(一) 利用中频信号的相位变化对单个物体进行测速：

中频信号的相位对微小移动非常敏感

雷达发射两个由时间 $T_c$ 隔开的线性调频波，得到各自的中频信号之后，比较两者的峰值相位差（起始相位差），如果物体以速度 $v$ 移动，则有如下公式：
$$\Delta \Phi =\frac{4\pi \Delta d}{\lambda }=\frac{4\pi T_c\cdot v}{\lambda }\to v=\frac{\lambda \Delta \Phi }{4\pi T_c}$$

• 相位差大于零，说明目标向前，速度为正；

• 相位差小于零，说明目标向后，速度为负。

Tips： 理论上也可以利用中频信号的频率变化测速，但当微小时间内，目标的移动距离小于距离分辨率时，就只能利用相位变化测速（通常精度也更高）。

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(二) 单个物体的测速极限：

由于相位特有的 $180°$ 模糊问题，所以只有当相位差介于正负 $180°$ 或正负 $\pi$ 弧度之间时，才能清楚地测量出速度。

弧度制的具体公式如下：
$$\begin{gathered} \because |\Delta \Phi |<\pi ，\Delta \Phi =\frac{4\pi T_c\cdot v}{\lambda } \\ \therefore \frac{4\pi T_c\cdot v}{\lambda }<\pi \to v<\frac{\lambda }{4T_c} \end{gathered}$$
上述公式中的 $v$ 单位一般为 $m/s$ ，$\lambda$ 的单位一般是 $m$ ，$T_c$ 的单位一般是 $s$ ，线性调频脉冲越密集（调制时间越短），可测得的速度上限就越高。

以 $\lambda =4mm$ ，$T_c=40us$ 为例，最大可测量速度为 $25m/s$ （$90km/h$）。

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(三) Doppler-FFT（多普勒FFT）：

当同时面对多个物体时，只发射两个调频波是不行的。

1）情形一：

当一个物体在距离雷达一定距离外的微小距离 $\Delta d$ 内周期性振动时，相位随时间的变化可以用来估计振动的幅度和周期性。

​ 下图中的右方圆圈箭头，是复数的相量表示法，与水平正轴的夹角为相位。

2）情形二：

当一个物体以恒定速度沿着雷达反方向移动时，用雷达对其发射一组等间隔的 FMCW 波（假设为N个 chirp ），遇到该物体得到反射信号，提取出 N 个中频信号的峰值点的值（是复数，相量表示法为 $A{e}^{j\Phi }$ ）（其中 $\Phi$ 为此中频信号的初始相位）。这 N 个复数组成了一组离散序列，并且由于物体移速和 chirps 间隔都是恒定的，所以序列的间隔也是恒定的（序列值的模不变，相邻相位之间的差值是固定的）。对这一组离散序列作 FFT ，可以得到其数字角频率（相位变化率）。

3）情形三：

当两个物体与雷达的距离近似，但以不同的恒定速度沿着雷达反方向移动时，用雷达发射一组等间隔的 FMCW 波（假设为N个 chirp ），执行情形二的一系列操作，可以得到两个数字角频率（相位变化率）。

此时，当 数字角频率=相邻序列之间的相位差 时，则这两个物体的速度，可以由以下公式求出：
$$\begin{gathered} v=\frac{\lambda \Delta \Phi }{4\pi T_c}=\frac{\lambda \omega }{4\pi T_c} \\ like\to v_1=\frac{\lambda {\omega }_1}{4\pi T_c}，v_2=\frac{\lambda {\omega }_2}{4\pi T_c} \end{gathered}$$

4）总结

上述情形二和情形三中的FFT使用方法就叫做 $DopplerFFT$ 。

在实际工程中， $DopplerFFT$ 是对 $RangeFFT$ 的结果稍作处理后，直接进行 $FFT$ 。

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(四) Doppler FFT的速度分辨率：

根据 DSP 中数字角频率分辨率公式，以及速度和角频率公式，可以得出：

$$\begin{gathered} \Delta \omega =\frac{4\pi \cdot \Delta v\cdot T_c}{\lambda } \\ \because 要满足\Delta \omega >\frac{2\pi }{N} \\ \therefore 可推出\to \Delta v>\frac{\lambda }{2N{T}_c} \end{gathered}$$

$N{T}_c$ 可以近似等于帧（$frame$）时间 $T_f$ 【理论上是 $(N-1)T_c$ 】，则有：
$$\Delta v>\frac{\lambda }{2T_f},v_{res}=\frac{\lambda }{2T_f}$$

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