阅读《强化学习与大模型推荐系统》应具备一定的深度学习和推荐系统技术基础，适合于对大模型和强化学习推荐技术感兴趣的读者学习参考。
《强化学习与大模型推荐系统》全书下载地址：https://github.com/ByShui/Book_RL-LLM-In-RS。

强化学习推荐系统：不同的探索策略——玻尔兹曼探索策略、熵正则化探索策略（4.5）

一个优秀的探索策略要能够同时满足探索和利用的需求，以下代码构造了一个具有5个动作的策略评估环境，以此来对不同探索策略的累计遗憾值进行分析：

class Bandit:
    def __init__(self, arm_count):
        self.arm_count = arm_count
        self.generate_arms()

    def generate_arms(self):
        self.arms = []
        for _ in range(self.arm_count):
            mean = np.random.normal(0, 1)
            std_dev = np.random.uniform(0.5, 1.5)
            self.arms.append((mean, std_dev))

    def reward(self, arm):
        mean, std_dev = self.arms[arm]
        return np.random.normal(mean, std_dev)

    def optimal_arm(self):
        return np.argmax([mean for mean, _ in self.arms])

if __name__ == "__main__":
    arm_count = 5
    bandit = Bandit(arm_count)

具体来说，策略评估环境中设置了5个臂，摇动臂的奖励${\text{reward}}_a$服从不同的正态分布：$${\text{reward}}_a=\mathcal{N}(\mu ,\sigma )$$其中，$\mu$和$\sigma$分别是正态分布的均值和方差，它们是随机生成的。定义拥有最大均值的动作是最优动作$a_{\ast }$，最优价值$V_{\ast }$从最优臂的价值分布中采样得到。

优化策略需要牺牲短期利益，因为需要通过探索搜集更多的信息以获得更优的动作，使得智能体最终能够获得更多回报。探索和利用是强化学习中的一对矛盾体，这意味着在学习过程中，智能体需要在已知和未知的情况下做出最优的决策。

其中，利用是指在已知情况下选择已知最优的策略来获得收益，而探索是指在未知情况下，为了获取更多的信息和收益，选择不同的策略进行尝试。

探索是指在不确定性的环境中，探索新的策略或动作来获得更高的奖励或效用，包含两个部分：一是尝试未知的行为，以期找到更好的策略并更新模型；二是平衡已知和未知的行为，以确保不会错过可能的好策略。

在推荐系统中，探索可以包括推荐新的项目、向用户提供个性化的推荐建议或者探索不同的推荐策略（如多臂机）。探索和利用需要平衡，以确保推荐系统具有长期的优化效果。

一个标准的强化学习算法包括探索和利用两个步骤——探索帮助智能体充分了解其状态空间，利用则帮助智能体找到最优的动作序列。

用来平衡探索和利用的方法包括：贪心探索策略、高斯探索策略、UCB探索策略、玻尔兹曼探索策略、汤普森采样探索策略和熵正则化探索策略等，本篇博客我们介绍一下玻尔兹曼探索策略和熵正则化探索策略。

贪心探索策略请查看：强化学习推荐系统：不同的探索策略——贪心探索策略（4.1）
高斯探索策略请查看：强化学习推荐系统：不同的探索策略——高斯探索策略（4.2）
UCB探索策略请查看：强化学习推荐系统：不同的探索策略——UCB探索策略（4.3）
汤普森采样探索策略请查看：强化学习推荐系统：不同的探索策略——汤普森采样探索策略（4.4）

玻尔兹曼探索策略

前面提到的探索策略在选取动作时都是选取价值最大的动作，也许它确实是最优的，但其他次优动作就一定不可取吗？举个例子，尽管我最喜欢吃草莓，但同时也喜欢吃香蕉和芒果，如果每天都只让我吃草莓，这显然是不符合我的兴趣的。在多臂机问题中，玻尔兹曼探索策略可以同时考虑到多种可能。

首先，玻尔兹曼探索策略将动作的价值转换到玻尔兹曼概率分布空间上，其公式表示为：
$$P(a)=\frac{{\text{e}}^{\frac{Q_t(a)}{T}}}{{\sum }_i{\text{e}}^{\frac{Q_t(a_i)}{T}}}$$

其中，$\text{e}$是自然常数；$T$是玻尔兹曼分布的温度系数，温度系数越小玻尔兹曼探索策略就越接近贪心策略（选择价值最大的臂），温度系数越大玻尔兹曼探索策略就越接近均匀策略（随机选择臂）。因此，可以说贪心策略是玻尔兹曼探索策略的一种特殊形式。当温度系数$T=1$时，玻尔兹曼探索策略又称为SoftMax探索策略。

