1.状态反馈

1.1状态反馈原理

​ 若一个控制系统的状态方程模型可以写成如下形式:
$$\begin{gathered} \dot{X}=AX+Bu \\ Y=CX+Du \end{gathered}$$
​ 该模型可以描述为以下的框图形式:

​ 在引入状态反馈之后,系统的输入信号$u=r-KX$,$K$为反馈矩阵。

​ 引入了状态反馈后方程可以变成以下形式:
$$\begin{gathered} \dot{X}=(A-BK)X+Br \\ Y=(C-DK)X+Dr \end{gathered}$$

1.2.Gura-Bass算法

function K = bass_pp(A,B,P)
    n = length(B);
    a = poly(A);alpha = [a(n:-1:2),1];
    b = poly(P);beta  = [b(n:-1:2),1];
    L = hankel(alpha);Q = ctrb(A,B);
    K = (b(n+1:-1:2)-a(n+1:-1:2))*inv(L)*inv(Q);
end

2.状态反馈的增益补偿

3.实例

• (1)建立系统状态空间模型

  

• (2)判断系统能控性:

  Matlab命令行输入:

  >> A = [-768.4,-14.1;2336.4,-4];
  >> B = [565;0];
  >> M = ctrb(A,B);rank(M)
  

  得到:

  ans =
  
       2
  

  故系统是可控的。

• (3)根据性能指标要求$\zeta$和$t_s$计算闭环极点位置得到$s_{1,2}=-80+81.6163i,-80-81.6163i$。

• (4)分别计算$K$与增益$\bar{Z}$,绘图比较阶跃响应曲线:

  clc,clear;
  A = [-768.4,-14.1;2336.4,-4];
  B = [565;0];C = [0 1];D = [0];
  P = [-80 + 81.6163i;-80 - 81.6163i];
  t = [0:0.005:0.1];
  sys1 = ss(A,B,C,D);
  y1 = step(sys1,t);
  K = bass_pp(A,B,P);
  sys2  = ss(A - B*K,B,C - D*K,D);
  y2 = step(sys2,t);
  Z_bar = Yanjie_sun(A,B,C,D,K);
  sys3 = ss(A - B*K,B*Z_bar,C - D*K,D);
  y3 = step(sys3,t);
  box on;hold on;grid on;
  plot(t,y1,'k-',t,y2,'r--',t,y3,'b.-');
  xlabel('时间t');ylabel('响应');
  title('不同阶跃响应对比');
  legend('原模型','仅状态反馈后','增益补偿后');
  
  %状态反馈函数
  function K = bass_pp(A,B,P)
      n = length(B);
      a = poly(A);alpha = [a(n:-1:2),1];
      b = poly(P);beta  = [b(n:-1:2),1];
      L = hankel(alpha);Q = ctrb(A,B);
      K = (b(n+1:-1:2)-a(n+1:-1:2))*inv(L)*inv(Q);
  end
  
  %增益调整函数
  function Z_bar = Yanjie_sun(A,B,C,D,K)
      s = size(A,1);
      Z = [zeros(1,s) 1];
      N = inv([A,B;C,D])*Z';
      Nx = N(1:s);Nu = N(1+s);
      Z_bar = Nu + K*Nx;
  end
  

• (5)结果