1. 背景

如何求解非凸优化问题，一直是无数学者冥思苦想的问题。事实上，一般的非凸优化问题大概率是NP-hard的，所以，除非P=NP，否则想要用通用的求解方法来在有限时间内求解，几乎是不可能的。然而，对于非凸优化中相对比较简单的部分，我们可以找到一些转换方法，来巧妙地进行求解。比如混合0-1非凸二次规划(mixed binary nonconvex quadratic program)，就可以用本文介绍的共正规划(Copositive Programming,CP)方法来解决。

具体来说，CP是半定规划 (Semidefinite Programming, SDP)的一个推广，通过CP方法，混合0-1非凸二次规划问题可以被转化成一个有线性目标函数且带completely positive约束的凸问题。这一转换方法适用于许多组合优化、鲁棒优化问题的模型特点，为解决这些问题提供了一种思路。

本文借鉴了https://zhuanlan.zhihu.com/p/34772469的结构，并在此文的基础上，对CP的思路做了更详细的解释，并进行了延伸和拓展。因为篇幅有限，证明过程请读者参阅参考文献。

2. 如何用共正规划求解二次非凸优化问题

在正式介绍CP之前，我们先定义以下的记号。我们定义
$${\mathcal{C}}_q:=\left\{X\in {\mathbb{R}}^{q\times q}:X=X^T,v^{T}Xv\ge 0,\forall v\in {\mathbb{R}}_{+}^q\right\}$$
为$q$阶共正矩阵(Copositive Matrix)的集合；定义
Cq∗:={X∈Rq×q:X=∑k∈[K]zk(zk)Tfor some finite {zk}k∈[K]⊂R+q}\mathcal{C}_q^*:=\left\{X\in\mathbb{R}^{q\times q}: X=\sum_{k\in [K]}z^k(z^k)^T \quad {\rm{for \ some \ finite\ }} \{z^k\}_{k\in[K]} \subset \mathbb{R}^q_+ \right\}Cq∗​:=⎩⎨⎧​X∈Rq×q:X=k∈[K]∑​zk(zk)Tfor some finite {zk}k∈[K]​⊂R+q​⎭⎬⎫​
为$q$阶全正(Completely positive Matrix)的集合。不难发现，${\mathcal{C}}_q$和${\mathcal{C}}_q^{\ast }$都是锥。同时，可以证明${\mathcal{C}}_q$和${\mathcal{C}}_q^{\ast }$互为对偶锥 (Burer, 2008)。${\mathcal{C}}_q$和${\mathcal{C}}_q^{\ast }$的对偶性正是CP问题的根本所在。

2.1 引入：一维空间

考虑一维优化问题
$$\begin{array}{cc}{v}^{\ast }:=& \min H_{11}{x}_1^2+2g_1{x}_1\\ & \text{s.t.}-1\le x_1\le 1\end{array}$$
为了解决这个问题，可以使用标准的微积分方法，分析在 $(-1,1)$区间内的关键点处的二次目标函数 $H_{11}{x}_1^2+2g_1{x}_1$，以及端点 $-1$ 和 $1$ 处的值。然而，在这里我们寻求一个等价的凸优化问题。令F:={x1:−1≤x≤1}\mathcal{F}:=\{x_1:-1\leq x\leq 1\}F:={x1​:−1≤x≤1}，这个问题可以被等价地转化成
$$\begin{array}{ccc}{v}^{\ast }=& \min & H_{11}{X}_{11}+2g_1{x}_1\\ & \text{s.t. }& x_1\in F,X_{11}=x_1^2\end{array}$$
在这个基础上，我们可以再来做一步松弛，得到一个更简洁的约束条件
$$\begin{array}{ccc}{v}^{\ast }=& \min & H_{11}{X}_{11}+2g_1{x}_1\\ & \text{s.t. }& x_1^2\le X_{11}\le 1\end{array}$$
这个松弛的几何意义如下图所示，简单来说，我们将$(x_1,X_{11})$从左图的$x_1\in \mathcal{F}$，$x_1^2=X_{11}$放松到了一个convex hull上。如此一来，$x_1$和$X_{11}$可以被视为两个变量来处理，目标函数变成线性，同时，很容易验证这个松弛保持了最优值的不变。同时，我们还注意到，虽然右图中的最优值对应的$(x_1,X_{11})$不一定唯一，但是所有的最优值都属于一个convex hull。这些性质会延续到后面的推广中。

