面向通感一体（ISAC）的 TDOA 定位原理与方法：从信号模型到稳健求解

前言

时差定位（Time Difference of Arrival, TDOA）以多基站同步接收同一发射体（如终端/目标）的信号，通过到达时间差构造双曲线约束来估计二维/三维位置。通感一体（Integrated Sensing And Communications, ISAC）强调通信波形复用感知：网络侧或用户侧不必额外发送“雷达专用波形”，而是在 OFDM/同步/参考信号等通信资源上完成感知。TDOA 与 ISAC 的结合具有硬件重用、时频复用与网络协同的优势，但也带来网络时钟同步、NLoS 偏差、几何可观测性等工程挑战。

正文

1. ISAC-TDOA 场景与符号

考虑 $M$ 个已知坐标的感知通信基站（TRP），目标/终端位置为 $\mathbf{p}\in {\mathbb{R}}^d$（通常 (d=2) 或 (3)），第 (m) 个 TRP 的坐标为 ${\mathbf{s}}_m\in {\mathbb{R}}^d$。

• $M$：TRP 数量；

• $\mathbf{p}$：未知位置向量；

• ${\mathbf{s}}_m$：第 $m$ 个 TRP 的位置向量；

• $c$：光速；

• $d$：维度。

2. 通感一体下的接收信号模型

ISAC 复用通信探针（如 OFDM 参考信号、Zadoff-Chu 序列等）。连续时间基带接收模型为
$$r_m(t)=\sum _{\ell =1}^{L_m}{a}_{m,\ell }s\left(t-{\tau }_{m,\ell }\right)+n_m(t).$$
变量说明：

• $r_m(t)$：第 $m$ 个 TRP 的接收信号；

• $s(t)$：已知发射基带探针/参考信号；

• $L_m$：该链路的多径条数；

• $a_{m,\ell }$：第 $\ell$条多径的复幅度（含衰落/相移/反射损耗）；

• ${\tau }_{m,\ell }$：该多径的传播时延；

• $n_m(t)$：复加性高斯噪声（AWGN）。

若存在直达（LoS）路径，其时延为
$${\tau }_{m,\mathrm{LoS}}=\frac{|\mathbf{p}-{\mathbf{s}}_m|}{c}.$$
变量说明：$|\cdot |$ 表示欧氏范数；其余变量同上。

在单次弹射 NLoS 近似下$UE\to 散射体\mathbf{q})\to TRP$，主径时延为
$${\tau }_{m,\mathrm{NLoS}}=\frac{|\mathbf{p}-\mathbf{q}|+|\mathbf{q}-{\mathbf{s}}_m|}{c}.$$
变量说明：$\mathbf{q}$ 为散射体位置向量，其余变量同上。

3. TOA 估计与时间分辨率

匹配滤波互相关输出
$$y_m(\tau )=\int r_m(t)s^{\ast }(t-\tau )\mathrm{d}t=(r_m\star s^{\ast })(\tau )$$
变量说明：$y_m(\tau )$ 为相关输出；${}^{\ast }$ 共轭；$\star$ 互相关算子；$\tau$ 为扫描时延。

TOA 估计量取峰值处
$${\hat{\tau }}_m=\arg \underset{\tau }{\max }|y_m(\tau )|.$$
变量说明：${\hat{\tau }}_m$ 为第 $m$ 站 TOA 估计；其余同上。

带宽 $B$ 与 SNR 决定 TOA 精度，常用近似为
$${\sigma }_{\tau }\propto \frac{1}{B\sqrt{\mathrm{SNR}}}.$$
变量说明：${\sigma }_{\tau }$ 为 TOA 标准差；$B$ 为有效信号带宽；$\mathrm{SNR}$ 为接收信噪比。
相应距离分辨率近似为
$$\Delta r\approx c\Delta \tau \approx \frac{c}{B}.$$
变量说明：$\Delta r$ 为最小可分距离步进；$\Delta \tau \approx 1/B$ 为时间分辨率；其余同上。

4. TDOA 量测形成与双曲线几何

选定参考站 $m=1$，第 $i$ 站与参考站的时差
$$\Delta {\hat{\tau }}_{i1}={\hat{\tau }}_i-{\hat{\tau }}_1,i=2,\dots ,M.$$
变量说明：$\Delta {\hat{\tau }}_{i1}$ 为估计的到达时间差；${\hat{\tau }}_i,{\hat{\tau }}_1$ 分别为第 $i$ 站与参考站的 TOA 估计。

