运动控制-飞剪\追剪曲线规划

1.飞剪

1.1飞剪机构介绍

  飞剪机构如下图所示，核心由两部分组成：

• 牵引轴：牵引轴和过辊夹住材料，提供物料传送摩擦力，将物料输送至飞剪轴处。

• 飞剪轴：飞剪轴上安装切刀（图示以一把切刀为例），实现物料的等距裁切。

• 

1.2飞剪运动过程分析

• 为了保证物料的裁切效果，延长切刀寿命，需要在裁切物料时保持切刀尖和物料的线速度同步。

    理想情况：是飞剪轴和物料都是匀速运行，两者线速度相等；但是不同产品物料需要裁切长度不一致，所以引入同步区；即裁切的一段小区间速度同步，剩余区间加速或减速运行。

不同步时有以下两种情况：

1. 飞剪轴线速度小于物料线速度，出现堵料现象；

2. 飞剪轴线速度大于物料线速度，物料被拉伸形变，影响裁切效果

  牵引轴一般以匀速进行送料，但是由于每一段物料长度和飞剪行程并不相等；所以需要根据物料长度来规划飞剪的运动轨迹，使物料到达切点的同时，切刀也到达切点。如图所示经过三个过程：

• 加速区：飞剪轴以加速度不为0的速度运行；

• 同步区：飞剪轴以加速度为0的速度运行；

• 减速区：飞剪轴以加速度不为0的速度运行；

  这里如何理解这种运动？

• 核心在于切刀切物料一瞬间要保持速度同步（最好就是切刀线速度和物料线速度相等），即切刀和物料相对静止；

• 飞剪轴运行完一个周期（一把切刀一个周期就是一周360°，两把切刀一个周期就是180°，三把切刀一个周期就是120°），物料也完成一次输送。

• 以下三个案例中从轴的行程都是2∗3.14∗100=628.

EX1：飞剪轴一把切刀（周期360°），半径100mm，同步区90°，物料一片1000mm，速度100mm/s 分别计算飞剪轴同步区、加速区、减速区情况：

同步区：飞剪轴运行距离：dySyn，牵引轴运行距离：dxSyn；
$$\begin{gathered} dySyn=2\ast pi\ast r\ast (同步区角度/360°) \\ dySyn=2\ast 3.14\ast 100\ast (90/360)=157mm \end{gathered}$$

速度同步，物料同步区运行dxSyn=157。剩余1000-157=843mm分配给加速区和减速区；

飞剪同步区运行dySyn=157。剩余628-157=471mm分配给加速区和减速区；即：

加速区：飞减加速距离：dyAcc，牵引轴运行距离：dxAcc，
$$\begin{gathered} dyAcc=471/2=235.5 \\ dxAcc=843/2=421.5 \end{gathered}$$
dxAcc > dyAcc , 所以加速区飞剪轴速度应该比牵引轴小。
为了保证速度曲线连续，加速区，飞剪轴应该从一个较小小速度加速到匀速。

减速区：飞减加速距离：dyDec，牵引轴运行距离：dxAcc，
$$\begin{gathered} dyDec=471/2=235.5 \\ dxADec=843/2=421.5 \end{gathered}$$

dxDec > dyDec , 所以减速区飞剪轴速度应该比牵引轴小。
为了保证速度曲线连续，减速区，飞剪轴应该从匀速减速到一个较小的速度。

EX2：飞剪轴一把切刀（周期360°），半径100mm，同步区90°，物料一片700mm，速度100mm/s 分别计算飞剪轴同步区、加速区、减速区情况：

同步区：飞剪轴运行距离：dySyn，牵引轴运行距离：dxSyn；

$$\begin{gathered} dySyn=2\ast pi\ast r\ast (同步区角度/360°) \\ dySyn=2\ast 3.14\ast 100\ast (90/360)=157mm \end{gathered}$$
速度同步，物料同步区运行dxSyn=157。剩余700-157=543mm分配给加速区和减速区；

飞剪同步区运行dySyn=157。剩余628-157=471mm分配给加速区和减速区；即：

加速区：飞减加速距离：dyAcc，牵引轴运行距离：dxAcc，
$$\begin{gathered} dyAcc=471/2=235.5 \\ dxAcc=543/2=271.5 \end{gathered}$$
dxAcc > dyAcc , 所以加速区飞剪轴速度应该比牵引轴小。

