一维插值

        插值不同于拟合。插值函数经过样本点，拟合函数一般基于最小二乘法尽量靠近所有样本点穿过。常见插值方法有拉格朗日插值法、分段插值法、样条插值法。

 

        拉格朗日插值多项式：当节点数n较大时，拉格朗日插值多项式的次数较高，可能出现不一致的收敛情况，而且计算复杂。随着样点增加，高次插值会带来误差的震动现象称为龙格现象。

       分段插值：虽然收敛，但光滑性较差。

       样条插值:样条插值是使用一种名为样条的特殊分段多项式进行插值的形式。由于样条插值可以使用低阶多项式样条实现较小的插值误差，这样就避免了使用高阶多项式所出现的龙格现象，所以样条插值得到了流行。

 

1. #!/usr/bin/env python

2. # -*-coding:utf-8 -*-

3. import numpy as np

4. from scipy import interpolate

5. import pylab as pl

6.  

7. x=np.linspace(0,10,11)

8. #x=[ 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.]

9. y=np.sin(x)

10. xnew=np.linspace(0,10,101)

11. pl.plot(x,y,"ro")

12.  

13. for kind in ["nearest","zero","slinear","quadratic","cubic"]:#插值方式

14. #"nearest","zero"为阶梯插值

15. #slinear 线性插值

16. #"quadratic","cubic" 为2阶、3阶B样条曲线插值

17. f=interpolate.interp1d(x,y,kind=kind)

18. # ‘slinear’, ‘quadratic’ and ‘cubic’ refer to a spline interpolation of first, second or third order)

19. ynew=f(xnew)

20. pl.plot(xnew,ynew,label=str(kind))

21. pl.legend(loc="lower right")

22. pl.show()

结果:

 

 

二维插值

方法与一维数据插值类似，为二维样条插值。

 

1. # -*- coding: utf-8 -*-

2. """

3. 演示二维插值。

4. """

5. import numpy as np

6. from scipy import interpolate

7. import pylab as pl

8. import matplotlib as mpl

9.  

10. def func(x, y):

11. return (x+y)*np.exp(-5.0*(x**2 + y**2))

12.  

13. # X-Y轴分为15*15的网格

14. y,x= np.mgrid[-1:1:15j, -1:1:15j]

15.  

16. fvals = func(x,y) # 计算每个网格点上的函数值 15*15的值

17. print len(fvals[0])

18.  

19. #三次样条二维插值

20. newfunc = interpolate.interp2d(x, y, fvals, kind='cubic')

21.  

22. # 计算100*100的网格上的插值

23. xnew = np.linspace(-1,1,100)#x

24. ynew = np.linspace(-1,1,100)#y

25. fnew = newfunc(xnew, ynew)#仅仅是y值 100*100的值

26.  

27. # 绘图

28. # 为了更明显地比较插值前后的区别，使用关键字参数interpolation='nearest'

29. # 关闭imshow()内置的插值运算。

30. pl.subplot(121)

31. im1=pl.imshow(fvals, extent=[-1,1,-1,1], cmap=mpl.cm.hot, interpolation='nearest', origin="lower")#pl.cm.jet

32. #extent=[-1,1,-1,1]为x,y范围 favals为

33. pl.colorbar(im1)

34.  

35. pl.subplot(122)

36. im2=pl.imshow(fnew, extent=[-1,1,-1,1], cmap=mpl.cm.hot, interpolation='nearest', origin="lower")

37. pl.colorbar(im2)

38.  

39. pl.show()

 

左图为原始数据，右图为二维插值结果图。

 

二维插值的三维展示方法

 

1. # -*- coding: utf-8 -*-

2. """

3. 演示二维插值。

4. """

5. # -*- coding: utf-8 -*-

6. import numpy as np

7. from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

8. import matplotlib as mpl

9. from scipy import interpolate

10. import matplotlib.cm as cm

11. import matplotlib.pyplot as plt

12.  

13. def func(x, y):

14. return (x+y)*np.exp(-5.0*(x**2 + y**2))

15.  

16. # X-Y轴分为20*20的网格

17. x = np.linspace(-1, 1, 20)

18. y = np.linspace(-1,1,20)

19. x, y = np.meshgrid(x, y)#20*20的网格数据

20.  

21. fvals = func(x,y) # 计算每个网格点上的函数值 15*15的值

22.  

23. fig = plt.figure(figsize=(9, 6))

24. #Draw sub-graph1

25. ax=plt.subplot(1, 2, 1,projection = '3d')

26. surf = ax.plot_surface(x, y, fvals, rstride=2, cstride=2, cmap=cm.coolwarm,linewidth=0.5, antialiased=True)

27. ax.set_xlabel('x')

28. ax.set_ylabel('y')

29. ax.set_zlabel('f(x, y)')

30. plt.colorbar(surf, shrink=0.5, aspect=5)#标注

31.  

32. #二维插值

33. newfunc = interpolate.interp2d(x, y, fvals, kind='cubic')#newfunc为一个函数

34.  

35. # 计算100*100的网格上的插值

36. xnew = np.linspace(-1,1,100)#x

37. ynew = np.linspace(-1,1,100)#y

38. fnew = newfunc(xnew, ynew)#仅仅是y值 100*100的值 np.shape(fnew) is 100*100

39. xnew, ynew = np.meshgrid(xnew, ynew)

40. ax2=plt.subplot(1, 2, 2,projection = '3d')

41. surf2 = ax2.plot_surface(xnew, ynew, fnew, rstride=2, cstride=2, cmap=cm.coolwarm,linewidth=0.5, antialiased=True)

42. ax2.set_xlabel('xnew')

43. ax2.set_ylabel('ynew')

44. ax2.set_zlabel('fnew(x, y)')

45. plt.colorbar(surf2, shrink=0.5, aspect=5)#标注

46.  

47. plt.show()

        左图的二维数据集的函数值由于样本较少，会显得粗糙。而右图对二维样本数据进行三次样条插值，拟合得到更多数据点的样本值，绘图后图像明显光滑多了。

 

 

 

 

参考链接:

1.拉格朗日插值法:https://zh.wikipedia.org/wiki/拉格朗日插值法

2.样条插值：https://zh.wikipedia.org/wiki/样条插值