来源哈工程硕士论文《车载毫米波雷达天线阵列设计与测角算法研究》

最小冗余阵列

最小冗余阵列的概念最初是由 Moffet [12]在 1968 年提出的一种稀疏阵列结构，其应用十分广泛，现如今在车载 MIMO 雷达中有着十分重要的应用。由公式（2-33）可知， 当 m ≥n时，可以得出任意两阵元间的位置差，如果所得阵元间的位置差保持连续，且相同位置差的个数尽可能少的线性阵列，则称之为最小冗余阵列。最小冗余阵列可以根据阵列冗余度分为最优最小冗余阵列和非最优最小冗余阵列，下面将给出阵列冗余度的定义。

由公式（2-39）可计算出阵列冗余度，当阵列冗余度为 1 时，则称之为最优最小冗余阵列；当阵列冗余度大于 1 时，则称之为非最优最小冗余阵列。如图 2.4 所示，给出4 阵元最小冗余阵列。由图可以看出，每个位置的间距为d，一般取半波长。4 个阵元分别位于 0、1、4、6 位置，阵元间位置差从 0 到 6 至少存在 1 个，除 0 以外，不存在相同的位置差，由公式（2-39）可以计算出，因此，该 4 阵元最小冗余阵列为最优最小冗余阵列。

通过计算可以得出，阵元数大于 4 的最优最小冗余阵列是不存在的，只能构造出非最优最小冗余阵列。

最小冗余阵列在设计中是不能通过公式给出的，只能通过穷举法得到，如表 2.1 给出穷举法搜索后的最小冗余阵列布局结果。接下来将给出最小冗余阵列的阵列方向图仿真分析。以 4 阵元最小冗余阵列为例，假设以第一个阵元为参考阵元，4 个阵元的位置分别为 [0,1,4,6]d ，其中d一般取半波长。可见，4 阵元最小冗余的阵列孔径为 6d ，相当于 7 个均匀线阵的孔径。因此，4 阵元最小冗余阵列（MRA）与 7 阵元均匀线阵（ULA）的阵列方向图对比如图 2.5 所示。

从图 2.5 阵列方向图可以看出，4 阵元最小冗余阵列的主瓣宽度与 7 阵元均匀线阵相同，即角度分辨力相同；但此时的 4 阵元最小冗余阵列的主副瓣比约为 5dB，7 阵元均匀线阵的主副瓣比约为 12.5dB。可见，在相同阵列孔径的前提下，最小冗余阵列所需的阵元数比均匀线阵少，但这会导致其旁瓣升高，主副瓣比降低，抗干扰性能减弱，易在多目标角度估计时存在测角错误问题。

嵌套阵列

嵌套阵列是由 Piya Pal 和 P.P. Vaidyanathan[13]等人在 2010 年提出的一种稀疏阵列结构。其中，以两级嵌套阵列为例，两级嵌套阵列主要由两个阵元间距不同的均匀线性阵列组成，并且两个均匀阵列是相互分离的。假设第一级均匀线阵的阵元数为 M ，阵元间距为d1；第二级均匀线阵的阵元数为 N ，阵元间距为 d2 ，其中 d2=(M+1)d1。 则两级均匀阵的阵元位置分别为:

由公式（2-40）可以看出，嵌套阵列可以通过公式得出阵元的具体位置，不像最小冗余阵列无具体表达式，需要通过计算机搜索才能确定具体的位置。如图 2.6 给出 6 阵元的两级嵌套阵列，第一级子阵阵元数为 3，阵元间距为 d1 ；第二级子阵阵元数为 3，阵元间距为 d2,且d2=4*d1;

同时，由公式（2-33）可以计算出两级嵌套阵列的差协同阵列表达式如下:

从上式可以看出，通过合理布置两级子阵的阵元数量，可以实现最大化的阵列自由度，从而提高阵列的检测性能。假设两级嵌套阵列的总阵元数为L，且L=M+N，如何要实现最大化的阵列自由度，且两级子阵的阵元数分别如下：

