac{l_{r}}{R} sin(β)tan(δr)cos(β)=Rlr(6)

联立公式(5)(6)可得：
( tan δ f tan δ r ) cos β = l f + l r R (7) ag{7} left( an delta_{f}- an delta_{r} ight) cos eta= rac{l_{f}+l_{r}}{R} (tanδftanδr)cosβ=Rlf+lr(7)

根据条件假设，低速环境下，车辆行驶路径的转弯半径变化缓慢，此时我们可以假设车辆偏航角的变化率率 ψ ˙ dot{psi} ψ˙可近似等于车辆的角速度 ω omega ω。根据车辆角速度 ω = V R omega = rac{V}{R} ω=RV得
ψ ˙ = V R (8) ag{8} dot{psi}= rac{V}{R} ψ˙=RV(8)
将公式(8)带入公式(7)中，消除 R R R项得
ψ ˙ = V cos β l f + l r ( tan δ f tan δ r ) (9) ag{9} dot{psi}= rac{V cos eta}{l_{f}+l_{r}}left( an delta_{f}- an delta_{r} ight) ψ˙=lf+lrVcosβ(tanδftanδr)(9)

1.2.1 滑移角 β eta β 的关系

等式(5)乘以 l r l_{r} lr 得
tan ( δ f ) cos ( β ) l r sin ( β ) l r = l f l r R (10) ag{10} an left(delta_{f} ight) cos (eta) l_{r}-sin (eta) l_{r}= rac{l_{f} cdot l_{r}}{R} tan(δf)cos(β)lrsin(β)lr=Rlflr(10)
等式(6)乘以 l f l_{f} lf 得
sin ( β ) l f tan ( δ r ) cos ( β ) l f = l f l r R (11) ag{11} sin (eta) l_{f}- an left(delta_{r} ight) cos (eta) l_{f}= rac{l_{f} cdot l_{r}}{R} sin(β)lftan(δr)cos(β)lf=Rlflr(11)
等式(10)和(11)相减得
cos ( β ) ( l f tan ( δ r ) + l r tan ( δ f ) ) = sin ( β ) ( l f + l r ) (12) ag{12} cos (eta)left(l_{f} an left(delta_{r} ight)+l_{r} an left(delta_{f} ight) ight)=sin (eta)left(l_{f}+l_{r} ight) cos(β)(lftan(δr)+lrtan(δf))=sin(β)(lf+lr)(12)
等式(12)两端同时乘以 1 cos ( β ) rac{1}{cos (eta)} cos(β)1 得
tan ( β ) = l f tan ( δ r ) + l r tan ( δ f ) l f + l r (13) ag{13} an (eta)= rac{l_{f} an left(delta_{r} ight)+l_{r} an left(delta_{f} ight)}{l_{f}+l_{r}} tan(β)=lf+lrlftan(δr)+lrtan(δf)(13)
故取反三角函数得
β = arctan ( l f tan ( δ r ) + l r tan ( δ f ) l f + l r ) (14) ag{14} eta=arctan left( rac{l_{f} an left(delta_{r} ight)+l_{r} an left(delta_{f} ight)}{l_{f}+l_{r}} ight) β=arctan(lf+lrlftan(δr)+lrtan(δf))(14)

1.2.2 运动学模型

根据上图，很容易得到 x , y x,y x,y方向的速度为
x ˙ = V cos ( β + ψ ) y ˙ = V sin ( β + ψ ) (15) ag{15} egin{aligned} &dot{x}=V cos (eta+psi)\ &dot{y}=V sin (eta+psi) end{aligned} x˙=Vcos(β+ψ)y˙=Vsin(β+ψ)(15)