把时差换算为差距程量测
$${\rho }_i=c\Delta {\hat{\tau }}_{i1},i=2,\dots ,M,$$
变量说明：${\rho }_i$ 为第 $i$ 站相对参考站的距离差估计；$c$ 为光速；$\Delta {\hat{\tau }}_{i1}$ 如上。

理想几何关系满足双曲线方程
$$|\mathbf{p}-{\mathbf{s}}_i|-|\mathbf{p}-{\mathbf{s}}_1|={\rho }_i,i=2,\dots ,M.$$
变量说明：$\mathbf{p}$ 为未知位置；${\mathbf{s}}_i,{\mathbf{s}}_1$ 为 TRP 坐标；${\rho }_i$ 为差距程量测。

5. 非线性最小二乘与高斯-牛顿/LM

将所有方程写成残差向量
$$\mathbf{r}(\mathbf{p})=\left[\begin{array}{c}(|\mathbf{p}-{\mathbf{s}}_2|-|\mathbf{p}-{\mathbf{s}}_1|)-{\rho }_2\\ ⋮\\ (|\mathbf{p}-{\mathbf{s}}_M|-|\mathbf{p}-{\mathbf{s}}_1|)-{\rho }_M\end{array}\right].$$
变量说明：$\mathbf{r}(\mathbf{p})\in {\mathbb{R}}^{M-1}$ 为残差；$\mathbf{p}$、${\mathbf{s}}_m$、${\rho }_i$ 同上。

加权非线性最小二乘目标
$$J(\mathbf{p})=\mathbf{r}(\mathbf{p}{)}^{\mathsf{T}}\mathbf{Wr}(\mathbf{p}),$$
变量说明：$J(\mathbf{p})$ 为加权二乘代价；$\mathbf{W}=\mathrm{diag}(w_i)\succ 0$ 为对角权阵，$w_i$ 可由相关峰值/SNR 设定。

雅可比矩阵第 $i-1$ 行（对应量测 ${\rho }_i$)为
$${\mathbf{J}}_{i-1,:}(\mathbf{p})=\frac{\mathbf{p}-{\mathbf{s}}_i}{|\mathbf{p}-{\mathbf{s}}_i|}-\frac{\mathbf{p}-{\mathbf{s}}_1}{|\mathbf{p}-{\mathbf{s}}_1|}.$$
变量说明：$\mathbf{J}\in {\mathbb{R}}^{(M-1)\times d}$ 为雅可比；其余变量同上。

高斯-牛顿（GN） 更新
$${\mathbf{p}}_{k+1}={\mathbf{p}}_k-({\mathbf{J}}^{\mathsf{T}}\mathbf{WJ}{)}^{-1}{\mathbf{J}}^{\mathsf{T}}\mathbf{Wr}.$$
变量说明：${\mathbf{p}}_k$ 为第 $k$ 次迭代位置；$\mathbf{J}$、$\mathbf{W}$、$\mathbf{r}$ 同上。

为增强数值稳定与收敛域，采用Levenberg–Marquardt（LM）
$${\mathbf{p}}_{k+1}={\mathbf{p}}_k-({\mathbf{J}}^{\mathsf{T}}\mathbf{WJ}+\lambda \mathbf{D}{)}^{-1}{\mathbf{J}}^{\mathsf{T}}\mathbf{Wr}.$$
变量说明：$\lambda >0$ 为阻尼系数（自适应增减）；$\mathbf{D}⪰0$ 为对角尺度矩阵（常取 $\mathbf{D}=\mathrm{diag}({\mathbf{J}}^{\mathsf{T}}\mathbf{WJ})$）；其余同上。

6. 统计性能与几何因子（CRLB/GDOP）

将差距程量测噪声视为独立高斯：${\rho }_i={\rho }_i^{\mathrm{true}}+v_i$，$v_i\sim \mathcal{N}(0,{\sigma }_{\rho ,i}^2)$。费舍尔信息矩阵
$$\mathbf{F}=\sum _{i=2}^M\frac{1}{{\sigma }_{\rho ,i}^2}{\mathbf{g}}_i{\mathbf{g}}_i^{\mathsf{T}},{\mathbf{g}}_i=\frac{\partial }{\partial \mathbf{p}}(|\mathbf{p}-{\mathbf{s}}_i|-|\mathbf{p}-{\mathbf{s}}_1|)={\mathbf{u}}_i-{\mathbf{u}}_1,$$
变量说明：$\mathbf{F}\in {\mathbb{R}}^{d\times d}$ 为费舍尔信息矩阵；${\mathbf{g}}_i$ 为量测梯度；${\mathbf{u}}_m=(\mathbf{p}-{\mathbf{s}}_m)/|\mathbf{p}-{\mathbf{s}}_m|$ 为指向 $m$ 站的单位方向向量；${\sigma }_{\rho ,i}^2$ 为差距程方差。