2.2 拓展到二维和三维空间

下面我们考虑以下的二维问题
$$\begin{array}{ccc}{v}^{\ast }=& \min & ⟨H,X⟩+2⟨g,x⟩\\ & \text{s.t. }& Ax\le b,X=x{x}^T,x\in {\mathbb{R}}^2\end{array}$$
这里，$⟨P,Q⟩=\mathrm{trace}(QP)={\sum }_{i\in [n]}{\sum }_{j\in [n]}{p}_{ij}{q}_{ij}$。我们还要求$A\in {\mathbb{R}}^{3\times 2}$，$b\in {\mathbb{R}}^3$，这使得这个问题的可行域是一个三角形（不失一般性，我们假设可行域非空）。我们记${\mathcal{G}}_0:=\{(x,x{x}^T):x\in \mathcal{F}\}$，其中$\mathcal{F}$是$x$的可行域。类似一维的情况，我们希望能将${\mathcal{G}}_0$做松弛，同时解除$X=x{x}^T$的约束，将该问题的目标函数变成线性的。一个自然的做法是，将${\mathcal{G}}_0$松弛为$\mathcal{G}:=\overline{\mathrm{conv}}\{(x,x{x}^T):x\in \mathcal{F}\}$。

做松弛之后，我们发现，在$\dim (A)\le 3$的时候，我们可以证明，$\mathcal{G}$可以被等价地转换成以下的形式（$P⪰0$表示矩阵$P$是正半定的）：
$$\mathcal{G}=\left\{(x,X):Y⪰0,CY{C}^T\ge 0\right\},\mathrm{where}Y=\left(\begin{array}{cc}1& x^T\\ x& X\end{array}\right),C=(b,-A).$$
因此，原问题也就被松弛为：
$$\begin{array}{lll}{v}^{\ast }=& \min & ⟨H,X⟩+2⟨g,x⟩\\ & \text{s.t.}& b{b}^T-Ax{b}^T-b{x}^T{A}^T+AX{A}^T\ge 0\\ & & \left(\begin{array}{cc}1& x^T\\ x& X\end{array}\right)⪰0.\end{array}$$
我们还关心这个松弛是不是紧的，即松弛后的最优值是否和原问题的最优值相等。事实上，这个松弛实际上符合正半定规划(Semidefinite Programming,SDP)的形式，而SDP正是CP问题的一个特例，因此这个松弛的强对偶性质可以由SDP的相关方法得到。

同时，由于$\dim (A)\le 3$时，上面的转换都成立，所以以上方法可以自然地推广到三维空间。

2.3 拓展到更高维度的空间&0-1变量

我们继续考虑更高维度的空间，由于取消了维度限制，我们可以通过引入松弛变量的方式把不等式约束转换成等式约束，并允许部分变量为0-1变量。因此我们讨论以下的mixed binary nonconvex quadratic program问题：
v∗=min⁡⟨H,X⟩+2⟨g,x⟩s.t. aiTx=bi,∀i∈[m]X=xxT{xj∈{0,1},∀j∈Bxj≥0,∀j∈[n]\B\begin{array}{lllll} v^* = &\min & \langle H,X \rangle + 2\langle g,x \rangle \\ &\text{s.t. } & a_i^T x = b_i, \quad \forall i \in [m] \\ && X = x x^T\\ && \left\{ \begin{array}{lll} x_j \in \{0,1\}, &\forall j \in B \\ x_j \geq 0, &\forall j \in [n] \backslash B \end{array} \right. \end{array}v∗=​mins.t. ​⟨H,X⟩+2⟨g,x⟩aiT​x=bi​,∀i∈[m]X=xxT{xj​∈{0,1},xj​≥0,​∀j∈B∀j∈[n]\B​​
类似低维的情况，我们也可以为这个问题找到一个松弛，即
$$\begin{array}{lll}{v}^{\ast }=& \min & ⟨H,X⟩+2⟨g,x⟩\\ & \text{s.t. }& a_i^{T}x=b_i,\forall i\in [m]\\ & & a_i^{T}X{a}_i=b_i^2\forall i\in [m]\\ & & x_j=X_{jj},\forall j\in B\\ & & \left(\begin{array}{cc}1& x^T\\ x& X\end{array}\right)\in {\mathcal{C}}_{1+n}^{\ast }\end{array}$$
相比于更低维度的问题，我们同样解除了二次约束$X=x{x}^T$，将原问题转化成一个有线性目标函数且带completely positive约束的凸问题。关于强对偶性质，我们可以证明，两个问题的最优解是相同的。同时，如果$(x^{\ast },X^{\ast })$是原问题的一个最优解，则$x^{\ast }$一定在松弛问题的最优解集的convex hull里。由于篇幅限制，具体的证明过程无法在此处展开，读者可以参考。