综上，以车辆重心为中心的运动学模型为

{ x ˙ = V cos ( ψ + β ) y ˙ = V sin ( ψ + β ) ψ ˙ = V cos β l f + l r ( tan δ f tan δ r ) (16) ag{16} left{egin{array}{l} dot{x}=V cos (psi+eta) \ dot{y}=V sin (psi+eta) \ dot{psi}= rac{V cos eta}{l_{f}+l_{r}}left( an delta_{f}- an delta_{r} ight)\ end{array} ight. x˙=Vcos(ψ+β)y˙=Vsin(ψ+β)ψ˙=lf+lrVcosβ(tanδftanδr)(16)
其中，
β = arctan ( l f tan ( δ r ) + l r tan ( δ f ) l f + l r ) eta=arctan left( rac{l_{f} an left(delta_{r} ight)+l_{r} an left(delta_{f} ight)}{l_{f}+l_{r}} ight) β=arctan(lf+lrlftan(δr)+lrtan(δf))

1.3 python 实现

class KinematicModel_1:
  """假设控制量为前后轮的转向角delta_f，delta_r和加速度a
  """

  def __init__(self, x, y, psi, v, l_r, l_f, dt):
    self.x = x
    self.y = y
    self.psi = psi
    self.v = v
    self.l_f = l_f
    self.l_r = l_r
    # 实现是离散的模型
    self.dt = dt

  def update_state(self, a, delta_f,delta_r):
    beta = math.atan((self.l_r*math.tan(delta_f)+self.l_f*math.tan(delta_r))/(self.l_f+self.l_r))
    self.x = self.x+self.v*math.cos(self.psi+beta)*self.dt
    self.y = self.y+self.v*math.sin(self.psi+beta)*self.dt
    self.psi = self.psi+self.v*math.cos(beta)*(math.tan(delta_f)-math.tan(delta_r))/(self.l_f+self.l_r)*self.dt
    self.v = self.v+a*self.dt

  def get_state(self):
    return self.x, self.y, self.psi, self.v

2. 以前轮驱动的单车运动学模型

2.1 几何关系

由于绝大多数的汽车后轮都不能够偏转，所以在单车模型基础上，我们假定后轮的转角控制输入 δ r = 0 delta_r=0 δr=0，即车辆为前轮驱动(frontwheelonly)。也就是说，方向盘上的控制输入，都反映到了前轮的转角上了，即认为方向盘的转角就等于前轮的转角 δ f delta_f δf。

注意：这里依旧以车辆重心为中心。

在直角三角形 O B C OBC OBC中，易得
sin β = l r R (17) ag{17} sin{eta}= rac{l_r}{R} sinβ=Rlr(17)

将公式(8)代入公式(17)得

ψ ˙ = V sin β l r (18) ag{18} dot{psi}= rac{V sin{eta}}{l_r} ψ˙=lrVsinβ(18)

故前轮驱动的车辆运动学模型为
{ x ˙ = V cos ( ψ + β ) y ˙ = V sin ( ψ + β ) ψ ˙ = V sin β l r (19) ag{19} left{egin{array}{l} dot{x}=V cos (psi+eta) \ dot{y}=V sin (psi+eta) \dot{psi}= rac{V sin{eta}}{l_r} end{array} ight. x˙=Vcos(ψ+β)y˙=Vsin(ψ+β)ψ˙=lrVsinβ(19)
其中， β eta β的推导方式与前文一致（可直接令公式(14)的 δ r = 0 delta_r=0 δr=0），可得
β = arctan ( l r l f + l r tan ( δ f ) ) (20) ag{20} eta=arctan left( rac{l_{r} }{l_{f}+l_{r}} an left(delta_{f} ight) ight) β=arctan(lf+lrlrtan(δf))(20)

