吴恩达机器学习课程笔记+代码实现(5)多变量线性回归、梯度下降和正规方程
4.多变量线性回归、梯度下降和正规方程(Linear Regression with Multiple Variable , Gradient Descent and Normal Equation)
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本章编程作业及代码实现部分见：Python实现多变量线性回归、梯度下降和正规方程
4.1 多维特征
上一章节学习了单变量/特征的回归模型，现在对房价模型增加更多的特征，例如房间数楼层等，构成一个含有多个变量的模型，模型中的特征为
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
\left( {x_{1}},{x_{2}},...,{x_{n}} \right)
(x1,x2,...,xn)。
增添更多特征后，我们引入一系列新的注释：
n n n 代表特征的数量
x ( i ) {x^{\left( i \right)}} x(i)代表第 i i i 个训练实例，是特征矩阵中的第 i i i行，是一个向量（vector）。
比方说，上图的
x ( 2 ) = [ 1416 3 2 40 ] {x}^{(2)}\text{=}\begin{bmatrix} 1416\\\ 3\\\ 2\\\ 40 \end{bmatrix} x(2)=⎣⎢⎢⎡1416 3 2 40⎦⎥⎥⎤，
x j ( i ) {x}_{j}^{\left( i \right)} xj(i)代表特征矩阵中第 i i i 行的第 j j j 个特征，也就是第 i i i 个训练实例的第 j j j 个特征。
如上图的 x 2 ( 2 ) = 3 , x 3 ( 2 ) = 2 x_{2}^{\left( 2 \right)}=3,x_{3}^{\left( 2 \right)}=2 x2(2)=3,x3(2)=2，
支持多变量的假设 h h h 表示为： h θ ( x ) = θ 0 + θ 1 x 1 + θ 2 x 2 + . . . + θ n x n h_{\theta}\left( x \right)={\theta_{0}}+{\theta_{1}}{x_{1}}+{\theta_{2}}{x_{2}}+...+{\theta_{n}}{x_{n}} hθ(x)=θ0+θ1x1+θ2x2+...+θnxn，
这个公式中有 n + 1 n+1 n+1个参数和 n n n个变量，为了使得公式能够简化一些，引入 x 0 = 1 x_{0}=1 x0=1，则公式转化为： h θ ( x ) = θ 0 x 0 + θ 1 x 1 + θ 2 x 2 + . . . + θ n x n h_{\theta} \left( x \right)={\theta_{0}}{x_{0}}+{\theta_{1}}{x_{1}}+{\theta_{2}}{x_{2}}+...+{\theta_{n}}{x_{n}} hθ(x)=θ0x0+θ1x1+θ2x2+...+θnxn
此时模型中的参数是一个 n + 1 n+1 n+1维的向量，任何一个训练实例也都是 n + 1 n+1 n+1维的向量，特征矩阵 X X X的维度是 m ∗ ( n + 1 ) m*(n+1) m∗(n+1)。 因此公式可以简化为： h θ ( x ) = θ T X h_{\theta} \left( x \right)={\theta^{T}}X hθ(x)=θTX，其中上标 T T T代表矩阵转置。
4.2 多变量梯度下降
与单变量线性回归类似，在多变量线性回归中，我们也构建一个代价函数，则这个代价函数是所有建模误差的平方和，即：
J
(
θ
0
,
θ
1
.
.
.
θ
n
)
=
1
2
m
∑
i
=
1
m
(
h
θ
(
x
(
i
)
)
−
y
(
i
)
)
2
J\left( {\theta_{0}},{\theta_{1}}...{\theta_{n}} \right)=\frac{1}{2m}\sum\limits_{i=1}^{m}{{{\left( h_{\theta} \left({x}^{\left( i \right)} \right)-{y}^{\left( i \right)} \right)}^{2}}}
J(θ0,θ1...θn)=2m1i=1∑m(hθ(x(i))−y(i))2 ，
其中：
h
θ
(
x
)
=
θ
T
X
=
θ
0
+
θ
1
x
1
+
θ
2
x
2
+
.