CRLB 与 GDOP
$$\mathrm{Cov}(\hat{\mathbf{p}})⪰{\mathbf{F}}^{-1},\mathrm{GDOP}=\sqrt{\mathrm{trace}({\mathbf{F}}^{-1})}.$$
变量说明：$\mathrm{Cov}(\hat{\mathbf{p}})$ 为估计协方差下界；$\mathrm{GDOP}$ 为几何稀释因子；$\mathrm{trace}(\cdot )$ 为迹算子。

注意：若采用时差而非差距程建模且 TOA 方差为 ${\sigma }_{\tau ,i}^2$，则有 ${\sigma }_{\rho ,i}^2=c^2{\sigma }_{\tau ,i}^2$。

7. 网络时钟与 ISAC 同步

在 ISAC-TDOA 中，终端/目标的发射时钟偏差会在时差中消去，但TRP 间相对时钟偏差必须受控在纳秒量级。时差模型含同步误差时
$$\Delta {\hat{\tau }}_{i1}=({\tau }_i-{\tau }_1)+{\delta }_{i1}+w_i,$$
变量说明：${\delta }_{i1}$ 为第 $i$ 与参考站的残余时钟偏差；$w_i$ 为测量噪声。
工程上可通过PTP/白兔同步、GNSS 共同授时、双向链路校时等抑制 ${\delta }_{i1}$，或在解算中将 ${\delta }_{i1}$ 一并估计（代价是未知数增多、可观测性下降）。

8. 多径/NLoS 偏差建模与鲁棒估计

NLoS 引入正偏：
$$b_m={\tau }_{m,\mathrm{NLoS}}-{\tau }_{m,\mathrm{LoS}}\ge 0,b_{i1}=b_i-b_1.$$
变量说明：$b_m$ 为第 $m$ 站 TOA 偏差；$b_{i1}$ 为对应 TDOA 偏差；其余变量同上。

将残差写成“含偏差”的形式
$$e_i(\mathbf{p})=(|\mathbf{p}-{\mathbf{s}}_i|-|\mathbf{p}-{\mathbf{s}}_1|)-{\rho }_i=b_{i1}+n_i,$$
变量说明：$e_i$为第 $i$ 条量测的建模误差；$n_i$ 为零均噪声；$b_{i1}$为系统性正偏。

为抑制 NLoS，采用鲁棒损失（Huber 例）
$$\underset{\mathbf{p}}{\min }\sum _{i=2}^M{\rho }_{\delta }\left(\frac{e_i(\mathbf{p})}{{\sigma }_{\rho ,i}}\right),$$
变量说明：${\rho }_{\delta }(\cdot )$ 为 Huber 损失，阈值 $\delta >0$；${\sigma }_{\rho ,i}$ 为量测尺度；$e_i(\mathbf{p})$ 如上。
实现上可转为迭代再加权最小二乘（IRLS），其本质是给大残差量测更小权重。

9. 初值、门控与数值稳健

• 初值：常取TRP 几何中心、或双曲线对的解析交点作为 ${\mathbf{p}}_0$。

• 量测门控：若 $|{\rho }_i|$ 超出几何上界（场地对角线 + 最大基站间距）或相关峰过低，则剔除。

• 阻尼/步长裁剪：LM 的 $\lambda$ 自适应增减，必要时对位移 $|\Delta \mathbf{p}|$ 裁剪以避免越界。

• 权重：$\mathbf{W}$ 可取相关峰幅/估计 SNR 的函数并加地板，防止退化。

• 可观测性：平面 (d=2) 至少需要 1 个参考 + 2 个其它 TRP（三个站）；几何上避免近共线与“靠同侧”的布站，必要时在区域中心增设 TRP 以降低 GDOP。

  
  
  
  个人开源代码链接：https://github.com/hjHe-ee/TDOA-ISAC

总结

TDOA-ISAC 以通信参考信号完成到达时间差估计，并通过双曲线几何与加权非线性最小二乘/LM求解目标位置。