卡尔曼滤波

卡尔曼滤波的设计过程中需要定义两个变量，一个是状态量，另一个是观测量

状态量

• 状态量是跟踪目标。将状态量记作${\mathbf{x}}_n$，状态量的协方差矩阵记作${\mathbf{P}}_n$，可以由前一个时刻的状态，估计当前的状态
• 估计过程表示为：${\mathbf{x}}_n={\mathbf{F}}_n{\mathbf{x}}_{n-1}$，其中${\mathbf{x}}_n$是一个$N\ast 1$的列向量（小写粗体），${\mathbf{F}}_n$是一个$N\ast N$的矩阵（大写粗体）
• 数学理论：若${\mathbf{x}}_n$的协方差矩阵为${\mathbf{P}}_n$，那么${\mathbf{F}}_n{\mathbf{x}}_n$的协方差矩阵为${\mathbf{F}}_n{\mathbf{P}}_n{\mathbf{F}}_n^T$
• ${\mathbf{P}}_n=cov({\mathbf{x}}_n)=cov({\mathbf{F}}_n{\mathbf{x}}_{n-1})={\mathbf{F}}_n{\mathbf{P}}_{n-1}{\mathbf{F}}_n^T+\mathbf{Q}$，其中$\mathbf{Q}$是为了增加协方差矩阵的不确定性

观测量

• 由观测量可以预测状态量。将观测量记作${\mathbf{z}}_n$，观测量的协方差矩阵记作${\mathbf{R}}_n$，观测量与状态量之间存在映射关系
• 映射关系表示为：${\mathbf{z}}_n={\mathbf{H}}_n{\mathbf{x}}_n$，${\mathbf{R}}_n={\mathbf{H}}_n{\mathbf{P}}_n{\mathbf{H}}_n^T$，其中${\mathbf{z}}_n$是一个$M\ast 1$的列向量，${\mathbf{R}}_n$是一个$M\ast M$的矩阵，${\mathbf{H}}_n$是一个$M\ast N$的矩阵
• 根据前一个时刻的状态可以估计当前的状态，根据观测量可以映射出当前的状态，但是这两种方法可能都不够准确，因此需要对它们俩的估计结果取一个交集
• 根据两个量的均值和协方差矩阵，得到状态量和观测量的分布，然后计算联合分布，将其作为新的状态量

联合分布的更新过程

• 卡尔曼增益
  $${\mathbf{K}}_n={\mathbf{P}}_n{\mathbf{H}}_n^T({\mathbf{H}}_n{\mathbf{P}}_n{\mathbf{H}}_n^T+{\mathbf{R}}_n{)}^{-1}$$
• 估计过程
  $${\mathbf{x}}_{n+1}={\mathbf{x}}_n+{\mathbf{K}}_n({\mathbf{z}}_n-{\mathbf{H}}_n{\mathbf{x}}_n)$$
• 协方差矩阵
  $${\mathbf{P}}_{n+1}={\mathbf{P}}_n-{\mathbf{K}}_n{\mathbf{H}}_n{\mathbf{P}}_n$$

具体到AEC任务

• 卡尔曼滤波预测公式
  $$\begin{array}{rl}{\mathbf{x}}_n& ={\mathbf{F}}_n{\mathbf{x}}_{n-1}\\ {\mathbf{P}}_n& ={\mathbf{F}}_n{\mathbf{P}}_{n-1}{\mathbf{F}}_n^T+\mathbf{Q}\end{array}$$
• 卡尔曼滤波更新公式
  $$\begin{array}{rl}{\mathbf{K}}_n& ={\mathbf{P}}_n{\mathbf{H}}_n^T({\mathbf{H}}_n{\mathbf{P}}_n{\mathbf{H}}_n^T+{\mathbf{R}}_n{)}^{-1}\\ {\mathbf{x}}_{n+1}& ={\mathbf{x}}_n+{\mathbf{K}}_n({\mathbf{z}}_n-{\mathbf{H}}_n{\mathbf{x}}_n)\\ {\mathbf{P}}_{n+1}& ={\mathbf{P}}_n-{\mathbf{K}}_n{\mathbf{H}}_n{\mathbf{P}}_n\end{array}$$
• AEC的预测目标是回声路径${\mathbf{w}}_n$，假设回声路径是稳定的，可由N阶线性滤波器模拟，那么${\mathbf{w}}_n={\mathbf{w}}_{n-1}$，${\mathbf{w}}_n$是一个$N\ast 1$的列向量，取${\mathbf{x}}_n={\mathbf{w}}_n$，从而${\mathbf{F}}_n=\mathbf{I}$，${\mathbf{P}}_n={\mathbf{P}}_{n-1}+\mathbf{Q}$
• AEC的滤波输出$e(n)=d(n)-{\mathbf{w}}_n^T{\mathbf{x}}_n$，其中$d(n)$是麦克风当前接收信号，${\mathbf{x}}_n$是参考信号，同样为$N\ast 1$的列向量
• AEC的观测量是麦克风当前接收信号$d(n)$，$d(n)={\mathbf{x}}_n^T{\mathbf{w}}_n+e(n)$，取${\mathbf{z}}_n=d(n)$，从而${\mathbf{H}}_n={\mathbf{x}}_n^T$（将$e(n)$的期望视作0，${\mathbf{z}}_n={\mathbf{H}}_n{\mathbf{x}}_n$），${\mathbf{R}}_n=e(n{)}^2+\delta$，其中$\delta$是小常数
• 注意：因为${\mathbf{z}}_n=d(n)$，所以此时的${\mathbf{z}}_n$是一个常数，从而${\mathbf{R}}_n$也是一个常数，${\mathbf{H}}_n$是一个$1\ast N$的行向量
• 代入更新公式
  $$\begin{array}{rl}{\mathbf{K}}_n& ={\mathbf{P}}_n{\mathbf{x}}_n({\mathbf{x}}_n^T{\mathbf{P}}_n{\mathbf{x}}_n+{\mathbf{R}}_n{)}^{-1}\\ {\mathbf{w}}_{n+1}& ={\mathbf{w}}_n+{\mathbf{K}}_n(d(n)-{\mathbf{x}}_n^T{\mathbf{w}}_n)={\mathbf{w}}_n+{\mathbf{K}}_{n}e(n)\\ {\mathbf{P}}_{n+1}& ={\mathbf{P}}_n-{\mathbf{K}}_n{\mathbf{x}}_n^T{\mathbf{P}}_n\end{array}$$
• 综合
  $$\begin{array}{rl}{\mathbf{P}}_n& ={\mathbf{P}}_{n-1}+\mathbf{Q}\\ e(n)& =d(n)-{\mathbf{w}}_n^T{\mathbf{x}}_n\\ {\mathbf{R}}_n& =e(n{)}^2+\delta \\ {\mathbf{K}}_n& ={\mathbf{P}}_n{\mathbf{x}}_n({\mathbf{x}}_n^T{\mathbf{P}}_n{\mathbf{x}}_n+{\mathbf{R}}_n{)}^{-1}\\ {\mathbf{w}}_{n+1}& ={\mathbf{w}}_n+{\mathbf{K}}_{n}e(n)\\ {\mathbf{P}}_{n+1}& ={\mathbf{P}}_n-{\mathbf{K}}_n{\mathbf{x}}_n^T{\mathbf{P}}_n\end{array}$$