.
.
+
θ
n
x
n
h_{\theta}\left( x \right)=\theta^{T}X={\theta_{0}}+{\theta_{1}}{x_{1}}+{\theta_{2}}{x_{2}}+...+{\theta_{n}}{x_{n}}
hθ(x)=θTX=θ0+θ1x1+θ2x2+...+θnxn ，
我们的目标和单变量线性回归问题中一样，是要找出使得代价函数最小的一系列参数。
多变量线性回归的批量梯度下降算法为：
跟单变量线性回归一样，同时更新
θ
0
,
θ
1
,
.
.
,
θ
n
{{\theta }_{0}},{{\theta }_{1}},..,{{\theta }_{n}}
θ0,θ1,..,θn：
我们开始随机选择一系列的参数值，计算所有的预测结果后，再给所有的参数一个新的值，如此循环直到收敛。
4.3 梯度下降法实践1-特征缩放
在我们面对多维特征问题的时候，我们要保证这些特征都具有相近的尺度，这将帮助梯度下降算法更快地收敛。
以房价问题为例，假设我们使用两个特征，房屋的尺寸和房间的数量，尺寸的值为 0-2000平方英尺，而房间数量的值则是0-5，以两个参数分别为横纵坐标，绘制代价函数的等高线图能，看出图像会显得很扁，梯度下降算法需要非常多次的迭代才能收敛。
解决的方法是尝试将所有特征的尺度都尽量缩放到-1到1之间。
最简单的方法是：Z-score标准化方法，也称均值归一化(mean normaliztion)， 给予原始数据的均值（mean）和标准差（standard deviation）进行数据的标准化。经过处理的数据符合标准正态分布，即均值为0，标准差为1。转化函数为 x n = x n − μ n s n {{x}_{n}}=\frac{{{x}_{n}}-{{\mu}_{n}}}{{{s}_{n}}} xn=snxn−μn，其中 μ n {\mu_{n}} μn是平均值， s n {s_{n}} sn是标准差。
4.4 梯度下降法实践2-学习率
梯度下降算法收敛所需要的迭代次数根据模型的不同而不同，我们不能提前预知，我们可以绘制迭代次数和代价函数的图表来观测算法在何时趋于收敛。
也有一些自动测试是否收敛的方法，例如将代价函数的变化值与某个阀值（例如0.001）进行比较，但通常看上面这样的图表更好。
梯度下降算法的每次迭代受到学习率的影响，如果学习率 a a a过小，则达到收敛所需的迭代次数会非常高；如果学习率 a a a过大，每次迭代可能不会减小代价函数，可能会越过局部最小值导致无法收敛。
通常可以考虑尝试些学习率：
α = 0.01 ， 0.03 ， 0.1 ， 0.3 ， 1 ， 3 ， 10 \alpha=0.01，0.03，0.1，0.3，1，3，10 α=0.01，0.03，0.1，0.3，1，3，10
4.5 特征和多项式回归
如房价预测问题， h θ ( x ) = θ 0 + θ 1 × f r o n t a g e + θ 2 × d e p t h h_{\theta}\left( x \right)={\theta_{0}}+{\theta_{1}}\times{frontage}+{\theta_{2}}\times{depth} hθ(x)=θ0+θ1×frontage+θ2×depth
x
1
=
f
r
o
n
t
a
g
e
{x_{1}}=frontage
x1=frontage（临街宽度），
x
2
=
d
e
p
t
h
{x_{2}}=depth
x2=depth（纵向深度），
x
=
f
r
o
n
t
a
g
e
∗
d
e
p
t
h
=
a
r
e
a
x=frontage*depth=area
x=frontage∗depth=area（面积），则：
h
θ
(
x
)
=
θ
0
+
θ
1
x
{h_{\theta}}\left( x \right)={\theta_{0}}+{\theta_{1}}x
