【控制】《现代控制理论》谢克明老师-第6章-最优控制
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第6章-最优控制
6.1 最优控制的基本概念
6.2 最优控制中的变分法
6.3 极大值原理
6.4 线性二次型最优控制问题
对于线性系统，若取状态变量和控制变量的二次型函数的积分作为性能指标函数，则此类动态系统最优问题称为线性系统二次型性能指标的最优控制问题，简称线性二次型问题。
线性二次型问题的最优解具有统一的解析表达式
6.4.1 线性二次型问题
定义误差向量
e
(
t
)
=
y
r
(
t
)
−
y
(
t
)
(6-64)
e(t) = y_r(t)-y(t) \tag{6-64}
e(t)=yr(t)−y(t)(6-64)
用下面的泛函表示二次型性能指标
J
=
1
2
e
T
(
t
f
)
F
e
(
t
f
)
+
1
2
∫
t
0
t
f
[
e
T
(
t
)
Q
(
t
)
e
(
t
)
+
u
T
(
t
)
R
(
t
)
u
(
t
)
]
d
t
(6-65)
J = \frac12 e^T(t_f)Fe(t_f) + \frac12\int_{t_0}^{t_f} [e^T(t)Q(t)e(t) + u^T(t) R(t) u(t)] dt \tag{6-65}
J=21eT(tf)Fe(tf)+21∫t0tf[eT(t)Q(t)e(t)+uT(t)R(t)u(t)]dt(6-65)
使系统在整个控制过程中的动态跟踪误差 (
∫
t
0
t
f
[
e
T
(
t
)
Q
(
t
)
e
(
t
)
]
d
t
\int_{t_0}^{t_f} [e^T(t)Q(t)e(t)]dt
∫t0tf[eT(t)Q(t)e(t)]dt)
与控制能量消耗 (
∫
t
0
t
f
[
u
T
(
t
)
R
(
t
)
u
(
t
)
]
d
t
\int_{t_0}^{t_f} [u^T(t)R(t)u(t)]dt
∫t0tf[uT(t)R(t)u(t)]dt)，
以及控制过程结束时的终端跟踪误差 (
e
T
(
t
f
)
F
e
(
t
f
)
e^T(t_f)Fe(t_f)
eT(tf)Fe(tf))
综合最优。
6.4.2 状态调节器
若 C ( t ) = I C(t)=I C(t)=I， y r ( t ) = 0 y_r(t)=0 yr(t)=0，那么 e ( t ) = 0 − y ( t ) = − x ( t ) e(t) = 0-y(t) = -x(t) e(t)=0−y(t)=−x(t)，
从而性能指标（6-65）变为
J
=
1
2
x
T
(
t
f
)
F
x
(
t
f
)
+
1
2
∫
t
0
t
f
[
x
T
(
t
)
Q
(
t
)
x
(
t
)
+
u
T
(
t
)
R
(
t
)
u
(
t
)
]
d
t
(6-66)
J = \frac12 x^T(t_f)Fx(t_f) + \frac12\int_{t_0}^{t_f}[x^T(t)Q(t)x(t) + u^T(t)R(t)u(t)]dt \tag{6-66}
J=21xT(tf)Fx(tf)+21∫t0tf[xT(t)Q(t)x(t)+uT(t)R(t)u(t)]dt(6-66)
所表征的含义就变为状态调节器。
当系统受到扰动偏离原平衡状态时，要求产生一定的控制向量，使系统状态
x
(
t
)
x(t)
x(t) 恢复到原平衡状态附近，并使性能指标（6-66）极小。
1. 有限时间的状态调节器
系统线性时变，
终端时刻
t
f
t_f
tf 有限
定理6-9
使性能指标式（6-66）极小的最优控制
u
∗
(
t
)
u^*(t)
u∗(t) 存在的充要条件为
u
∗
(
t
)
=
−
R
−
1
(
t
)
B
T
(
t
)
P
(
t
)
x
(
t
)
(6-67)
u^*(t) = -R^{-1}(t) B^T(t) P(t) x(t) \tag{6-67}
u∗(t)=−R−1(t)BT(t)P(t)x(t)(6-67)
最优性能指标为
J
∗
=
1
2
x
T
(
t
0
)
P
(
t
0
)
x
(
t
0
)
J^* = \frac12 x^T(t_0) P(t_0) x(t_0)
J∗=21xT(t0)P(t0)x(t0)
其中，
P
(
t
)
P(t)
P(t) 为
n
×
n
n\times n
n×n 维对称非负定矩阵，满足下列黎卡提矩阵微分方程
−
P
˙
(
t
)
=
P
(
t
)
A
(
t
)
+
A
T
(
t
)
P
(
t
)
−
P
(
t
)
B
(
t
)
R
−
1
(
t
)
B
T
(
t
)
P
(
t
)
+
Q
(
t
)
