lecture 6：主元分析PCA

目录

1PCA思想

• PCA通过线性变换将原始数据，变换为一组各维度线性无关的表示

PCA通过原变量的线性组合，寻找一组能最大限度携带原变量的有用信息，且相互不相关的一组新变量，一般通过主元回归检验法、主元贡献率累积和百分比法来确定新变量个数，即降维后样本的维数。

LDA与PCA的比较

（1）PCA与LDA非常类似，LDA输入数据带标签，是有监督的学习，LDA可以作为独立算法存在，给定训练数据得到判别函数，对数据预测。
（2）PCA输入数据不带标签，是无监督的学习，数据预处理方法，将原始数据降低维度，降维后的数据之间方差最大（投影误差最小）

有一组N维向量，降到K维（K 小于N），如何选择K个基，才能最大程度的保留原有信息

选择一个方向，所有数据投影到这个方向的直线上，用投影值表示原始记录，二维降到一维，希望投影后的投影值尽可能分散，寻找一组基，使得所有数据，变换为这个基上的坐标表示后，方差最大

2最大方差法

3PCA一般步骤

（1）数据预处理，消除数据在数量级和量纲上的差异，且进行零均值化
（2）m个n维样本，求出协方差矩阵 C=1mXXT C = 1 m X X T <script type="math/tex" id="MathJax-Element-2">C=\frac{1}{m}XX^T</script>
（3）求出C的特征值，特征向量，将特征值排序
（4）选出前面最大的几个特征值，其和占所有特征值和的80%以上，找出对应的特征向量组成矩阵P
（5）Y=PX即为降维后的数据

4PCA协方差SVD分解

下面介绍线性回归与2维PCA的区别：虽然都是找一条直线去拟合但是计算loss的方式不同（垂直），PCA没有标签Y（非监督）。

• PCA和LR是不同的算法，PCA计算的是投影误差，而LR计算的是预测值与实际值的误差。 PCA中只有特征没有标签数据y，LR中既有特征样本也有标签数据。

• 求出协方差矩阵的特征值及对应的特征向量（使用svd函数）。
• 特征向量最能代表原数据

SVD可以分解不是方阵的矩阵