1.介绍

本文只介绍已知相机内参和外参的前提下，针对激光雷达坐标系到图像坐标系的转换关系做一个详细得解释（针对相机内参和外参的标定，可以私信）。

2.坐标系定义

2.1. 激光雷达坐标系（Lidar Frame，记为L系）

• 原点：雷达机械旋转轴的物理中心；
• X轴：正方向为雷达的正前方（机器人/车辆的前进方向）；
• Y轴：正方向为雷达的左侧（右手坐标系：X向前，四指从X向Z弯曲，大拇指指向Y轴正方向）；
• Z轴：正方向为垂直地面向上；
• 单位：米（m），雷达点云的坐标值均以米为单位。

2.2. 相机坐标系（Camera Frame，记为C系）

以针孔相机模型（OpenCV/KITTI通用）的标准定义为准：

• 原点：相机的光心（镜头的光学中心）；
• X轴：正方向为相机的右侧（与图像的宽度方向一致）；
• Y轴：正方向为相机的下方（与图像的高度方向一致）；
• Z轴：正方向为相机的正前方（光轴方向，朝向拍摄的场景）；
• 单位：米（m），与雷达坐标系单位统一。

2.3. 关键：两个坐标系的核心差异（必记！）

轴方向	雷达坐标系（L系）	相机坐标系（C系）
正前方	X轴正方向	Z轴正方向
左右	Y轴正方向=左	X轴正方向=右
上下	Z轴正方向=上	Y轴正方向=下

3.坐标系的转换

激光雷达坐标系到图像坐标系之间的转换需要两步来实现，其具体流程为：

3.1 激光雷达 → 相机坐标系（外参）

首先是将激光雷达坐标系到相机坐标系的转换，其计算公式为：

其中：

• $P_{lidar} = (X_l, Y_l, Z_l)$：激光雷达坐标系下的3D点

• $P_{camera} = (X_c, Y_c, Z_c)$：相机坐标系下的3D点

• $R$：激光雷达到相机的旋转矩阵（3×3 ）

• $T$：激光雷达到相机的平移向量（3×1）

R和T统称为相机的外参矩阵，这是根据外参标定来的。

将上述公式展开为：

• 左侧 第一列(Xc​,Yc​,Zc​) ：激光雷达点在相机坐标系下的3D坐标。

• 右侧第一项：旋转矩阵对激光雷达坐标做线性变换。

• 右侧第二项：激光雷达坐标系的3D点

• 右侧第三项：平移向量（平移后的旋转坐标系原点）。

举例：

3.1.1. 旋转矩阵

旋转矩阵的每一列表示激光雷达坐标轴在相机坐标系中的方向。

假设激光雷达到相机的外参矩阵为：

将上述公式写成向量的形式为：

其中：

• c1 = [0.00557177, 0.069586, 0.997561]ᵀ（激光雷达X轴在相机坐标系中的方向）

• c2 = [-0.999879, -0.0141175, 0.00656956]ᵀ（激光雷达Y轴在相机坐标系中的方向）

• c3 = [0.01454, -0.997476, 0.0694988]ᵀ（激光雷达Z轴在相机坐标系中的方向）

其具体的映射关系为：

X轴 (前方)    [0.0056, 0.0696, 0.9976]  → 几乎完全对齐 +Z
Y轴 (左侧)    [-0.9999, -0.0141, 0.0066] → 几乎完全对齐 -X 
Z轴 (上方)    [0.0145, -0.9975, 0.0695]  → 几乎完全对齐 -Y

注意：

• 上述矩阵的对应关系为： X→Z, Y→X, Z→Y，这里的对应关系不是固定的，绝对值大的元素才决定对齐到哪个轴。

• 正负号：决定同向还是反向。

• 两个小的元素：说明与其他轴垂直。

3.1.2. 平移矩阵

平移向量T是激光雷达坐标系原点（激光雷达中心）指向相机坐标系原点（相机光心）的向量，表示在激光雷达坐标系下的表示。

假设激光雷达到相机的平移矩阵为：

T = [-0.0100033, -1.02251, -0.154385]

其中：

• X=-0.0100033，表示相机在激光雷达后方1厘米处；

• Y=-1.02251，表示相机在激光雷达的右侧1.02米处；

• Z=-0.154385表示相机在激光雷达的下方15.5厘米处。

因为在激光雷达坐标系下X方向向前，负值表示向后，Y方向是向左，负值表示向右，Z方向是向上，负值表示向下。

到此为止，激光雷达到相机的坐标系就转换完成，可能会有人对此有疑问，相机的坐标系和图像的坐标系有什么区别呢？难道相机的坐标系不就是图像的坐标系吗？

这里我做个简单的解释：相机成像的数学本质就是3D到2D的投影。相机拍摄的2D图像丢失了深度信息（Z坐标），所以我们看到的只有2D坐标（x，y）。而相机的3D坐标到2D的投影，就是通过相机的内参来实现转换的。

3.2 相机坐标系→图像坐标系（内参）

相机坐标系到图像坐标系之间的转换，其计算公式为：

其中：

• 是激光雷达到相机的坐标点；

• 是相机的内参矩阵。

相机内参矩阵的表示格式为：

实际上齐次坐标投影公式为：

将上述公式展开为：

例：

相机内参矩阵为：

焦距：fx 对应矩阵中 (1,1) 位置的 1190.436，fy 对应矩阵中(2,2) 位置的 1190.765。它们代表了镜头的放大倍率。
主点坐标：cx 对应矩阵中 (1,3) 位置的 959.865，cy 对应矩阵中(2,3) 位置的 539.059。这是相机光轴（可以想象成从镜头中心垂直射出去的那条线）与图像传感器平面的交点。简单说，就是图像上最接近镜头中心点的那个像素的位置。
(1,2) 位置的 0：这代表相机的 x 轴和 y 轴是绝对垂直的，没有扭曲（skew）。现代工业相机这一点都做得很好。
(3,1)、(3,2) 位置的 0 和 (3,3) 位置的 1：这是为了数学计算方便，维持齐次坐标的形式。

假设激光雷达测得一个障碍物，经过旋转平移后，它在相机坐标系下的坐标是（Xc,Yc,Zc）=（1.5，0.8，10）米：
算归一化坐标：Xc/Zc=1.5/10=0.15，Yc/Zc=0.8/10=0.08
代入内参矩阵计算像素位置：
u=1190.44×0.15+959.87=178.57+959.87=1138.44
v=1190.77×0.08+539.06=95.26+539.06=634.32
这个公式告诉你，那个在相机前方 10 米、右边 1.5 米、高 0.8 米的障碍物，会出现在你照片的 (1138, 634) 这个像素附近。

这就是激光雷达坐标系到相机图像坐标系的整体流程。