为了保证速度曲线连续，加速区，飞剪轴应该从一个较小小速度加速到匀速。

减速区：飞减加速距离：dyDec，牵引轴运行距离：dxAcc，
$$dyDec=471/2=235.5dxDec=543/2=271.5$$
dxDec > dyDec , 所以减速区飞剪轴速度应该比牵引轴小。
为了保证速度曲线连续，减速区，飞剪轴应该从匀速减速到一个较小的速度。

这里图中标注△v，描述的是飞剪运行的速度差，为了延长机械寿命，曲线设计上最好满足dv最小，即飞剪轴的最小速度和最大速度差最小。

如下所示，修改电子凸轮dv值，来实现△v最小。

EX3：飞剪轴一把切刀（周期360°），半径100mm，同步区90°，物料一片3000mm，速度100mm/s 分别计算飞剪轴同步区、加速区、减速区情况：

同步区：飞剪轴运行距离：dySyn，牵引轴运行距离：dxSyn；
$$\begin{gathered} dySyn=2\ast pi\ast r\ast (同步区角度/360°) \\ dySyn=2\ast 3.14\ast 100\ast (90/360)=157mm \end{gathered}$$

速度同步，物料同步区运行dxSyn=157。剩余3000-157=2483mm分配给加速区和减速区；

飞剪同步区运行dySyn=157。剩余628-157=471mm分配给加速区和减速区；即：

加速区：飞减加速距离：dyAcc，牵引轴运行距离：dxAcc，
$$\begin{gathered} dyAcc=471/2=235.5 \\ dxAcc=2483/2=1421.5 \end{gathered}$$
dxAcc > dyAcc , 所以加速区飞剪轴速度应该比牵引轴小。

为了保证速度曲线连续，加速区，飞剪轴应该从一个较小小速度加速到匀速。

减速区：飞减加速距离：dyDec，牵引轴运行距离：dxAcc，
$$\begin{gathered} dyDec=471/2=235.5 \\ dxDec=2483/2=1421.5 \end{gathered}$$

dxDec > dyDec , 所以减速区飞剪轴速度应该比牵引轴小。

为了保证速度曲线连续，减速区，飞剪轴应该从匀速减速到一个较小的速度。

这里图中飞剪轴的位置出现了“反转”，实际运行飞剪应该单向运行，禁止出现正反转的情况。为了避免这种情况，引入等待区，在等待区飞剪位置不变。

如下所示，便可解决飞剪轴反转问题。

EX4：飞剪轴一把切刀（周期360°），半径100mm，同步区90°，物料一片300mm，速度100mm/s 分别计算飞剪轴同步区、加速区、减速区情况：

同步区：飞剪轴运行距离：dySyn，牵引轴运行距离：dxSyn，
$$\begin{gathered} dySyn=2\ast pi\ast r\ast (同步区角度/360°) \\ dySyn=2\ast 3.14\ast 100\ast (90/360)=157mm \end{gathered}$$
速度同步，物料同步区运行dxSyn=157。剩余300-157=143mm分配给加速区和减速区。即：

加速区：飞减加速距离：dyAcc，牵引轴运行距离：dxAcc，
$$\begin{gathered} dyAcc=471/2=235.5 \\ dxAcc=143/2=71.5 \end{gathered}$$
dxAcc < dyAcc , 所以加速区飞剪轴速度应该比牵引轴大。
为了保证速度曲线连续，加速区飞剪轴应该从一个较大的速度减速到匀速。

减速区：飞减加速距离：dyDec，牵引轴运行距离：dxAcc，
$$\begin{gathered} dyDec=471/2=235.5 \\ dxDec143/2=71.5 \end{gathered}$$
dxDec < dyDec , 所以加速区飞剪轴速度应该比牵引轴大。
为了保证速度曲线连续，减速区，飞剪轴应该从匀速加速到一个较大的速度。

