泊松分布

• 定义：一种离散型分布，是二项分布的泊松近似

  设随机变量X所有可能取的值为0,1,…,且概率分布为：
  $$P(X=k)=e^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!},k=0,1,2,....$$
  其中$\lambda >0$是常数，且$\lambda =np$则称X服从参数为$\lambda$的泊松分布，记作$X$~$P(\lambda )$

• 稀有事件：每次试验中出现概率很小的事件

• 由泊松定理知，n重贝努里试验中稀有事件出现的次数近似低服从泊松分布

• 泊松分布产生的一般条件

  • 随机事件流：随机时刻相继出现的事件所形成的序列

  • 泊松事件流：具有平稳性、无后效性、普通型的事件流

    • 平稳性：在任意时间区间内，事件发生k次($k\ge 0$)的概率只依赖于区间长度而与区间端点无关。
    • 无后效性：在不相重叠的时间段内，事件的发生是相互独立的。
    • 普通性：如果时间区间充分小，事件出现两次或两次以上的概率可忽略不计

    e.g 某机场降落的飞机数，某电话交换台收到的电话呼叫数

  • 泊松事件流强度$\lambda$：在任意时间间隔(0,t)内，事件（如交通事故）出现的次数服从参数为$\lambda$

7.正态分布

• 定义：是一种连续型分布,是二项概率的一个近似公式，又称高斯分布

  若随机变量X的概率密度为
  $$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}exp(-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}),-\infty <x<\infty$$
  其中$\mu$和${\sigma }^2$都是常数，$\mu$任意，$\sigma >0$，则称X服从参数为$\mu$和${\sigma }^2$的正态分布，记作$X$~$N(\mu ,{\sigma }^2)$，f(x)所确定的曲线叫作正态曲线。

  正态分布由它的两个参数$\mu$和$\sigma$唯一确定，当$\mu$和$\sigma$不同时，是不同的正态分布

• 正态分布$N(\mu ,{\sigma }^2)$的图形特点

$\mu$决定了图形的中心位置

$\sigma$决定了图形中锋的陡峭程度

• 若$X$~$N(\mu ,{\sigma }^2)$，X的分布函数是
  $$F(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{x}exp(-\frac{(t-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}dt),-\infty <x<\infty$$

• 标准正态分布：$\mu =0$,$\sigma =1$的正态分布

  概率密度函数:
  $$\psi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}exp(-\frac{x^2}{2}),-\infty <x<\infty$$

分布函数：
$$\varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{x}exp(-\frac{t^2}{2})dt$$

• 任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布

  定理:设$X$ ~ $N(\mu ,{\sigma }^2)$,则$Y=\frac{X-\mu }{\sigma }$~$N(0,1)$

  因此只需将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题