2.4 讨论：以上的问题为什么叫copositive programming

到目前为止，我们似乎都没有用到${\mathcal{C}}_q$这个所谓的copositive matrices集合，那么为什么以上这套转换方法被称为copositive programming呢？其实，上述quadratic programming问题是copositive programming的一个特例。首先，copositive programming的标准形式是：
$$\begin{array}{lll}{v}^{\ast }=& \min & ⟨H,X⟩\\ & \text{s.t.}& ⟨A_i,X⟩=c_i,\forall i\in [m]\\ & & X\in {\mathcal{C}}_q.\end{array}$$
对于(2.6)中的问题（先不考虑0-1约束），我们令$A_i=a_i{a}_i^T$，$c_i=b_i^2$，同时做适当变换消除目标函数中的一次项，即可得到
$$\begin{array}{lll}{v}^{\ast }=& \min & ⟨H,X⟩\\ & \text{s.t.}& ⟨A_i,X⟩=c_i,\forall i\in [m]\\ & & X=x{x}^T\end{array}$$
注意到$X=x{x}^T$等价于$X⪰0$且$\text{Rank}(X)=1$，因此(2.9)可以松弛为
$$\begin{array}{lll}{v}^{\ast }=& \min & ⟨H,X⟩\\ & \text{s.t.}& ⟨A_i,X⟩=c_i,\forall i\in [m]\\ & & X⪰0\end{array}$$
同时，由于positive semidefinite matrices是copositive matrices的子集，因此(2.10)可以松弛成(2.8)的copositive programming标准形式。进一步，(2.8)可以通过Lagrangian松弛变为如下的对偶问题。
$$\begin{array}{lll}{v}^{\ast \ast }=& \max & {\sum }_{i=1}^m{c}_i{y}_i\\ & \text{s.t.}& H-{\sum }_{i=1}^m{y}_i{A}_i=S\\ & & S\in {\mathcal{C}}_q^{\ast }\end{array}$$
我们发现，如果把(2.8)和(2.11)中的$X\in {\mathcal{C}}_q$和$S\in {\mathcal{C}}_q^{\ast }$更改为 $X⪰0$和$S⪰0$，则copositive programming变为标准的semidefinite programming。这进一步说明了为什么CP问题是SDP问题的一个拓展。

3. 共正规划求解二次非凸优化问题方法的应用

我们以On the Design of Sparse but Efficient Structures in Operations这篇文章为例，简单介绍一下共正规划的实际应用的可能性。事实上，验证一个问题可以被建模为共正规划问题，或者换言之，验证一个矩阵是copositive matrix，本身已经是一个NP-hard的问题。因此，应用共正规划方法求解问题，其核心在于：如何通过问题本身的特性，证明某一类实际问题可以等价于（或者至少对偶于）一个共正规划问题。

这篇文章研究了以下的问题：

在某些运营管理系统下，需要设计网络结构以应对随机需求。例如：a) 制造业中，工厂需要生产多种产品，但每条产线能生产的产品种类是有限的，工厂需要合理安排每条产线可生产的产品种类，以优化成本；b) 供应链管理中，每个供应商能覆盖的地区范围是有限的，需要优化最少的供应商网络，仍然保证能满足整个市场的需求。

在这类问题中，我们考虑两种极端情况下的网络：a)全连接网络，所有可能的连接都存在，能满足任何需求或任务，但这种网络同时却成本高昂、复杂度高；b)刚性网络，采用结构简单的网络，使用最少的连接以满足需求，但同时却又有适应性差的问题，一旦需求波动，效率会急剧下降。经验告诉我们，在很多实际应用中，删除 80% 以上的连接，仍然可以保持 95% 以上的系统性能。因此，我们需要寻找“稀疏但高效(Sparse but Efficient)”的网络，在平衡成本的同时，保证系统的鲁棒性。