玻尔兹曼探索策略（SoftMax）：$$a_t=\arg {\text{softmax}}_{a\in A}{Q}_t(a)$$

贪心策略（Max）：$$a_t=\underset{a\in A}{\mathrm{argmax}}{Q}_t(a)$$

根据公式（3-20）计算出所有动作的概率之后，就可以根据概率分布来采样动作，如下代码实现了玻尔兹曼探索策略：

def softmax(Q, temperature):
    beta_Q = Q / temperature
    exp_Q = np.exp(beta_Q - np.max(beta_Q))
    return exp_Q / exp_Q.sum()

def boltzmann(bandit, T , temperature=1):
    arm_count = bandit.arm_count
    Q = np.zeros(arm_count)
    N = np.zeros(arm_count)

    cumulative_regret = [0]
    for t in range(1, T+1):
        # arm_probs = softmax(Q, temperature)
        arm_prob = scipy.special.softmax(Q)
        arm = np.random.choice(len(Q), p=arm_prob)

        reward = bandit.reward(arm)
        N[arm] += 1
        Q[arm] += (reward - Q[arm]) / N[arm]

        optimal_reward = bandit.reward(bandit.optimal_arm())
        cumulative_regret.append(
            cumulative_regret[-1] + (optimal_reward - reward))

    return cumulative_regret

if __name__ == "__main__":
    arm_count = 5
    T = 1000
    bandit = Bandit(arm_count)

    cumulative_regret_Boltzmann = boltzmann(bandit, T)

以上代码定义了boltzmann()方法，它仅接收两个参数：

• bandit（一个多臂机实例）；
• T（试验轮次，即在多臂机上探索/利用的轮次）。

在每轮试验中，玻尔兹曼探索策略首先将臂的价值概率，然后根据概率来采样臂作为当前的动作。在推荐系统中，玻尔兹曼探索策略可以实现更平滑及多样化的采样，这对用户体验是有帮助的。

在实际应用玻尔兹曼探索策略时，可能还需要防止极化现象。极化现象指的是随着学习的进行，期望高的动作值越来越高，导致其被采样的概率快速增大，其他动作被采样的概率迅速归零，即策略趋向于“极化”，从而过早地陷入局部最优动作。可以通过加入噪声来防止这种现象发生。

熵正则化探索策略

熵正则化探索策略利用动作空间的熵值来执行探索，它通常与玻尔兹曼探索策略结合使用，在掌握了玻尔兹曼探索策略的原理后，可以很容易地将臂的价值转化为它对应的概率值：
$$P(a)=\frac{{\text{e}}^{Q_t(a)}}{{\sum }_{a\in A}{\text{e}}^{Q_t(a)}}$$

上面的是玻尔兹曼探索策略的公式在温度系数T=1时的简化形式。在知道了每一个臂的概率$P(a)$后，就可以利用信息熵计算公式得到动作空间的熵值：
$$H(A)=\sum _{a\in A}P(a)\log P(a)$$

熵代表了臂选择的不确定度，当$H(A)$很大时玻尔兹曼探索策略会以均等的概率在动作空间中选择动作；当$H(A)$较小时（下限为0）玻尔兹曼策略会只偏爱动作空间中某一个或少数几个动作。

就像上面这种示意图，假设动作空间中有5个臂，则最大熵值1.61意味着各个臂被摇动的概率相等，当熵值减小时就有可能出现右图中臂3的摇动概率显著高于其他臂的情况。

熵损失探索策略将熵值$H(A)$纳入优化目标：

$$a_t=\underset{a\in A}{\mathrm{argmax}}(Q(a)+\alpha H(A))$$

其中，$Q(a)$是臂$a$的价值；$H(A)$是当前动作空间$A$的熵值；$\alpha$是超参数，用于调节探索率。这个公式同时最大化熵和臂价值，在获取臂价值的同时保证了所有动作的曝光概率，让策略可以进行更广泛的探索，为策略提供了强健壮性。

如下代码实现了熵正则化探索策略：

def entropy_regularization(bandit, T):
    arm_count = bandit.arm_count
    Q = np.zeros(arm_count)
    N = np.zeros(arm_count)

    cumulative_regret = [0]
    for t in range(1, T+1):
        ent = scipy.stats.entropy(scipy.special.softmax(Q))
        arm_prob = scipy.special.softmax(np.add(Q, 1 * ent))
        arm = np.random.choice(len(Q), p=arm_prob)

        reward = bandit.reward(arm)
        N[arm] += 1
        Q[arm] += (reward - Q[arm]) / N[arm]

        optimal_reward = bandit.reward(bandit.optimal_arm())
        cumulative_regret.append(
            cumulative_regret[-1] + (optimal_reward - reward))

    return cumulative_regret

以上代码定义了entropy_regularization()方法，它仅接收两个参数：

• Bandit（一个多臂机实例）；
• T（试验轮次，即在多臂机上探索/利用的轮次）。

在每轮试验中，汤普森采样探索策略将臂的价值与当前的熵值相加，从而鼓励算法对不同的臂进行更多的探索，这样做的目的是让每个动作都有一定的概率被选中，而不完全依赖于当前的价值估计。这实际上不是严格意义上的熵正则化探索策略，而是一种使用熵正则化思想来鼓励探索的简化方法，后面在介绍SAC算法时，会详细解释熵正则化。