机器学习中常见的损失函数
损失函数（Loss function）是用来估量你模型的预测值 f(x)f(x) 与真实值 YY 的不一致程度，它是一个非负实值函数，通常用 L(Y,f(x))L(Y,f(x)) 来表示。损失函数越小，模型的鲁棒性就越好。损失函数是经验风险函数的核心部分，也是结构风险函数的重要组成部分。
一，回归问题
1，MSE（均方误差）（Mean Square Error）
均方误差也叫方法损失函数或者最小二乘法
作为机器学习中常常用于损失函数的方法，均方误差频繁的出现在机器学习的各种算法中，但是由于是舶来品，又和其他的几个概念特别像，所以常常在跟他人描述的时候说成其他方法的名字。
均方误差的数学表达为：
$$MSE=\frac{1}{n}\sum _i^n(y_i-f(x_i){)}^2$$
如公式所示，通过计算每个预测值和实际值之间的差值的平方和再求平均，机器学习中它经常被用于表示预测值和实际值相差的程度。平方损失函数是光滑的，可以用梯度下降法求解，但是，当预测值和真实值差异较大时，它的惩罚力度较大，因此对异常点较为敏感。

2，RMSE（均方根误差）
即RMSE （均方根误差）（Root Mean Square Error）
对方差开平方就是均方差，而均方差又称标准差，即：
$$RMSE=\sqrt{\frac{1}{n}\sum _i^n(y_i-f(x_i){)}^2}$$
与MSE一样对于异常点也是非常敏感。

3，MAE （平均绝对误差）
$MAE=\frac{1}{n}{\sum }_{i=0}^n|\widehat{y_i}-y_i|$

4，MAPE（平均绝对百分比）
$$MAPE=\sum _{i=1}^n|\frac{y_i-f(x_i)}{y_i}|\ast \frac{100}{n}$$
MAPE不仅仅考虑预测值与真实值的误差，还考虑了误差与真实值之间的比例，在某些场景下，比如房价从0.5w到5w之间，将0.5预测成1.0与将5.0预测成4.5，实际上预测差距是非常大的，如果用RMSE的话两者效果相同，而用MAPE的后者要比前者好一些。

二，分类问题
1，0-1损失函数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{y=f(x)}\\ 1& \text{y!=f(x)}\end{array}$$
或者是：
$f(x)=I(y(x))$
2，logLoss (对数损失函数，也叫binary cross entropy，二元交叉熵损失，LR)
log loss function表达式：
$$logloss=-\frac{1}{m}\sum _{i=0}^m(y_{i}log(p_i)+(1-y_i)log(1-p_i))$$
其中$y_i$是个样本的真实标签，$p_i$是第i个样本预测为正样本的概率。

3，Cross-Entropy损失函数
交叉熵刻画的是两个概率分部之间的距离，或可以说其刻画的是通过概率分布q来表达概率分布p的困难程度，p代表正确答案，q代表的是预测值，交叉熵越小，两个概率的分布越接近。
交叉熵损失函数通常使用在softmax上，而softmax通常使用在神经网络的末端，使其预测结果以概率的形式输出。
交叉熵损失函数的数学表达如下所示：
$$H(p,q)=-\sum _{i=0}^m\sum _{j=1}^{n}p(x_{ij})log(q(x_{ij}))$$
m为样本数量，n为样本所属的不同类别个数。$p(x_{ij})$表示样本i所属类别j，$q(x_{ij})$表示预测样本i属于类别j的概率。

logloss与交叉熵的对比
对数损失函数（Log loss function）和交叉熵损失函数（Cross-entroy loss funtion）在很多文献内是一致的，因为他们的表示式的本质是一样的。但是两种损失函数所对应的上一层结构不同，log loss经常对应的是Sigmoid函数的输出，用于二分类问题；而cross-entropy loss经常对应的是Softmax函数的输出，用于多分类问题。
所以在神经网络中经常使用cross-entropy作为评判参数优化的函数，而在二分类的场景下经常使用log loss作为评判参数优化的函数。

4，Hinge损失函数(SVM)
用于svm，svm通过间隔最大化方式，通过拉格朗日乘子法转化成对偶问题进行建模求解的。
Hinge-loss的数学表达如下：
$$L(y)=max(0,1-f(x))$$
5,指数损失函数(exp-loss)
应用于AdaBoost。
指数损失(exp-loss)函数的标准形式为：
$$L(y,f(x))=exp(-y\ast f(x))$$
在Adaboost算法学习的过程中，经过m轮迭代之后，可以得到$f_m(x)$ :
$$f_m(x)=f_{m-1}(x)+a_m\ast G_m(x)$$
在给定n个样本的情况下，Adaboost的损失函数为：
$$L(y,f(x))=\frac{1}{n}\sum _{i=0}^{n}exp(-y_i\ast f(x_i))$$