当L为奇数时，M=(L-1)/2，N=(L+1)/2

当L为偶数时，M=N=L/2

因此，可以通过上述的两级子阵的阵元数分配布局即可获得最大的阵列自由度。 接下来将给出两级嵌套阵列的阵列方向图仿真分析。 以上述介绍的 6 阵元两级嵌套阵列为例，假设以第一个阵元为参考阵元，6 个阵元的位置分别为[0,1,2,3,7,11]d，其中d为半波长。可见，6 阵元两级嵌套阵列的孔径为 11d，相当于 12 阵元的均匀线阵。因此，6 阵元两级嵌套阵列（NA）与 12 阵元均匀线阵（ULA）的阵列方向图对比如图 2.7 所示。从图 2.7 阵列仿真图可以看出，在阵列孔径相同的情况下，6 阵元两级嵌套阵列的主瓣宽度与 12 阵元均匀线阵相同，即角度分辨力相同；但此时的 6 阵元两级嵌套阵列的主副瓣比约为 6dB，12 阵元均匀线阵的主副瓣比约为 13dB。可见，达到相同的阵列孔径时，嵌套阵列所需的阵元数明显小于均匀阵列，但其旁瓣会出现升高现象，主副瓣比降低，抗干扰性能减弱，容易在多目标角度估计时出现测角错误问题。

互质阵列

互质阵列是由两个阵元间距不同的匀线阵组成，与嵌套阵列不同的是相互交错嵌套组成。所谓互质阵列，顾名思义其最主要的特点是互质生和稀疏性。互质性，是指组成互质阵列的两个均与线阵的阵元数分别为M和N，其中M和N互质且M>N; 稀疏性，是指互质阵的阵元间距可以突破半波长的限制。互质阵列结构如图 2.8 所示，子阵 1 的阵元数为M，阵元间距为 Nd；子阵 2 的阵元数为 N ，阵元间距为Md；其中 d=λ/2，λ为信号波长。将两个子阵组合成新的阵列，则构成互质阵列。由于互质性的存在，组合后子阵 1 和子阵 2 的第一个阵元会重合，其余阵元不会进行重合，因此，互质阵列总的阵元数为M+N-1。

从上式可以看出，互质阵列的差协同阵列在大多数情况下不是连续的，会导致增加的自由度浪费。为了解决这一问题，获得更大的阵列孔径和自由度并且增大连续部分减小自由度的浪费，进而又提出了互质阵列的改进结构，即扩展互质阵列。在介绍扩展互质阵列之前，先对常规的互质阵列的阵列方向图进行仿真分析。以 7阵元互质阵列为例，根据上述互质阵列的介绍可知，子阵 1 的阵元数为 5，子阵 2 的阵元数为 3，子阵 1 与子阵 2 组合构成 7 阵元互质阵列。以第一个阵元为参考阵元，该互质阵列的阵元位置分别[0,3,5,6,9,10,12 ]d.其中d一般取半波长。可见，7 阵元互质阵列的阵列孔径为12d，相当于 13 阵元的均匀线阵。因此，7 阵元互质阵列（CA）与 13 阵元均匀线阵（ULA）的阵列方向图对比如图 2.9 所示。

从图 2.9 阵列仿真图可以看出，7 阵元互质阵列和 13 阵元均匀线阵的主瓣宽度相同，即角度分辨力相同；但此时的 7 阵元互质阵列的主副瓣比约为 5dB，13 阵元均匀线阵的主副瓣比约为 13dB。可见，在相同阵列孔径的情况下，互质阵列比均匀线阵所需要的阵元数更少，但由于稀疏阵列的原因，其旁瓣会升高，主副瓣比降低，易在多目标角度估计时存在测角错误问题。

