机器人学基础-旋转变换

空间旋转矩阵中有九个元素，但是这九个元素满足六个约束方程，只有三个独立变量

ABX = [ AXB AYB AYB ] = [R11R12R13R21R22R23R31R32R33]\begin{bmatrix}R11 & R12 & R13 \\ R21 & R22&R23\\R31&R32&R33\\ \end{bmatrix}⎣⎡​R11R21R31​R12R22R32​R13R23R33​⎦⎤​;

其中每个元素满足：

AXB ⋅\cdot⋅ AXB = AYB ⋅\cdot⋅ AYB = AZB ⋅\cdot⋅ AZB = 1;

AXB ⋅\cdot⋅ AYB = AYB ⋅\cdot⋅ AZB = AZB ⋅\cdot⋅ AXB = 0;

一、绕固定轴x-y-z旋转（RPY角）

1-1运动过程

RPY角对应的旋转矩阵，这种描述方法与操作轴末端执行器坐标系的规定方法类似，如下图；
在这里插入图片描述
坐标系的运动方式：{B}的开始方位与坐标系{A}重合，首先使得{B}绕XA旋转γ\gammaγ 角，在绕YA 转β\betaβ 角，最后绕 ZA转α\alphaα 角。（白->黄->红->蓝）

1-2旋转矩阵计算

根据坐标系的变换关系，坐标系{B}相对于{A}的旋转矩阵为：注意这里需要右乘，相对于基坐标系而言

ABRxyz(γ\gammaγ ,β\betaβ, α\alphaα ) = R(ZA,α\alphaα) ⋅\cdot⋅ R(YA,β\betaβ) ⋅\cdot⋅ R(XA,γ\gammaγ)

= [cα−sα0sαcα0001]\begin{bmatrix} c \alpha & -s\alpha& 0 \\ s\alpha & c\alpha&0\\0&0&1\\ \end{bmatrix}⎣⎡​cαsα0​−sαcα0​001​⎦⎤​[cβ0sβ010−sβ0cβ]\begin{bmatrix} c \beta& 0& s\beta \\0& 1&0\\-s\beta&0&c\beta\\ \end{bmatrix}⎣⎡​cβ0−sβ​010​sβ0cβ​⎦⎤​[1000cγ−sγ0sγcγ]\begin{bmatrix} 1 & 0& 0 \\ 0 & c\gamma&-s\gamma\\0&s\gamma&c\gamma\\ \end{bmatrix}⎣⎡​100​0cγsγ​0−sγcγ​⎦⎤​

=[cα⋅cβcα⋅sβ⋅sγ−sα⋅cγcα⋅sβ⋅cγ+sα⋅sγsα⋅cβsα⋅sβ⋅sγ+cα⋅cγsα⋅sβ⋅cγ−cα⋅sγ−sβcβ⋅sγcβ⋅cγ]\begin{bmatrix} c\alpha\cdot c\beta & c\alpha\cdot s\beta \cdot s \gamma - s\alpha\cdot c\gamma&c\alpha\cdot s\beta \cdot c \gamma+s\alpha\cdot s\gamma \\s\alpha\cdot c\beta & s\alpha\cdot s\beta \cdot s \gamma + c\alpha\cdot c\gamma&s\alpha\cdot s\beta \cdot c \gamma-c\alpha\cdot s\gamma \\-s\beta & c\beta \cdot s \gamma &c\beta \cdot c \gamma \\ \end{bmatrix}⎣⎡​cα⋅cβsα⋅cβ−sβ​cα⋅sβ⋅sγ−sα⋅cγsα⋅sβ⋅sγ+cα⋅cγcβ⋅sγ​cα⋅sβ⋅cγ+sα⋅sγsα⋅sβ⋅cγ−cα⋅sγcβ⋅cγ​⎦⎤​

1-3RPY角计算

已知旋转矩阵ABR，令该矩阵和矩阵ABRxyz对应元素相等可得

[R11R12R13R21R22R23R31R32R33]\begin{bmatrix}R11 & R12 & R13 \\ R21 & R22&R23\\R31&R32&R33\\ \end{bmatrix}⎣⎡​R11R21R31​R12R22R32​R13R23R33​⎦⎤​ = [cα⋅cβcα⋅sβ⋅sγ−sα⋅cγcα⋅sβ⋅cγ+sα⋅sγsα⋅cβsα⋅sβ⋅sγ+cα⋅cγsα⋅sβ⋅cγ−cα⋅sγ−sβcβ⋅sγcβ⋅cγ]\begin{bmatrix} c\alpha\cdot c\beta & c\alpha\cdot s\beta \cdot s \gamma - s\alpha\cdot c\gamma&c\alpha\cdot s\beta \cdot c \gamma+s\alpha\cdot s\gamma \\s\alpha\cdot c\beta & s\alpha\cdot s\beta \cdot s \gamma + c\alpha\cdot c\gamma&s\alpha\cdot s\beta \cdot c \gamma-c\alpha\cdot s\gamma \\-s\beta & c\beta \cdot s \gamma &c\beta \cdot c \gamma \\ \end{bmatrix}⎣⎡​cα⋅cβsα⋅cβ−sβ​cα⋅sβ⋅sγ−sα⋅cγsα⋅sβ⋅sγ+cα⋅cγcβ⋅sγ​cα⋅sβ⋅cγ+sα⋅sγsα⋅sβ⋅cγ−cα⋅sγcβ⋅cγ​⎦⎤​

通过比较可得cosβ\betaβ = ±R112+R212\pm\sqrt {R11^2+R21^2}±R112+R212​ ，通常我们规定β∈[−90,+90]\beta\in[-90,+90]β∈[−90,+90]，所以我们可以得到cosβ\betaβ = +R112+R212+\sqrt {R11^2+R21^2}+R112+R212​。

如果cosβ≠0\beta\neq0β​=0，则可以得到：
β=Atan⁡2(−R31,R112+R212)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\beta = A\tan2(-R31,\sqrt{R11^2+R21^2})β=Atan2(−R31,R112+R212​)
α=Atan⁡2(R21，R11)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\alpha = A\tan2(R21，R11)α=Atan2(R21，R11)
γ=Atan⁡2(R32，R33)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\gamma = A\tan2(R32，R33)γ=Atan2(R32，R33)
其中Atan⁡2(y,x)A\tan2(y,x)Atan2(y,x)成为四象限反正切函数

如果cosβ=±90\beta = \pm90β=±90，则只能得到α和γ\alpha和\gammaα和γ的和或差，通常选择α=0\alpha = 0α=0。

如果cosβ=+90\beta = +90β=+90，则可以得到：
β=90\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\beta = 90β=90
α=0\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\alpha = 0α=0
γ=Atan⁡2(R12，R22)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\gamma = A\tan2(R12，R22)γ=Atan2(R12，R22)

如果cosβ=−90\beta = -90β=−90，则可以得到：
β=−90\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\beta = -90β=−90
α=0\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\alpha = 0α=0
γ=−Atan⁡2(R12，R22)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\gamma = -A\tan2(R12，R22)γ=−Atan2(R12，R22)

二、绕相对于运动坐标系（ZYX欧拉角）在这里插入图片描述

三、绕相对于运动坐标系（ZYZ欧拉角）在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述

四、旋转变换通式

在这里插入图片描述

4-1坐标变换（正解）

在这里插入图片描述

{A’}是与K轴正交的坐标系，{B’}相对于{A’}相当于是绕z轴旋转

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述在这里插入图片描述

4-2 等效转轴和等效转角（逆解）

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述在这里插入图片描述

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