2.2 python实现

class KinematicModel_2:
  """假设控制量为前轮的转向角delta_f和加速度a
  """
  def __init__(self, x, y, psi,v,l_r,l_f,dt):
    self.x = x
    self.y = y
    self.psi = psi
    self.v = v
    self.l_f = l_f
    self.l_r = l_r
    # 实现是离散的模型
    self.dt=dt
  

  def update_state(self,a,delta_f):
    beta = math.atan((self.l_r)/(self.l_f+self.l_r)*math.tan(delta_f))
    self.x = self.x+self.v*math.cos(self.psi+beta)*self.dt
    self.y = self.y+self.v*math.sin(self.psi+beta)*self.dt
    self.psi = self.psi+self.v*math.sin(beta)/self.l_r*self.dt
    self.v = self.v+a*self.dt

  def get_state(self):
    return self.x, self.y, self.psi, self.v

3. 以后轴中心为车辆中心的单车运动学模型

3.1 几何关系

在直角三角形 O B A OBA OBA中，显然有
tan δ f = L R (21) ag{21} an{delta_f}= rac{L}{R} tanδf=RL(21)

联立公式(7)，可得：
ψ ˙ = V L tan δ f dot{psi}= rac{V}{L} an{delta_f} ψ˙=LVtanδf

另外，根据集合关系，显然有

x ˙ = V cos ( ψ ) y ˙ = V sin ( ψ ) dot{x}=V cos (psi) \ dot{y}=V sin (psi) x˙=Vcos(ψ)y˙=Vsin(ψ)

因此，以后轴中心为车辆中心的运动学模型为

{ x ˙ = V cos ( ψ ) y ˙ = V sin ( ψ ) ψ ˙ = V L tan δ f (22) ag{22} left{egin{array}{l} dot{x}=V cos (psi) \ dot{y}=V sin (psi) \ dot{psi}= rac{V}{L} an{delta_f} end{array} ight. x˙=Vcos(ψ)y˙=Vsin(ψ)ψ˙=LVtanδf(22)

如果使用车辆的加速度 a a a作为 控制，则再加上下面这个公式即可
V ˙ = a (23) ag{23} dot{V}=a V˙=a(23)

但在无人车控制过程中，一般控制对象 u = [ v , w ] T u=left[v, w ight]^{T} u=[v,w]T ，则式(22)可写为:
[ x ˙ y ˙ ψ ˙ ] = [ cos ψ sin ψ 0 ] v + [ 0 0 1 ] w left[egin{array}{c} dot{x}\ dot{y} \ dot{psi} end{array} ight]=left[egin{array}{c} cos psi \ sin psi \ 0 end{array} ight] v+left[egin{array}{l} 0 \ 0 \ 1 end{array} ight] w x˙y˙ψ˙=cosψsinψ0v+001w

速度 v v v 的控制主要通过刹车 (brake) 、油门 (throttle) 、档位 (gear) 等来控制，横摆角速度 w w w主要通过转动方向盘 (steer) 来 控制。

3.2 python实现

class KinematicModel_3:
  """假设控制量为转向角delta_f和加速度a
  """
  def __init__(self, x, y, psi,v,L,dt):
    self.x = x
    self.y = y
    self.psi = psi
    self.v = v
    self.L = L
    # 实现是离散的模型
    self.dt=dt
  

  def update_state(self,a,delta_f):
    self.x = self.x+self.v*math.cos(self.psi)*self.dt
    self.y = self.y+self.v*math.sin(self.psi)*self.dt
    self.psi = self.psi+self.v/self.L*math.tan(delta_f)*self.dt
    self.v = self.v+a*self.dt

  def get_state(self):
    return self.x, self.y, self.psi, self.v

4. 阿克曼转向几何

汽车采用阿克曼转向轮。阿克曼转向几何(Ackerman Turning Geometry)是一种为了解决交通工具转弯时，内外转向轮路径指向的圆心不同的几何学。

在单车模型中，将转向时左、右前轮偏角假设为同一角度 δ f delta_f δf，虽然通常两个角度大致相等，但实际并不是，通常情况下，内侧轮胎转角更大。如下图所示。

δ o delta_{o} δo 和 δ i delta_{i} δi 分别为外侧前轮和内侧前轮偏角，当车辆左转时，左前轮胎为内侧轮胎，其转角 δ i delta_{i} δi 较 右前轮胎转角 δ o delta_{o} δo 更大。 l w l_{w} lw 为轮距， L = l f + l r L=l_f+l_r L=lf+lr 为轴距，远远小于轨迹半径 R R R，滑移角 β eta β接近于0。一般车辆模型后轴为固定轴，故后轮两轮胎转角为 0 ° 0^{circ} 0°，即 δ r delta_r δr为0 。