这类问题可以被建模成以下的数学模型：
Z(d~)=min⁡xij∑(i,j)∈G(V,A)cijxijs.t.∑i∈V0∪{s},(i,j)∈Axij≥d~j,j∈V0,∑i∈V0∪{s},(i,j)∈Axij−∑i∈V0∪{t}(j,i)∈Axji=0,j∈V0,xij≥0.\begin{array}{llll} Z(\tilde{d}) = & \min_{x_{ij}} &\sum_{(i,j) \in \mathcal{G}(\mathcal{V}, \mathcal{A})} c_{ij}x_{ij} \\ &\text{s.t.} \quad & \sum_{i \in \mathcal{V}_0 \cup \{s\}, (i,j) \in \mathcal{A}} x_{ij} \geq \tilde{d}_j, \quad j \in \mathcal{V}_0, \\ && \sum_{i \in \mathcal{V}_0 \cup \{s\}, (i,j) \in \mathcal{A}} x_{ij} - \sum_{i \in \mathcal{V}_0 \cup \{t\}(j,i) \in \mathcal{A}} x_{ji} = 0, \quad j \in \mathcal{V}_0, \\ && x_{ij} \geq 0. \end{array}Z(d~)=​minxij​​s.t.​∑(i,j)∈G(V,A)​cij​xij​∑i∈V0​∪{s},(i,j)∈A​xij​≥d~j​,j∈V0​,∑i∈V0​∪{s},(i,j)∈A​xij​−∑i∈V0​∪{t}(j,i)∈A​xji​=0,j∈V0​,xij​≥0.​
其中，$\mathcal{G}(\mathcal{V},\mathcal{A})$是某种网络结构，其中$s$是source node，$t$是sink node，所有的流量均通过网络$\mathcal{G}$从$s$流到$t$。$\tilde{d}$是有随机性的需求，并假设已知$\tilde{d}$的一阶矩和二阶矩。$Z(\tilde{d})$是在给定网络结构$\mathcal{G}$和需求$\tilde{d}$的前提下，能满足需求$\tilde{d}$的最小成本。问题的目标是求解分布鲁棒优化问题
$$Z_P=\underset{\tilde{\mathbf{d}}\sim ({\mu }_d,{\Sigma }_d)}{\sup }\mathbb{E}[Z(\tilde{\mathbf{d}})].$$
下面我们主要展示本文如何将$Z_P$利用CP技巧进行转化的。我们首先找到$(3.1)$的对偶：
$$Z(\tilde{\mathbf{d}})=\underset{(y,z)\in \mathcal{X}}{\max }\sum _{j\in {\mathcal{V}}_0}{\tilde{d}}_j{y}_j$$
其中
X={(yz)|yj+zj+sj=csj,j∈V0(1−cij)(yj+zj)(1−zi)=0,(i,j)∈A0y,z,s∈{0,1}n}\mathcal{X} = \left\{ \begin{pmatrix} \mathbf{y} \\ \mathbf{z} \end{pmatrix} \middle| \begin{aligned} & y_j + z_j + s_j = c_{sj}, \quad j \in \mathcal{V}_0 \\ & (1 - c_{ij})(y_j + z_j)(1 - z_i) = 0, \quad (i,j) \in \mathcal{A}_0 \\ & \mathbf{y}, \mathbf{z}, \mathbf{s} \in \{0,1\}^n \end{aligned} \right\}X=⎩⎨⎧​(yz​)​​yj​+zj​+sj​=csj​,j∈V0​(1−cij​)(yj​+zj​)(1−zi​)=0,(i,j)∈A0​y,z,s∈{0,1}n​⎭⎬⎫​
难点在于$Z_P$和$\tilde{d}$相关，而$\tilde{d}$是一个随机变量，如何将其转化成确定性优化的形式呢？作者证明，这个问题可以做如下的转换。首先，我们令$\mathbf{x}=(\mathbf{y}\mathbf{z}{)}^T$作为新的问题变量，原问题$(3.3)$可以重新表述为：
Z(d~)=max⁡xd~⊤xs.t.ai⊤x=bi,∀i,(hi⊤x+fi)(h^j⊤x+f^j)=0,∀(i,j)∈H,xi∈{0,1},∀i∈B.\begin{array}{lll} Z(\tilde{\mathbf{d}}) = &\max_{\mathbf{x}} &\tilde{\mathbf{d}}^\top \mathbf{x} \\ &\text{s.t.} &a_i^\top \mathbf{x} = b_i, \quad \forall i, \\ &&(h_i^\top \mathbf{x} + f_i)(\hat{h}_j^\top \mathbf{x} + \hat{f}_j) = 0, \quad \forall (i, j) \in \mathscr{H}, \\ &&x_i \in \{0,1\}, \quad \forall i \in \mathscr{B}. \end{array}Z(d~)=​maxx​s.t.​d~⊤xai⊤​x=bi​,∀i,(hi⊤​x+fi​)(h^j⊤​x+f^​j​)=0,∀(i,j)∈H,xi​∈{0,1},∀i∈B.​
由于我们只知道$\tilde{d}$的一阶矩和二阶矩信息，因此我们定义以下的变量：
a)期望变量 $\mathbf{p}:=\mathbb{E}[\mathbf{x}(\tilde{\mathbf{d}})]\in {\mathbb{R}}_{+}^N$，
b)二阶矩阵$\mathbf{Y}:=\mathbb{E}[\mathbf{x}(\tilde{\mathbf{d}}){\tilde{\mathbf{d}}}^{\top }]\in {\mathbb{R}}_{+}^{N\times N}$
c)协同矩阵$\mathbf{X}:=\mathbb{E}[\mathbf{x}(\tilde{\mathbf{d}})\mathbf{x}(\tilde{\mathbf{d}}{)}^{\top }]\in {\mathbb{R}}_{+}^{N\times N}$。同时，我们还可以注意到：
$$\mathbb{E}\left[\left(\begin{array}{c}1\\ \tilde{\mathbf{d}}\\ \mathbf{x}(\tilde{\mathbf{d}})\end{array}\right){\left(\begin{array}{c}1\\ \tilde{\mathbf{d}}\\ \mathbf{x}(\tilde{\mathbf{d}})\end{array}\right)}^{\top }\right]=\left(\begin{array}{ccc}1& {\mu }_d^{\top }& {\mathbf{p}}^{\top }\\ {\mu }_d& {\Sigma }_d& {\mathbf{Y}}^{\top }\\ \mathbf{p}& \mathbf{Y}& \mathbf{X}\end{array}\right)$$
根据定义，这个矩阵显然是completely positive的，且完整包含了$\tilde{d}$的分布信息。利用以上定义的变量，可以将问题$(3.4)$利用2.3节中介绍的方法写成下面的Completely positive programming问题。
$$\begin{array}{lll}{Z}_C=& \max & I\cdot \mathbf{Y}\\ & \text{s.t.}& {\mathbf{a}}_i^{\top }\mathbf{p}=b_i,\forall i=1,\dots ,M;\\ & & {\mathbf{a}}_i^{\top }X{\mathbf{a}}_i=b_i^2,\forall i=1,\dots ,M;\\ & & X_{ii}=p_i,\forall i\in \mathcal{B};\\ & & {\mathbf{h}}_i^{\top }X{\hat{\mathbf{h}}}_j+(f_i{\hat{\mathbf{h}}}_j^{\top }+{\hat{f}}_j{\mathbf{h}}_i^{\top })\mathbf{p}+f_i{\hat{f}}_j=0,(i,j)\in \mathcal{H};\\ & & CP=\left(\begin{array}{ccc}1& {\mu }^{\top }& {\mathbf{p}}^{\top }\\ \mu & \Sigma & {\mathbf{Y}}^{\top }\\ \mathbf{p}& \mathbf{Y}& X\end{array}\right)\in {\mathcal{C}}_{2N+1}^{\ast };\\ & & \mu ={\mu }_d;\\ & & \Sigma ={\Sigma }_d.\end{array}$$