(6-68)
-\dot{P}(t) = P(t) A(t) + A^T(t)P(t) - P(t)B(t)R^{-1}(t)B^T(t)P(t) + Q(t) \tag{6-68}
−P˙(t)=P(t)A(t)+AT(t)P(t)−P(t)B(t)R−1(t)BT(t)P(t)+Q(t)(6-68)
终端边界条件
P
(
t
f
)
=
F
(6-69)
P(t_f) = F \tag{6-69}
P(tf)=F(6-69)
而最优曲线
x
∗
(
t
)
x^*(t)
x∗(t) 是下列线性向量微分方程的解
x
˙
(
t
)
=
[
A
(
t
)
−
B
(
t
)
R
−
1
(
t
)
B
T
(
t
)
P
(
t
)
]
x
(
t
)
,
x
(
t
0
)
=
x
0
(6-70)
\dot{x}(t) = [A(t) - B(t)R^{-1}(t)B^T(t)P(t)] x(t), \quad x(t_0)=x_0 \tag{6-70}
x˙(t)=[A(t)−B(t)R−1(t)BT(t)P(t)]x(t),x(t0)=x0(6-70)
从二次型性能指标函数得到的最优控制是一状态反馈形式。
2. 无限时间状态调节器
如果终端时刻 t f → ∞ t_f\rightarrow \infty tf→∞，系统及性能指标中的各矩阵均为常值矩阵，则为无限时间状态调节器。
定理6-10
二次型性能指标为
J
=
1
2
∫
0
∞
[
x
T
(
t
)
Q
x
(
t
)
+
u
T
(
t
)
R
u
(
t
)
]
d
t
(6-90)
J = \frac12\int_{0}^{\infty} [x^T(t) Q x(t) + u^T(t) R u(t)] dt \tag{6-90}
J=21∫0∞[xT(t)Qx(t)+uT(t)Ru(t)]dt(6-90)
使性能指标（6-90）极小的最优控制
u
∗
(
t
)
u^*(t)
u∗(t) 存在，且惟一地由下式确定
u
∗
(
t
)
=
−
R
−
1
B
T
P
x
(
t
)
u^*(t) = -R^{-1}B^T Px(t)
u∗(t)=−R−1BTPx(t)
其中，
P
=
lim
t
→
∞
P
(
t
)
P=\lim_{t\rightarrow\infty}P(t)
P=limt→∞P(t) 是常数矩阵，是下述代数黎卡提方程的解
P
A
+
A
T
P
−
P
B
R
−
1
B
T
P
+
Q
=
0
(6-91)
PA + A^TP - PBR^{-1}B^TP + Q = 0 \tag{6-91}
PA+ATP−PBR−1BTP+Q=0(6-91)
此时最优性能指标
J
∗
=
1
2
x
T
(
0
)
P
x
(
0
)
J^* = \frac12 x^T(0) P x(0)
J∗=21xT(0)Px(0)
最优曲线
x
∗
(
t
)
x^*(t)
x∗(t) 是下列状态方程的解：
x
˙
(
t
)
=
(
A
−
B
R
−
1
B
T
P
)
x
(
t
)
(6-92)
\dot{x}(t) = (A - BR^{-1}B^TP) x(t) \tag{6-92}
x˙(t)=(A−BR−1BTP)x(t)(6-92)
6.4.3 输出调节器
如果理想输出向量 y r ( t ) = 0 y_r(t)=0 yr(t)=0，则有 e ( t ) = − y ( t ) e(t)=-y(t) e(t)=−y(t)。
J = 1 2 y T ( t f ) F y ( t f ) + 1 2 ∫ t 0 t f [ y T ( t ) Q ( t ) y ( t ) + u T ( t ) R ( t ) u ( t ) ] d t (6-93) J = \frac12 y^T(t_f)Fy(t_f) + \frac12\int_{t_0}^{t_f}[y^T(t)Q(t)y(t) + u^T(t)R(t)u(t)]dt \tag{6-93} J=21yT(tf)Fy(tf)+21∫t0tf[yT(t)Q(t)y(t)+uT(t)R(t)u(t)]dt(6-93)
所表征的含义就是输出调节器。
当系统受扰动偏离原输出平衡状态时，要求产生一控制向量，使系统输出
y
(
t
)
y(t)
y(t) 保持在原平衡状态附近，并使性能指标式（6-93）极小。
1. 有限时间输出调节器
定理6-11
6.4.4 输出跟踪器
当 C ( t ) ≠ I , y r ( t ) ≠ 0 C(t)\ne I, y_r(t)\ne0 C(t)=I,yr(t)=0
6.5 利用 MATLAB 求解线性二次型最优控制问题
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