0 前言

我们研究材质，其实是研究材质如何与光线作用，也就是研究BRDF
这个思想将是这节的核心

1 漫反射材质 Diffuse / Lambertian Material (BRDF)

首先我们来看漫反射材质
关于漫反射，我们需要进行漫反射系数的讨论

• 对于漫反射材质，之前我们经验性地定义过漫反射系数
  在Blinn Phong的时候，我们用 Intensity/R² 来不准确地定义到达着色点的能量
• 现在我们给漫反射项的系数来一个准确的定义
  定义上图的材质是漫反射，也就是无论哪个方向的光进来，都会被均匀地反射到四面八方去
• 我们现在人为地做这么一个场景
  我们认为空间中从任何一个方向进来的光，它的Radiance都是一样的，
  也就是让进来和反射的光都是uniform的
• 有了以上条件之后，假设这个点不发光且不吸收光，我们就可以利用能量守恒，也就是进来的光的能量多少，出去也得多少
• 我们总结：
  入射和出射的Irradiance是相等的并且Radiance都是uniform的→入射光和出射光的Radiance是一样的
• 有了这个观察总结以后，渲染方程中的入射光可以从积分里拿出来，然后进行半球上cos的积分，得到式子，并且$L_i=L_o$
  于是我们得到$f_r=1/\pi$
• $f_r=1/\pi$是完全不吸收能量的BRDF
• 我们可以定义一个反射率（albedo），它在0到1之间，于是有了它就可以引入不同颜色的变化
  也就是$f_r=\rho /\pi$，所以漫反射系数的大小是0到1/π

2 光泽材质 Glossy material (BRDF)

反射情况介于镜面反射和漫反射之间的材质，我们称为Glossy material

3 理想反射/折射材质 Ideal reflective / refractive material (BSDF*)

反射和折射都有的材料的，类似玻璃与水，我们称之为 Ideal reflective / refractive material

3.1 完美镜面反射 Perfect Specular Reflection

• 反射公式
  夹角是平行四边形法则，如左图
  方位角为右图，右图为俯视图
  
• 下图为完美镜面反射的效果图
  我们用BRDF来描述完美镜面反射的时候，要用到δ函数，写出正确的BRDF有些困难
  

3.2 镜面折射 Specular Refraction

我们依旧采用几何光学的说法来描述折射
以下为一些折射现象

• 白光分解成彩虹：折射率不同
  海水的折射，Caustics (不合适的翻译：焦散。因为只有聚焦才能被看到)
  
• 下面我们来看一下 折射定律 Snell’s Law
  入射角正弦值×入射材质折射率=折射角正弦×出射材质折射率
  方位角的计算和反射一样
  
• 我们如图算折射角的余弦
  如果折射发生，那么算余弦一定能算出一个有意义的实数，如果算不出就意味着折射不可能发生
  入射的折射率大于出射的折射率，就会发生全反射现象
  
  人在水底向上只能看到锥形的区域，因为会发生全反射
  

3.3 双向散射分布函数 (Bidirectional scattering distribution function, BSDF)

折射也需要对应一种 “BRDF”
但是我们知道BRDF的R是反射(Reflectance)
所以折射应该叫BTDF，T为折射(Transmittance)
把这两个统称起来我们可以叫做BSDF，S表示散射(Scattering)
不管反射折射我们都认为是一种散射
BSDF（散射） = BRDF（反射） + BTDF（折射）

3.4 菲涅尔项 Fresnel Reflection / Term

关于反射和折射有很多性质，下面这个为菲涅尔项
我们有这么一个例子，一本书靠在墙边，我们从上到下不同视角看它
我们发现一个问题，我们类似垂直看下去，几乎看不到什么反射
但是几乎平着看过去，反射特别明显
所以有多少光被反射，是和入射光与法线的角度有关系的
用菲涅尔项我们就可以判定有多少能量被反射，有多少能量被折射

• 下图为对某个折射率为1.5的绝缘体的菲涅尔项数据
  正常情况为实线，角度与反射的情况
  （虚线为光的极化性质，光只沿着S或者P的方向振动的时候，一般不考虑）
  举个例子，在生活中，比如坐在大巴车上，我们看自己旁边的窗户，比较容易看到外面去，但是看着前后几排的窗户，可能只有反射
  
