引言

今天来聊聊结构动力学中的时域分析。

时域分析是结构动力学中的最直接，也是相对容易理解的一种分析类型，无论系统是线性的还是非线性的，稳态的还是非稳态的，确定的还是随机的，都可以进行时域分析。

单自由度系统

考虑一个单自由度二阶系统：

叠加法

首先介绍一种基于叠加的方法，当看到“叠加”时，基本就可以认定该方法仅适用于线性问题。

考虑一个无阻尼单自由度系统在t₀时刻受到单位大小的脉冲作用

其t时刻的响应为单位脉冲响应函数

当激励持续作用时，在τ时刻，可以看做系统受到p(τ)dτ脉冲激励

因此，τ时刻的激励，对系统在t时刻响应的“贡献”为

对现行系统进行不同激励下的“叠加”，则响应为

这就是著名的无阻尼系统Duhamel积分，它是一个卷积积分。关于卷积的特点，我们有机会在以后的文章中进行讨论。

考虑有阻尼时，只需要将单位激励脉冲函数稍作修改即可。

以上分析假设初始条件均为0，当考虑有初始位移和速度时，响应还需要加上初始条件对自由振动响应的影响。

解的形式已经给定，之后通过数值积分就可以得到系统不同时刻的响应。

叠加法可以很方便的从时域转到频域(即分别对输入和脉冲响应函数做傅立叶变换)

其中，H为复频响应函数。

直接积分法

叠加法只能处理线性问题，而实际的问题绝大多数都是非线性的；因此，在实际的应用中，更多采用的是直接积分法；并且它还有其他诸多好处。

直接计分法将整个分析时间历程分为一系列时间间隔，或称为“时间步”，每个时间步的响应作为下个时间步的初始条件。分析过程中，所有参数均可随时间变化，适用于一般性的非线性问题。值得注意的是，积分时间步长由结构固有频率、载荷特征以及感兴趣的结果决定，如Newmark算法中的积分时间步长一般取

其中，f_m为感兴趣的最高频率

事实上，在实际应用中，不管系统是否线性，大多采用直接积分法进行时域分析。总体而言，直接积分法可分为显示方法和隐式方法：

• 显示方法：当前步分析的响应只与上一步(或几步)的响应有关，迭代方程可显示表达，直接求解；

• 隐式方法：当前分析的响应不仅与上一步(或几步)的响应有关，还与当前步有关，迭代方程只能隐式表达，需要通过迭代求解；

• 简单而言，显示方法的自变量和变量在迭代方程的两侧，可直接求解；隐式方法的自变量和变量“相互影响”，不能直接求解，需要迭代求解；如牛顿法和后退欧拉法等；

此外：

• 隐式方法可以转为显式方法；

• 隐式方法需要迭代，时间步内存在收敛问题，在保证收敛的情况下，可适当增大时间步长；

• 显式方法在时间步内不存在收敛问题，但时间步长需取得相对较小，否则解会不稳定或误差较大；

• 通常显式方法需要更多的时间子步，但两者耗费计算资源的估计则需具体问题具体分析；

• 在结构动力学的有限元分析中，对于线性或弱非线性问题，通常采用显式方法，典型算法有Newmark和HHT等。

算例

考虑一个单自由度MCK系统，在冲击载荷作用下，系统的脉冲响应为

当系统受到持续载荷时，其载荷和响应为

最后

本文介绍了单自由度系统时域分析的方法，多自由度系统和分布式参数系统(连续体)将在下文介绍。

-- 完 --