扩展互质阵列

扩展互质阵列是互质阵列的改进结构，该阵列是将互质阵列的子阵 2 的阵元数 N扩展到 2N 个阵元，子阵 1 的阵元数依然为 M 。即，子阵 1 的阵元数为 M ，阵元间距为Nd;子阵2的阵元数为2N，阵元间距为Md。扩展互质阵列结构如图 2.10所示将两个子阵组合构成扩展互质阵列，此时扩展互质阵列的总阵元数为2M+N-1，子阵1和子阵2的阵元位置分别为：

由公式（2-33）差协同阵列表达式可以得出，扩展互质阵列的差协同阵列增加了连续部分，因此，减少了对阵列自由度的浪费，同时增加了阵列孔径，提高了角度分辨力。

接下来将给出扩展互质阵列的阵列方向图仿真分析。以上一节的 7 阵元互质阵列为基础，将其进行改进形成扩展互质阵列，即子阵 1 的阵元数为 5，子阵 2 的阵元数为 6，两个子阵组合构成 10 阵元扩展互质阵列。以第一个阵元为参考阵元，其阵元位置分别为[0,3,5,6,9,10,12,15,20,25]d,其中d一般取半波长。可见，10 阵元扩展互质阵列的阵列孔径为25d，相当于 26 阵元的均匀线阵。因此，10 阵元扩展互质阵列（CA）与 26 阵元均匀线阵（ULA）的阵列方向图对比如图 2.11 所示。

从图 2.11 阵列仿真图可以看出，10 阵元扩展互质阵列和 26 阵元均匀线阵的主瓣宽度相同，即角度分辨力相同；但此时的 10 阵元扩展互质阵列的主副瓣比约为 6dB， 26 阵元均匀线阵的主副瓣比约为 13dB。可见，在相同阵列孔径的情况下，扩展互质阵列比均匀线阵所需要的阵元数更少，但由于稀疏阵列的原因，其旁瓣会升高，主副瓣比降低，在多目标角度估计时易出现测角错误问题。

稀疏阵列方向图比较

通过上述对各个稀疏阵列结构的方向图与均匀线阵的方向图对比分析可知，稀疏阵列可以在阵元数较少的情况下达到较高的分辨力。同时，为了说明稀疏阵列结构之间的特点，现进行其方向图对比分析。首先，保持在阵元数相同的情况下进行对比，假设阵元数均为 10。通过上述稀疏阵列结构分析，扩展互质阵列比互质阵列更具有优势，因此，本小节互质阵列选为扩展互质阵列。假设以第一个阵元为参考阵元，由上述分析可知，最小冗余阵列(MRA)的阵元位置分别为[0,1,3,6,13,20,27,31,35,36]d嵌套阵列(NA)的阵元位置分别为[0,1,2,3,4,5,11,17,23,29]d，扩展互质阵列(CA)的阵元位置[0,3,5,6,9,10,12,15,20,25]d。三种稀疏阵列结构以及均匀线阵的阵列方向图对比如图 2.12 所示。

从图 2.12 阵列方向图对比可知，稀疏阵列的主瓣明显窄于均匀阵列，但其旁瓣均有升高，可见，稀疏阵列可以提高角度分辨力，但在进行多目标角度估计时，高旁瓣易导致测角错误。其中，最小冗余阵列冗余度最低，其主瓣宽度最窄，角度分辨力最高，此时主副瓣比约为 6dB；嵌套阵列的角度分辨力次之，主副瓣比约为 5dB；其次是扩展互质阵列，主副瓣比约为 6dB。因此，在进行阵列布局设计时，想要提高角度分辨力，首选最小冗余阵列，并且其主副瓣比更高，抗干扰性能更好，但是其阵元位置需要通过计算机搜索得到，仅适用于阵元数较少的阵列布局；而嵌套阵列和扩展互质阵列有明确的解析式，适合阵元数较多的阵列布局，并且也能有效提高角度分辨能力。