• 对于导体来说又是另一种菲涅尔项
  所以古代用铜镜和银镜，其实也是因为它们的反射率一直都挺高的
  并且先降再升的曲线也很神奇
  
• 我们要怎么样准确计算菲涅尔项呢
  有很复杂的公式，S和P是两个极化方向，平时我们把它们平均起来就好
  我们也有简化的公式，施利克近似—Schlick’s approximation
  

4 微表面模型 Microfacet Material

为什么要提菲涅尔项，是因为我们要引入真正基于物理的材质——微表面模型

• 我们先从卫星图引入
  可以看出拍摄的地球有一个高光在澳大利亚，这个高光挺完美，和球面似的
  但是我们会觉得不对，因为地球表面有山啊树啊地形啊什么的，应该是一个相当复杂的表面
  但是现在却看到类似平面高光，还有一定粗糙程度
  这说明从远处看，我们看不到各种细节，只会看成一个表面，带点粗糙程度的样子
  

所以我们提出如下假设：离得足够远的时候，微小的东西往往看不见，看见的是最后汇聚起来总体的样子

• 微表面模型做了这么一个事情
  它假设物体表面是粗糙的
  从远处看是一个粗糙的平面（从远处看到的是外观）
  从近处看可以看到凹凸不平的表面，并且每一个表面的微元都是完完全全镜面反射的物体，都有各自的朝向和法线（从近处看到的是几何）
  
• 我们为什么要研究这个呢？
  我们可以研究这些微表面本身法线的分布，这些分布可以代表不同粗糙程度的材质
  
• 微表面模型的BRDF
  F为菲涅尔项，考虑入射和半程向量
  D为法线分布，考虑查询半程向量是否在法线分布上
  G为几何项，考虑可能发生互相遮挡，有些微表面会失去它的作用。在几乎和表面平行的光线上容易发生互相遮挡的现象，我们把这种光线角度称为Grazing Angle，G这一项就是为了修正它，让它不要过亮
  
• 我们可以看到微表面模型的一些例子
  如果提到PBR（Physically Based Rendering / Shading）就一定会提到微表面模型
  微表面模型也有一些缺点，Diffuse比较少，有时需要手动加什么的
  微表面模型是统称，其实有很多不同的模型，但是都遵守微表面这一套
  

5 各向同性/各向异性材质（BRDFs） Isotropic / Anisotropic Materials (BRDFs)

• 下图是电梯间内部的图，我们发现高光是条状的，这和我们之前椭圆状的高光的认识不符
  这也是由于材质造成的，这是被磨过的金属造成的高光
  于是我们引出了接下来区分材质的方法，各向同性与各向异性材质
  
• 所谓各向同性，我们认为它的微表面并不存在一定的方向性
  对于各向异性，我们认为它的微表面存在方向性
  
• 反映在BRDF上的效果
  如果这个BRDF在方位角上旋转得不到相同的BRDF，我们就叫它是各向异性材质
  
• 生活中有很多各向异性材质，会有辐射状的高光
  
  
  

6 总结BRDFs

• 非负Non-negativity：描述能量分布
  线性Linearity：可加，组合
  
• 可逆性Reciprocity principle：交换入射和出射，结果一致
  能量守恒Energy conservation：能量要么前后一致，要么变小（被吸收），最后的能量结果是收敛的
  
• 各向同性：BRDF只与相对方位角有关
  根据可逆性，BRDF可以不用考虑方位角的大小，只需要他们差的绝对值，便于储存
  

7 测量BRDFs

• 实际测量出来的BRDF和推算出来的BRDF经常会有很大差距
  如果可以测量的话，也就不用推导模型，直接用数据了
  
• 盯住一个着色点，给定入射出射的方向进行测量
  
  参数测量十分精确
  
  我们枚举入射和出射方向测量
  光源方向+相机方向 是四维的测量，维度爆炸
  所以我们进行优化
  如果是各向同性，可以用三维 ，还有根据可逆性，可以节省一半
  或者采样部分，剩余插值（猜测）
  
• 存储BRDF，不做细说