1.3飞剪凸轮曲线规划

飞剪凸轮曲线根据运行工况分为三类：连续运行——循环凸轮曲线，单次运行——单次启停凸轮曲线，打断循停——缺料循停。

凸轮曲线包含四个区域：等待区、加速区、同步区、减速区。

1.3.1 循环凸轮曲线

循环凸轮曲线每周期结束点速度可不为0，且上一周期和下一周曲线连续，边界条件相等。

  在飞剪运动中一般为了更高的加工效率（相同物理条件，负载率更低），可以选择三次曲线：

$$y=a(x-x0{)}^3+b(x-x0{)}^2+c(x-x0)+d$$

第一步需要判断飞剪曲线是否存在等待区（为了避免飞剪轴反转）。可理解为速度一直为正不存在负值，通过上面几个例子可以发现：即③点处dv>0。

$$v=3a(x-x0{)}^2+2b(x-x0)+c$$

曲线①②③中

条件1：端点①处(dx,dy)=(0,0)；

条件2：端点①处dv=y‘ =1（可设置）；

条件3：端点②处(dxAcc,dy)=(2*dxAcc，周期角度-同步区角度)；若一把刀周期角度为360°

条件4：端点②处dv=y‘ =1（可设置）；

外加二次函数判别式：

$$(\frac{-b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$$

可得：

$$\begin{gathered} 2\ast dxAcc<\frac{3(周期角度-同步区角度)}{dv} \\ \text{\hspace{1em}(dv为同步区设定的dv值)} \end{gathered}$$

注：若是五次曲线求解系数3是15/7；

若上式中是>那么存在等待区，等待区为：

$$\begin{gathered} dxWait=dxAcc-\frac{3(周期角度-同步区角度)}{2dv} \\ \text{\hspace{1em}(dv为同步区设定的dv值)} \end{gathered}$$

第二步确认③点速比

存在等待区：③点dv=0;

不存在等待区：

条件3变为：端点②处(dxAcc,dy)=(物料长度-同步区长度，周期角度-同步区角度)；若一把刀周期角度为360°

少了一个未知数，四个条件可直接求取三次曲线方程，间接求出dv值。

$$dv=y^{\prime }=3a[(料长-同步区长度)/2{]}^2+2b[(料长-同步区长度)/2]+c$$

总结：

1. 确认是否存在等待区，求解等待区长度；

2. 求③点处dv值。

可以列出周期循环凸轮曲线表如下：

曲线段	关键点
加速等待区	dx1 =0,dy1=0,dv1=0; 主轴移动距离按照上第一步所求； 从轴移动距离0
加速区	dv2第二步求解; 主轴移动距离按照上第一步所求； 从轴移动距离(切刀周长-同步区周长)/2
同步区	dv3=设置的速比; 主轴移动距离按照上第一步所求； 从轴移动距离飞剪同步区长度
减速区	dv4第二步求解; 主轴移动距离按照上第一步所求； 从轴移动距离(切刀周长-同步区周长)/2
减速等待区	dv5=0; 主轴移动距离按照上第一步所求； 从轴移动距离0

1.3.2 单次启停凸轮曲线和缺料循停

该类型凸轮曲线较简单对比循环周期凸轮曲线在于加速区的dv不需要计算，直接为0；

单次启停凸轮曲线的作用：
（1）在凸轮拟合时执行单次启停曲线的前半段：此时从轴从起点出发，依次经过等待区（可选）、加速区和同步区，直到从轴运动至切点位置时切换到周期
循环凸轮曲线。

（2）在凸轮循停时的最后一个周期内：此时从轴在切点位置切换到单次启停曲线（后半段），然后依次经过同步区、减速区、等待区（可选） ，最终回到起

点位置（或者到达下一个起点位置）。

空包循停凸轮曲线可以看成是周期循环凸轮曲线的单次模式，因此该曲线首末两点的速度和加速度都为零，但是其各凸轮节点的主/从轴位置

都保持与周期循环凸轮曲线一致（即：切换至空包循停凸轮曲线后，也不会丢失原有周期循环凸轮曲线的主从轴实时相位）。

2.追剪

2.1 追剪机构介绍：

剪切机构平行于被剪切物体，剪切机构做往复运动，通过改变在非同步区的速度达到改变剪切长度的目的。追剪可以理解为一种特殊的电子凸轮，送料轴为凸轮主轴，切刀轴为凸轮从轴。
凸轮主轴有三种方式：

