【从Unity物理系统开始探索游戏物理】专栏-直达

分离轴定理 Separation axis theorem（SAT）是游戏物理中用于凸多边形碰撞检测的高效算法，其核心思想是通过寻找能将两物体投影分离的轴线来判断碰撞：若存在任一轴线使投影不重叠，则物体未碰撞；若所有轴线投影均重叠，则发生碰撞.

解决的问题

SAT主要用于解决‌凸多边形间的精确碰撞检测‌问题，相比AABB（轴对齐包围盒）或圆形检测，它能处理更复杂的几何形状（如不规则多边形），且计算效率较高（O(n²)时间复杂度）。其局限性在于仅适用于凸多边形，凹多边形需先分解为凸多边形组合。

算法原理与解决步骤

• ‌分离轴定义‌：若两物体未碰撞，必存在一条直线（分离轴）使其投影不重叠。
• ‌关键步骤‌：
  • ‌计算法向量‌：遍历多边形每条边，计算其垂直向量（法向量）作为潜在分离轴。
  • ‌投影检测‌：将两多边形顶点投影到每条法向量上，得到投影区间。
  • ‌区间重叠判断‌：若任一轴上投影区间无重叠，则物体未碰撞；否则继续检测，全部通过则判定碰撞。

历史发展

SAT起源于计算几何领域，早期用于机器人路径规划中的碰撞预测。随着游戏物理引擎（如Unity的PhysX）普及，SAT因实现简单、性能适中成为Narrow Phase（精细检测）的常用算法。现代优化结合了Burst Compiler等加速技术。

C#实现示例

2D凸多边形的SAT检测

代码说明：

• ‌核心逻辑‌：通过遍历所有边的法向量作为分离轴，检测投影区间重叠。

• ‌性能优化‌：使用向量点积计算投影，避免复杂数学运算。

• ‌扩展性‌：可结合Unity的Collider组件实现更复杂物理效果。

• SatCollision.cs

  using UnityEngine;
  using System.Collections.Generic;
  
  public class SATCollision : MonoBehaviour {
      // 检测两个凸多边形是否碰撞
      public static bool CheckCollision(Vector2[] polyA, Vector2[] polyB) {
          // 检查多边形A的边法向量
          foreach (Vector2 edge in GetEdges(polyA)) {
              Vector2 normal = new Vector2(-edge.y, edge.x).normalized;
              if (!OverlapOnAxis(polyA, polyB, normal))
                  return false;
          }
          // 检查多边形B的边法向量
          foreach (Vector2 edge in GetEdges(polyB)) {
              Vector2 normal = new Vector2(-edge.y, edge.x).normalized;
              if (!OverlapOnAxis(polyA, polyB, normal))
                  return false;
          }
          return true;
      }
  
      // 获取多边形所有边向量
      private static List<Vector2> GetEdges(Vector2[] polygon) {
          List<Vector2> edges = new List<Vector2>();
          for (int i = 0; i < polygon.Length; i++) {
              Vector2 next = polygon[(i + 1) % polygon.Length];
              edges.Add(next - polygon[i]);
          }
          return edges;
      }
  
      // 检查两多边形在指定轴上的投影是否重叠
      private static bool OverlapOnAxis(Vector2[] polyA, Vector2[] polyB, Vector2 axis) {
          float minA = float.MaxValue, maxA = float.MinValue;
          float minB = float.MaxValue, maxB = float.MinValue;
  
          // 计算多边形A的投影区间
          foreach (Vector2 point in polyA) {
              float projection = Vector2.Dot(point, axis);
              minA = Mathf.Min(minA, projection);
              maxA = Mathf.Max(maxA, projection);
          }
  
          // 计算多边形B的投影区间
          foreach (Vector2 point in polyB) {
              float projection = Vector2.Dot(point, axis);
              minB = Mathf.Min(minB, projection);
              maxB = Mathf.Max(maxB, projection);
          }
  
          return maxA >= minB && maxB >= minA;
      }
  }
  

3D凸多边形的SAT检测

代码功能说明：

• Sat3D扩展至3D空间，增加面法线和边叉积检测

• 测试程序展示两个相交立方体和矩形的检测示例

• Sat3D.cs

  public static class Sat3D
  {
      public static bool CheckCollision(Vector3[] verticesA, Vector3[] verticesB, 
          Vector3[] normalsA, Vector3[] normalsB)
      {
          // 检查物体A的面法线
          foreach (var normal in normalsA)
          {
              if (!OverlapOnAxis(verticesA, verticesB, normal))
                  return false;
          }
          
          // 检查物体B的面法线
          foreach (var normal in normalsB)
          {
              if (!OverlapOnAxis(verticesA, verticesB, normal))
                  return false;
          }
          
          // 检查所有边的叉积方向
          for (int i = 0; i < normalsA.Length; i++)
          {
              for (int j = 0; j < normalsB.Length; j++)
              {
                  Vector3 axis = Vector3.Cross(normalsA[i], normalsB[j]);
                  if (axis.X == 0 && axis.Y == 0 && axis.Z == 0) continue;
                  
                  if (!OverlapOnAxis(verticesA, verticesB, axis))
                      return false;
              }
          }
          
          return true;
      }
      
      private static bool OverlapOnAxis(Vector3[] verticesA, Vector3[] verticesB, Vector3 axis)
      {
          float minA = float.MaxValue, maxA = float.MinValue;
          float minB = float.MaxValue, maxB = float.MinValue;
          
          foreach (var vertex in verticesA)
          {
              float projection = Vector3.Dot(vertex, axis);
              minA = Math.Min(minA, projection);
              maxA = Math.Max(maxA, projection);
          }
          
          foreach (var vertex in verticesB)
          {
              float projection = Vector3.Dot(vertex, axis);
              minB = Math.Min(minB, projection);
              maxB = Math.Max(maxB, projection);
          }
          
          return maxA >= minB && maxB >= minA;
      }
  }
  

• Program.cs

  class Program
  {
      static void Main()
      {
          // 3D测试用例
          Vector3[] cubeA = {
              new Vector3(0,0,0), new Vector3(1,0,0),
              new Vector3(1,1,0), new Vector3(0,1,0),
              new Vector3(0,0,1), new Vector3(1,0,1),
              new Vector3(1,1,1), new Vector3(0,1,1)
          };
          
          Vector3[] cubeB = {
              new Vector3(0.5f,0.5f,0.5f), new Vector3(1.5f,0.5f,0.5f),
              new Vector3(1.5f,1.5f,0.5f), new Vector3(0.5f,1.5f,0.5f),
              new Vector3(0.5f,0.5f,1.5f), new Vector3(1.5f,0.5f,1.5f),
              new Vector3(1.5f,1.5f,1.5f), new Vector3(0.5f,1.5f,1.5f)
          };
          
          Vector3[] normalsA = {
              new Vector3(1,0,0), new Vector3(0,1,0),
              new Vector3(0,0,1), new Vector3(-1,0,0),
              new Vector3(0,-1,0), new Vector3(0,0,-1)
          };
          
          bool collision3D = Sat3D.CheckCollision(cubeA, cubeB, normalsA, normalsA);
          Console.WriteLine($"3D碰撞检测结果: {collision3D}");
      }
  }
  

应用场景

• ‌游戏开发‌：精确检测角色与复杂环境的碰撞。
• ‌物理模拟‌：如弹球游戏中多边形物体的交互。
• ‌机器人导航‌：障碍物碰撞预测

---

【从Unity物理系统开始探索游戏物理】专栏-直达
（欢迎点赞留言探讨，更多人加入进来能更加完善这个探索的过程，🙏）