当以后轴中心为参考点时，则 O B OB OB为转向半径R。

当滑移角 β eta β很小时，且后轮偏角为0时，公式(9)可近似为

ψ ˙ ≈ V L tan ( δ f ) (24) ag{24} dot{psi}approx rac{V}{L} an left(delta_{f} ight) ψ˙≈LVtan(δf)(24)
由于 δ f delta_{f} δf 很小
tan ( δ f ) ≈ δ f (25) ag{25} an left(delta_{f} ight) approx delta_{f} tan(δf)≈δf(25)
根据公式(8)和公式(24)得
ψ ˙ V ≈ δ f L = 1 R (26) ag{26} rac{dot{psi}}{V} approx rac{delta_{f}}{L}= rac{1}{R} Vψ˙≈Lδf=R1(26)
故不区分前后轴，等效转向角为
δ = L R (27) ag{27} delta= rac{L}{R} δ=RL(27)
由于内外轮的转弯半径不同，根据公式(27), 外轮转角为
δ o = L R + l w 2 (28) ag{28} delta_{o}= rac{L}{R+ rac{l_{w}}{2}} δo=R+2lwL(28)

内轮转角为
δ i = L R l w 2 (29) ag{29} delta_{i}= rac{L}{R- rac{l_{w}}{2}} δi=R2lwL(29)
故前轮平均转向角为
δ = δ o + δ i 2 = L R l w 2 4 R (30) ag{30} delta= rac{delta_{o}+delta_{i}}{2}= rac{L}{R- rac{l_{w}^{2}}{4 R}} δ=2δo+δi=R4Rlw2L(30)
由于 l w 2 4 R rac{l_{w}^{2}}{4 R} 4Rlw2 项中， l w l_{w} lw 远远小于 R R R, 且 l w l_{w} lw 的二次项更小，故
l w 2 4 R 0 (31) ag{31} rac{l_{w}^{2}}{4 R} cong 0 4Rlw20(31)
所以等式(30)可以近似为
δ = L R (32) ag{32} delta= rac{L}{R} δ=RL(32)
比较等式(28)和(29)知， δ i delta_{i} δi 始终大于 δ o delta_{o} δo ，故
δ i δ o = L R l w 2 L R + l w 2 = L l w R 2 l w 2 4 L R 2 l w = δ 2 l w L (33) ag{33} egin{aligned} delta_{i}-delta_{o} &= rac{L}{R- rac{l_{w}}{2}}- rac{L}{R+ rac{l_{w}}{2}} \ &= rac{L l_{w}}{R^{2}- rac{l_{w}^{2}}{4}} \ & cong rac{L}{R^{2}} l_{w}=delta^{2} rac{l_{w}}{L} end{aligned} δiδo=R2lwLR+2lwL=R24lw2LlwR2Llw=δ2Llw(33)
根据公式(33)可知，前轮内外转向角的差值接近于平均转向角的二次方，所以当前轮转向角较大时， 内外轮的转向角误差就越大。

依据阿克曼转向几何设计的车辆，沿着弯道转弯时，利用四连杆的相等曲柄使内侧轮的转向角比外侧轮大大约2~4度，使四个轮子路径的圆心大致上交会于后轴的延长线上瞬时转向中心，让车辆可以顺畅的转弯。

车辆运动模型基于单车模型推导，推导过程不考虑车辆受到的横向力，故该模型只适用于车辆速度很低的情形。
a = m V 2 R (34) ag{34} a= rac{m V^{2}}{R} a=RmV2(34)
根据公式(34)知，速度很小时，车辆受到的向心力可以忽略不记，所以才有公式(8)的成立。所以当车辆的运动场景速度较低时，可以使用该模型描述车辆的运动。