）采用运动控制器虚拟主轴；

2）通过送料电机侧编码器反馈；

3）与送料同步的外部闭环编码器；

2.2飞剪运动过程分析

追剪轴从起点（追剪轴在跟随主轴之前的位置，也是凸轮拟合时的位置。）经过加速区运动进入同步区在切点（追剪轴在裁切动作中心的位置，也是同步区的中心点。）对物料进行裁切。到达从轴最大行程（以追剪轴切点为中心，左右可以移动的总距离（不包括从起点

离开和返回起点的过程）。

物料长度：牵引轴在连续两次剪切期间的移动距离，一般为物料单段长度。

2.3追剪凸轮曲线规划

追剪凸轮曲线以五次举例：

单次启停凸轮曲线：

曲线段	数值	备注
等待区	①点的从轴位置：dx = 0 ①点的主轴位置：dy = 0 ①点的速比：dv = 0 ①点的加速比：da = 0 主轴移动距离： dx = max[fMasterFirstToIncision-2(fSlaveFirstToIncision-fSlaveSyncLength/2)/fSlaveSyncKi-(fSlaveSyncLength/2/fSlaveSyncK)，0]
加速区	②点的速比：dv = 0 ②点的加速比：da = 0 主轴移动距离：△dx = min[fMasterFirstToIncision-(fSlaveSyncLength/2/fSlaveSyncKi)，(15/7)*(fSlaveFirstToIncision-fSlaveSyncLength/2)/fSlaveSyncKi] 从轴移动距离：△dy = fSlaveFirstToIncision-fSlaveSyncLength/2
同步区	③④点的速比：dv = fSlaveSyncKi ③④点的加速比：da = 0 主轴移动距离：△dx = fSlaveSyncLength/2/fSlaveSyncKi 从轴移动距离：△dy = fSlaveSyncLength/2 ④⑤点的速比：dv = fSlaveSyncKi ④⑤点的加速比：da = 0 主轴移动距离：△dx = fSlaveSyncLength/2/fSlaveSyncKi 从轴移动距离：△dy = fSlaveSyncLength/2
减速区	⑥点的速比：dv=0; da=-da’ 主轴移动距离：△dx=△dx’ 从轴移动距离：△dy =△dy’	减速区和加速区对称
反向区	⑦点的速比：dv = 0 ⑦点的加速比：da = 0 ⑦点的主轴位置：dx = fMasterFirstTolncision+fMaterialLength-△dx’-(fSlaveSyncLength)/(2fSlaveSyncKi) ⑦点的从轴位置：dy = 0

周期循环凸轮曲线：

曲线段	数值	备注
加速区	①点的速比：dv = 0 ①点的加速比：da = 0 主轴移动距离：△dx = min[fMasterFirstToIncision-(fSlaveSyncLength/2/fSlaveSyncKi)，(15/7)*(fSlaveFirstToIncision-fSlaveSyncLength/2)/fSlaveSyncKi] 从轴移动距离：△dy = fSlaveFirstToIncision-fSlaveSyncLength/2
同步区	②③点的速比：dv = fSlaveSyncKi ②③点的加速比：da = 0 主轴移动距离：△dx = fSlaveSyncLength/2/fSlaveSyncKi 从轴移动距离：△dy = fSlaveSyncLength/2 ③④点的速比：dv = fSlaveSyncKi ③④点的加速比：da = 0 主轴移动距离：△dx = fSlaveSyncLength/2/fSlaveSyncKi 从轴移动距离：△dy = fSlaveSyncLength/2
减速区	⑤点的速比：dv=0; da=-da’ 主轴移动距离：△dx=△dx’ 从轴移动距离：△dy =△dy’	减速区和加速区对称
反向区	⑥点的速比：dv = 0 ⑥点的主轴位置：dx = fMaterialLength ⑦点的从轴位置：dy = fSlaveFirstToIncision-(fSlaveSyncLength/2)-△dy’

未写出的条件通过五次曲线求解公式求解（端点条件已知）：

空包循停凸轮曲线：

空包循停凸轮曲线可以看成是周期循环凸轮曲线的单次模式，因此该曲线首末两点的速度和加速度都为零，但是其各凸轮节点的主/从轴位置都保持与周期循环凸轮曲线一致（即：切换至空包循停凸轮曲线后，也不会丢失原有周期循环凸轮曲线的主从轴实时相位）。