4. 小结

共正优化（Copositive Programming, CPP）是一类强大但计算复杂的凸优化问题，在组合优化、博弈论和机器学习等领域具有广泛应用。其核心思想是利用共正矩阵锥（Copositive Cone）来刻画约束，使得许多难解的非凸问题能够转化为凸优化问题求解。同时，我们可以将共正优化问题的对偶形式转化为完全正优化（Completely Positive Programming, CPP），其中决策变量属于完全正矩阵锥（Completely Positive Cone）。这种对偶关系为求解共正优化问题提供了新的思路，同时也揭示了共正锥与完全正锥之间的数学联系。

虽然共正优化在理论上提供了强大的建模能力，但由于共正锥的描述涉及所有非负向量，计算复杂度较高，因此在实际研究中不如半定规划深入。我们同样期待着共正优化在更多实际问题中的应用。

5. 参考文献

Burer, S. (2008). On the copositive representation of binary and continuous nonconvex quadratic programs. Mathematical Programming, 120(2), 479-495. doi:10.1007/s10107-008-0223-z

Dür, M. (2010). Copositive programming–a survey. Recent Advances in Optimization and its Applications in Engineering: The 14th Belgian-French-German Conference on Optimization (pp. 3-20). Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg.

Burer, S. (2015). A gentle, geometric introduction to copositive optimization. Mathematical Programming, 151(1), 89-116. doi:10.1007/s10107-015-0888-z

Yan, Z., Gao, S. Y., & Teo, C. P. (2018). On the Design of Sparse but Efficient Structures in Operations. Management Science, 64(7), 3421-3445. doi:10.1287/mnsc.2017.2761