hθ(x)=θ0+θ1x。
线性回归并不适用于所有数据，有时我们需要曲线来适应我们的数据，比如一个二次方模型：
h
θ
(
x
)
=
θ
0
+
θ
1
x
1
+
θ
2
x
2
2
h_{\theta}\left( x \right)={\theta_{0}}+{\theta_{1}}{x_{1}}+{\theta_{2}}{x_{2}^2}
hθ(x)=θ0+θ1x1+θ2x22
或者三次方模型：
h
θ
(
x
)
=
θ
0
+
θ
1
x
1
+
θ
2
x
2
2
+
θ
3
x
3
3
h_{\theta}\left( x \right)={\theta_{0}}+{\theta_{1}}{x_{1}}+{\theta_{2}}{x_{2}^2}+{\theta_{3}}{x_{3}^3}
hθ(x)=θ0+θ1x1+θ2x22+θ3x33
通常我们需要先观察数据然后再决定准备尝试怎样的模型。 另外，我们可以令：
x
2
=
x
2
2
,
x
3
=
x
3
3
{{x}_{2}}=x_{2}^{2},{{x}_{3}}=x_{3}^{3}
x2=x22,x3=x33，从而将模型转化为线性回归模型。
根据函数图形特性，我们还可以使： h θ ( x ) = θ 0 + θ 1 ( s i z e ) + θ 2 ( s i z e ) 2 {{{h}}_{\theta}}(x)={{\theta }_{0}}\text{+}{{\theta }_{1}}(size)+{{\theta}_{2}}{{(size)}^{2}} hθ(x)=θ0+θ1(size)+θ2(size)2
或者: h θ ( x ) = θ 0 + θ 1 ( s i z e ) + θ 2 s i z e {{{h}}_{\theta}}(x)={{\theta }_{0}}\text{+}{{\theta }_{1}}(size)+{{\theta }_{2}}\sqrt{size} hθ(x)=θ0+θ1(size)+θ2size
如果我们采用多项式回归模型，在运行梯度下降算法前，特征缩放非常有必要。
4.6 正规方程（区别于迭代方法的直接解法）
到目前为止，我们都在使用梯度下降算法，但是对于某些线性回归问题，正规方程方法是更好的解决方案。如：
正规方程是通过求解下面的方程来找出使得代价函数最小的参数的：
∂
∂
θ
j
J
(
θ
j
)
=
0
\frac{\partial}{\partial{\theta_{j}}}J\left( {\theta_{j}} \right)=0
∂θj∂J(θj)=0 。
假设我们的训练集特征矩阵为
X
X
X（包含了
x
0
=
1
{{x}_{0}}=1
x0=1）并且我们的训练集结果为向量
y
y
y，则利用正规方程解出向量
θ
=
(
X
T
X
)
−
1
X
T
y
\theta ={{\left( {X^T}X \right)}^{-1}}{X^{T}}y
θ=(XTX)−1XTy 。
以下表示数据为例：
运用正规方程方法求解参数：
θ
=
(
X
T
X
)
−
1
X
T
y
\theta ={{\left( {X^T}X \right)}^{-1}}{X^{T}}y
θ=(XTX)−1XTy
推导过程如下：
J
(
θ
)
=
1
2
m
∑
i
=
1
m
(
h
θ
(
x
(
i
)
)
−
y
(
i
)
)
2
J\left( \theta \right)=\frac{1}{2m}\sum\limits_{i=1}^{m}{{{\left( {h_{\theta}}\left( {x^{(i)}} \right)-{y^{(i)}} \right)}^{2}}}
J(θ)=2m1i=1∑m(hθ(x(i))−y(i))2
其中：
h
θ
(
x
)
=
θ
T
X
=
θ
0
x
0
+
θ
1
x
1
+
θ
2
x
2
+
.
.
.
+
θ
n
x
n
{h_{\theta}}\left( x \right)={\theta^{T}}X={\theta_{0}}{x_{0}}+{\theta_{1}}{x_{1}}+{\theta_{2}}{x_{2}}+...+{\theta_{n}}{x_{n}}
hθ(x)=θTX=θ0x0+θ1x1+θ2x2+...+θnxn
将向量表达形式转为矩阵表达形式，则有 J ( θ ) = 1 2 ( X θ − y ) 2 J(\theta )=\frac{1}{2}{{\left( X\theta -y\right)}^{2}} J(θ)=21(Xθ−y)2 ，其中 X X X为 m m m行 n n n列的矩阵（ m m m为样本个数， n n n为特征个数）， θ \theta θ为 n n n行1列的矩阵， y y y为 m m m行1列的矩阵，对 J ( θ ) J(\theta ) J(θ)进行如下变换
J ( θ ) = 1 2 ( X θ − y ) T ( X θ − y ) J(\theta )=\frac{1}{2}{{\left( X\theta -y\right)}^{T}}\left( X\theta -y \right) J(θ)=21(Xθ−y)T(Xθ−y)
= 1 2 ( θ T X T − y T ) ( X θ − y ) =\frac{1}{2}\left( {{\theta }^{T}}{{X}^{T}}-{{y}^{T}} \right)\left(X\theta -y \right) =21(θTXT−yT)(Xθ−y)
= 1 2 ( θ T X T X θ − θ T X T y − y T X θ − y T y ) =\frac{1}{2}\left( {{\theta }^{T}}{{X}^{T}}X\theta -{{\theta}^{T}}{{X}^{T}}y-{{y}^{T}}X\theta -{{y}^{T}}y \right) =21(θTXTXθ−θTXTy−yTXθ−yTy)
接下来对 J ( θ ) J(\theta ) J(θ)偏导，需要用到以下几个矩阵的求导法则:
d A B d B = A T \frac{dAB}{dB}={{A}^{T}} dBdAB=AT
d X T A X d X = 2 A X \frac{d{{X}^{T}}AX}{dX}=2AX dXdXTAX=2AX
所以有:
∂ J ( θ ) ∂ θ = 1 2 ( 2 X T X θ − X T y − ( y T X ) T − 0 ) \frac{\partial J\left( \theta \right)}{\partial \theta }=\frac{1}{2}\left(2{{X}^{T}}X\theta -{{X}^{T}}y -{}({{y}^{T}}X )^{T}-0 \right) ∂θ∂J(θ)=21(2XTXθ−XTy−(yTX)T−0)
= 1 2 ( 2 X T X θ − X T y − X T y − 0 ) =\frac{1}{2}\left(2{{X}^{T}}X\theta -{{X}^{T}}y -{{X}^{T}}y -0 \right) =21(2XTXθ−XTy−XTy−0)
= X T X θ − X T y ={{X}^{T}}X\theta -{{X}^{T}}y =XTXθ−XTy
令 ∂ J ( θ ) ∂ θ = 0 \frac{\partial J\left( \theta \right)}{\partial \theta }=0 ∂θ∂J(θ)=0,
则有 θ = ( X T X ) − 1 X T y \theta ={{\left( {X^{T}}X \right)}^{-1}}{X^{T}}y θ=(XTX)−1XTy
梯度下降与正规方程的比较：
| 梯度下降 | 正规方程 |
|---|---|
| 需要选择学习率 α \alpha α | 不需要 |
| 需要多次迭代 | 一次运算得出 |
| 当特征数量 n n n大时也能较好适用 | 需要计算 ( X T X ) − 1 {{\left( {{X}^{T}}X \right)}^{-1}} (XTX)−1 如果特征数量n较大则运算代价大，因为矩阵逆的计算时间复杂度为 O ( n 3 ) O\left( {{n}^{3}} \right) O(n3)，通常来说当 n n n小于10000 时还是可以接受的 |
| 适用于各种类型的模型 | 只适用于线性模型，不适合逻辑回归模型等其他模型 |
总结一下，矩阵相乘的时间复杂度为 O ( n 3 ) O({n}^{3}) O(n3)，只要特征变量的数目并不大，标准方程是一个很好的计算参数 θ \theta θ的替代方法。根据吴恩达老师的经验，特征变量数量小于一万，通常使用标准方程法，超过一万时可以考虑使用梯度下降法。
参考资料： 吴恩达机器学习课程;黄海广机器学习课程笔记
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